概率论与数理统计试题及详解2

概率论与数理统计试题及详解2

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1.设事件A、B满足P(AB)=0.2,P(A)=0.6,则P(AB)=()

A.0.12B.0.4

C.0.6D.0.8

【答案】B

【解析】本题考查了事件间的关系与概率的计算。注意=

P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB),代入已知条件到上式，得P(AB)=0.4。

2.从标号为1,2,…，101的101个灯管中任取一个，则取得标号为偶数的灯

泡的概率为()

A.更B.剋

101101

r50n51

100100

【答案】A

【解析】随机事件概率的计算。从从标号为1,2,…，101的101个灯管中任取

一个，取法共有101中，取得标号为偶数的灯泡的方法有50中，故概率为独。

101

3.设随机变量)CN(1,4),Y=2X-1,则Y所服从的分布为()

A.N(1,4)B.N(1,8)

C.N(1,16)D.N(1,17)

【答案】C

【解析】本题主要考查了正态分布的性质。正态分布的两个参数分别为随机变量

的数学期望和方差。若XNRd),则y=〃x+伙。工0)也服从正态分布，且

新正态分布的两个参数分别为E(y),D(y)。由于

E(y)=E(2X-l)=2E(X)-l=2x1-1=!,。(丫)=£>(2X-1)=4O(X)=4x4=16,

所以本题选c。

4.设每次试验成功的概率为p(0(p<l),则在3次独立重复试验中至少成功一次

的概率为()

A.1-(1-p)B.p(l-p)2

C.C；p(l-p)2D.p+p2+P3

【答案】A

【解析】本题主要考查了n重贝努利试验(n次独立重复试验)中，某事件发生

k次的概率计算公式，即P{X=A}=C/p"(l-p)2(Z=l,2,…3次独立重复

试验中至少成功一次，有“至少”两字，可考虑其对立事件即“反面问题”，也

就是该事件一次也没有发生，概率为P{X=O}=G°pO(l-p)"°=(l-〃)3,因此本

题所求概率即为选项A所示。

5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为

01

0.10.2

0.30.4

设p『P{X=i,Y=j}(i,尸0,1),则下列各式中不正确的是()

A.Poo<PoiB.P10<Pll

c.Poo<PuD.p10<p3i

【答案】D

【解析】主要考查了二维随机变量的分布律。pg=0.1,p。尸0.2故A对；p/0.3,

p“=0.4,B对；由上知，C对。因此本题选D。

6.设随机变量Vx?(2),Y^x2(3),且X,Y相互独立，则”所服从的分价

2Y

为()

A.F(2,2)B.F(2,3)

C.F(3,2)D.F(3,3)

【答案】B

【解析】本题主要考查了F一分布的定义。若随机变量X~x2(m),Y^x2(n),

且X,Y相互独立，则上皿尸(肛〃).因此本题叱=土2尸(2,3)。

Yin2YY/3

7.设X,Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是()

A.D(X+Y)=D(X)+D(Y)B.D(X+C)=D(X)+C

C.D(X-Y)=D(X)-D(Y)D.D(X-C)=D(X)

【答案】D

【解析】本题主要考查r方差的性质。根据性质，在X,y相互独立的情况下才

有，D(X±Y)=D(X)+D(Y)fD(X+k)=D(X)(k为常数)，故A,C,B错误;

本题选D。

0,x<2:

8.设随机变量X的分布函数为F(x)二二-l,2Kx<4;则E(X)=()

2

LX>4;

A.-B.-

32

C.-D.3

2

【答案】D

【解析［本题主要考查了分布函数和概率密度函数的关系以及连续函数的数学期

1/22<r<4

望。该随机变量的概率密度函数/。)=二八一"，所以它的数学期望为：

0,其他

E(X)=£Zxf(x)dx=^xXlx=3o或者能够察觉X服从的是区间［2,4］上的均匀

分布，其数学期望为区间的中点3。因此本题选D。

9.设随机变量X与Y相互独立,且X~B(36,Y^B(12,1),则D(XT+1)

63

=()

A-B.Z

33

「23n26

33

【答案】C

【解析】本题考查了服从常见分布(二项分布等)随机变量的方差与方差的性质。

已知X~B(36,-),Y^B(12,1),D(X)=/?/?(l-p)=36--=5,

6366

D(Y)=np(\-p)=12,在随机变量X与Y相互独立的条件下，

333

Q23

D(X-Y+\)=D(X)+D(Y)=5+-=—o

3

10.设总体X飞(U,。2),X],X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，手为样本

均值，S?为样本方差.对假设检验问题：Ho：u=uWUo,在。2未知的

情况下，应该选用的检验统计量为()

B.三区五口

A.

CT(7

C.七上品D.

SS

【答案】C

【解析】本题考查了假设检验中检验统计量的选取。选取的统计量满足两个条件:

第一，不含任何未知参数；第二，其分布已知。故此，可排除A,B。由于C中统

计量分布已知，即服从自由度为nT的L分布，而D中的那个统计量分布未知

或者复杂，故选C。要熟记课本上181T82页的那个表(记住常考的几个)。

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

11.设P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)=

【解析】本题考查了事件差的概率与条件概率的计算。P(A后)=P(A-B)

=P(A)-P(AB)=0.4,又P(A)=0.5,所以P(AB)=O.L从而

P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.1/0.5=0.2o

12.设事件A与B互不相容,且P(A)=O.4,P(AUE)=0.7,则P(B)=.

【解析】本题主要考查了事件之间的关系与概率计算。A与B互不相容，即AB二

①，此时P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7,又P(A)=0.4,所以P(B)=O.3,从而

P(万)=0.7.

13.设P(A)=O.3,P(B)=P(C)=0.2,且事件A,B,C相互独立，则尸(AuBuC)=

0.448

【解析】本小题主要考查了事件的独立性。当A,B,C相互独立时，它们的对立事

件也是相互独立的。所以

P(AuBDC)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7x0.8x0.8=0.448。

14.设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再

放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率

等于.

【解析】本题主要考查了古典概型中概率的计算。第一次取球有10种可能，第

二次取球有11种可能，连续取两次一共有10x11=110种可能。第一次取得红球

且第二次取得白球的方法一共有6x4=24种，故所求概率为24/110=12/55。

15.已知随机变量)CB(n,L)，且P{X=5}=’，则n=

232

【解析】本题考查了服从二项分布的随机变量的分布律(概率分布)或者说二项

分布的定义。X~B(n,p),P{X=&}=C/p"(l—p)”T(Z=12

由P{X=5}二盘(今(1一；广5=］得，忤5。

16.设随机变量X的分布函数为F(x)二卜—则常数炉.

0,x<0,

【解析】本题考查了分布函数的性质。由/(+8)=1,即

F(-Kc)=limF(x)=lim(a-e2x}=a-0=］得，a=\o

X->+00X->400\f

17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(.“)=［产则常数

0,其他

【解析】本题考查了二维随机变量的概率密度函数的性质。由

匚匚/(占)岫4=1

EEA乂)‘岫力二,工axydxdy=

所以。=4.

18.设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为

则

P(X+Y=O}=.

【解析】本题主要考查了二维随机变量的联合分布律以及计算。满足X+Y=O的随

机点有(7,1)、(0,0)、(1,-1),对应的概率为0,0.2,0.I,相加为0.3°故

本题答案为0.3。

19.已知随机变量X满足E(X)=-1,E(XI2)3**6=2,则D(X)=.

【解析】本题考查了方差的计算公式D(X)=E(X2)-[E(X)了.代入已知条

22

件，可得D(X)=E(X)-[E(X)]=2-1=10

20.设随机变量X,Y的分布列分别为

X123Y-101

LI11，^111

362244

且X,Y相互独立，则E(XY)=.

【解析】本题考查了离散型随机变量数学期望的求法，以及在X,Y相互独立时,

E(XY)=E(X)E(Y)的公式。

E(X)=lxl+2xi+3x-!-=—,E(Y)=(-\)x-+0x-+\x-=--,

3626244d

13113

当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)=—.

6424

21.将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大

于60的概率近似为.(附：①(2)=0.9772)

【解析】本题主要考查了中心极限定理。当试验次数n足够大时，二项分布近似

于正态分布，正态分布的两个参数分别为随机变量的数学期望与方差。由已知，

正面出现的次数XB(100,0.5),E(X)=100x0.5=50,D(Y)=100x0.5x0.5=52<>

所以X近似服从正态分布N(5(),5?),所求概率近似为

P{X>60)=l-0(60-50)=1-0(2)=1-0.9772=0.0228。

5

22.设总体X的概率密度为|这X2，…Xn为总体X的一个样本,

0,x<0

则未知参数a的矩估计&二.

【解析】本题主要考查了参数估计中的矩估计。基本思想之一，用样本均值去估

计总体均值。即无=£(X)=，，解出a,得未知参数a的矩估计日二二。注意，总

ax

体X服从的是指数分布，要记住这些典型分布的数学期望与方差！

23.设总体X服从正态分布N(u,。与，X”X2,…，X”为来自该总体的一个样

本，令U=.(Xf),贝i」D(U)=.

a

【解析】本题主要考查了样本均值的分布。记住这些结论，总体X服从正态分布

N(U,O2),X1,X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，则工

n

U=N(0」)，由此可知D(U)=1。

cy/\Jnc

24.已知〃(X)=4,D(JO=25,Cov(XD=4,则P1尸.

【解析】本题主要考查了相关系数的计算公式。

_Cov(X,Y)_4

Pvv__/:~~~产~-0・4・

1D(X)乖沛i74^25

2

25.设总体X~N(M,G),X.,X2,…，尤为来自该总体的一个样本.对假设检验

问题儿行二4一修"="3在口未知的情况下，应该选用的检验统计量

为.

【解析】本题主要考查了在总体均值未知的情况下对总体方差进行检验时检验统

计量的选取。参考教材181-182页的表。本题答案为。一产。

5)

三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

26.某用户从两厂家进了一批同类型的产品，其中甲厂生产的占60%,若甲、乙

两厂产品的次品率分别为5%,10%,今从这批产品中任取一个，求其为次品

的概率.

【解析】本题考查了全概率公式的应用。

A:甲生产的产品，B:乙生产的产品，C：产品为次品。

已知P(A)=60%,P(B)=40%,P(C|4)=5%,P(C|8)=10%,贝U

P©=P(C\A)P(A)+P(C\B)P(B)=5%•60%+10%•40%=7%。

27.设随机变量X服从参数为3的指数分布.试求：

(1)Y=e*的概率密度;(2)P{1WYW2}.

【解析】本题主要考查了随机变量函数的概率密度的算法。

(1)由于

x

Fy(y)=P[Y<>'}=P{e<y)=P{X<lny}

二.(lny)

两边求导数，得

3।

1-r91y〉1

'[o，yvi

2

(2)P{1WYW2}=fA(/v=-o

1y4-8

四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

28.设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为

试求：(1)a的值；(2)(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布列；(3)X