分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1.1初识分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章

计数原理新知探究思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?完成一件什么事如何完成这件事“给一个座位编号”用大写英文字母编号，26种用阿拉伯数字编号，10种分析：“两类方案”这两类号码数相加就得到号码的总数：26＋10＝36种.mnm＋n概念生成如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2

类方案中有

n

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．注意：两类不同方案中的方法互不相同一、分类加法计数原理典例剖析例1在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？典例剖析A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学

分析：1.要完成的一件事2.如何完成“选专业”“在两所大学中选其中一所，且只能选一个专业”解析：第一类：A大学专业，m＝5；

第二类：B大学专业，n＝4.因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以可能的专业选择种数为N＝m＋n＝5＋4＝9.分类计数求和方法总结利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类：对完成这件事的方案进行分类，要不重不漏；(2)计数：分别计算每一类方法的个数；(3)求和：把各类的个数相加，得出总数.当堂训练试一试：某校高一年级共

8个班，高二年级共

9个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有(

)A．8种

B．9种

C．17种

D．72种(1)核心：分类计数原理的核心就是分类，完成一件事的方法为若干类.(2)特点：各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方法都可以独立完成这件事。C解析：N＝m＋n＝8＋9＝17.典例变式例2在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B，C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A大学B大学C大学生物学数学金融学化学会计学土木工程医学信息技术学物理学法学工程学

解析：N＝5＋4＋2＝11新知推广

如果完成一件事有三类不同方案，在第

1类方案中有

m1种不同的方法，在第

2类方案中有

m2种不同的方法，在第

3类方案中有

m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？m1＋m2＋m3

如果完成一件事有

n类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？m1＋m2＋……＋mn分类加法计数原理的推广：当堂训练1．家住

A地的小明同学准备周末去

B地旅游，从

A地到

B地一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘坐这些交通工具去

B地的不同方法有(

)A．240种

B．180种

C．120种

D．90种解：根据分类加法计数原理，共有30＋20＋40＝90(种)不同方法．D当堂训练2．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是

.9解：5＋4＝9当堂训练

解：因为椭圆的焦点位于

x轴上，所以

m＞n．当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6个．A当堂训练4.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有

个.十位

个位

12，3，4，5，6，7，8，923，4，5，6，7，8，9…………解析：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有：8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.

由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).36分析：新知探究思考：用

A、B、C、D、E、F

这

6个大写英文字母和

1~9这

9个阿拉伯数字，以

A1、A2、……B1、B2……的方式给教室里的座位编号，有多少种不同的号码？分析：号码由一个英文字母和一个阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过以下两个步骤.第

1步：选一个英文字母，有

6种

第

2步：选一个数字，有

9种新知探究追问：能用树状图列出所有可能的号码吗？A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树状图字母

数字

得到的号码…由树状图可知，共有6×9＝54种不同的号码9种概念生成如果完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2

步有

n

种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．注意：只有各个步骤都完成才算做完这件事情.二、分步乘法计数原理例3某班有男生

30

名、女生

24

名，从中任选男生和女生各

1

名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？2.如何完成1.要完成的一件事“分步”分析：“选两名代表”第

1步：选一个男生，m＝30种；第

2步：选一个女生，n＝24种；共有不同选法的种数：N＝m×n＝30×24＝720(先选男生，再选女生)解析：典例剖析方法总结利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的方法分成若干步；(2)计数：分别计算每一步的方法数；(3)求积：把各类的个数相乘，得出总数.例4某班有男生

30

名、女生

24

名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，另有任课老师

9名，选

1名老师带领团队，共有多少种不同的选法？典例变式完成一件什么事怎么完成这件事有什么要求选两名班级代表和一名带队老师1名男生，1名女生和1名老师第1步：第2步：第3步：从男生中选1名从女生中选1名3024从老师中选1名10总计N＝30×24×10＝7200种新知推广分步乘法计数原理的推广：

如果完成一件事有

n个步骤，做第

1步有m1种不同的方法，做第

2步有m2种不同的方法，……，做第

n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

如果完成一件事有三个步骤，做第

1步有m1种不同的方法，做第

2步有m2种不同的方法，做第

3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？有m1×m2×m3种不同的方法当堂训练1.从

A村去

B村的道路有

3条，从

B村去

C村的道路有

2条，从

A村经

B村去

C村，不同路线的条数是

．ABC6解析：3×2＝6当堂训练2.某地地铁一号线正式开通的时候，两位同学同时乘坐地铁，已知该地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有()A.15种

B.30种C.36种D.64种C3.已知

x∈{2，3，7}，y∈{-3，-4，8}，则

x·y可表示不同的值的个数为()A.10

B.6C.8D.9D1.书架上第

1

层放有

4

本不同的计算机书，第2

层放有

3

本不同的文艺书，第

3

层放有

2

本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法？(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法？分析：要完成的一件事怎样完成这件事(1)(2)从书架上任取1本书分三类完成从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书分三步完成综合应用1.书架上第

1

层放有

4

本不同的计算机书，第2

层放有

3

本不同的文艺书，第

3

层放有

2

本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层任取一本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层任取一本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层任取一本体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9.综合应用1.书架上第

1

层放有

4

本不同的计算机书，第2

层放有

3

本不同的文艺书，第

3

层放有

2

本不同的体育书.(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法？解：(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24.综合应用变式训练现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

(2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？解：从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；

从高三年级的学生中选取1名，有4种选法；(1)从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有3＋5＋4＝12种不同选法；(2)从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有

3×5×4＝60种