2025-2026学年山东省济南市历城区稼轩学校七年级 (下) 月考数学试卷 (3 月份)（含答案）

-2026学年历城区稼轩学校七年级(下)月考数学试卷(3月份)（满分150分时间120分钟）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列交通标志中，是轴对称图形的是()2.如图，已知直线a∥b，现将含45∘角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，若∠1=23∘，则∠2的度数为()A.68∘B.67∘C.23∘D.22∘3.如图，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是()A.AC是△BDC的高B.DE是△ABE的高C.DE是△ABC的高D.AC是△ABE的高4.如果一个角的度数比它补角的2倍多30∘，那么这个角的度数是()A.50∘B.70∘C.130∘D.160∘5.如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是()如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：(1)以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心③长为半径画弧交(2)步中所画弧于点F；(4)作④，∠DEF即为所求作的角。A.①表示点EB.②表示PQC.③表示OQD.④表示射线EF6.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是()A.AB，BC，ACB.AB，BC，∠BC.AB，AC，∠BD.∠A，∠B，BC7.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC。将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≅△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS8.下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=180∘；②如图2，AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180∘。正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC为()A.2B.3C.4D.510.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③∠EAM=∠ABC；④AM是△AEG的中线。其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E共线。若想利用SAS证明△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______12.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种。13.以点O为中心，若射线OA的方向为北偏东55∘，∠AOB=90∘，则射线OB的方向为______14.在△ABC中，∠A=3∠B=5∠C，这个三角形为______三角形。15.如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′=28∘，∠B=120∘，则∠A′NC=______16.如图，在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=9，∠A=∠B=∠C=60∘，点D为边AB上一点且BD=6。点P为BC边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发。若在点Q返回过程中存在△DBP与△PCQ全等，点Q的运动速度为______。三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题16分)计算：(1)∣−2∣+(π−3)0−(−13)−2+(−1)2027(2)(3x2y)·(−4y3)÷(6xy)(3)(8x4+4x3−x2)÷(−2x)2(4)(2x+3+a)(−2x+3−a)18.(本小题6分)先化简，后求值：[(2a−b)2−(2a+b)(−2a+b)]÷(−4a)，其中a=−1219.(本小题6分)已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3。求证：AB∥DC。20.(本小题7分)已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD。(1)求证：∠E=∠F；(2)若∠A=40∘，∠D=80∘，求∠E的度数。21.(本小题6分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上。(1)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；(2)请求出△ABC的面积。22.(本小题10分)如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，且点D在CB的延长线上，连接BE。(1)求证：∠ABE=60∘；(2)若BE=7，AC=4，求BD的长度。23.(本小题11分)【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是我们学习的常见的办法。如图1，边长为a+b的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形(如图2)，且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题。【探索归纳】①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______(用含a，b的式子表示)；②图2中4部分的面积之和是______(用含a，b的式子表示)；③因此，可以得到等式：______。【学以致用】简便计算：①1032；②3.142+6.28×6.86+6.862。【拓展应用】若图2中的方形的长(b)与宽(a)的值分别为12−m和m−3，且满足(12−m)(m−3)=18，请求出(12−m)2+(m−3)2的值。24.(本小题12分)如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间(不在直线PQ，MN上)的一个动点。(1)如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由。(2)把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF=∠GDF，求∠AEN∠CDG(3)如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC=25∘，求∠ACB+∠ADB的度数。25.(本小题12分)(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2)，①延长AD到M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是______方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”。“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。(2)请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明。(3)深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90∘，请直接利用(2)的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明。答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列交通标志中，是轴对称图形的是(D)解析：轴对称图形定义为沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合。A、B选项的箭头标志，折叠后无法重合；C选项限速40标志，数字和图案不对称；D选项横杠禁止标志，沿竖直中线折叠后完全重合，是轴对称图形。2.如图，已知直线a∥b，现将含45∘角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，若∠1=23∘，则∠2的度数为(A)A.68∘B.67∘C.23∘D.22∘解析：已知直线a∥b，三角板含45∘角，∠1=23∘。根据平行线性质，∠2=90∘−∠1=90∘−23∘=68∘。3.如图，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为C，E，则下列说法正确的是(D)A.AC是△BDC的高B.DE是△ABE的高C.DE是△ABC的高D.AC是△ABE的高解析：三角形的高是从一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段。A：AC⊥BC，AC是从A到BC的垂线，不是△BDC的高，不正确；B：DE⊥BC，但DE的端点不在△ABE的顶点上，不是其高；C：DE不在△ABC内部，不是其高；D：AC的垂足在BE的延长线上，是△ABE的高，正确4.如果一个角的度数比它补角的2倍多30∘，那么这个角的度数是(C)A.50∘B.70∘C.130∘D.160∘解析：设这个角的度数为x，则其补角为180∘−x。根据题意列方程：x=2(180∘−x)+30∘展开得：x=360∘−2x+30∘移项合并：3x=390∘解得：x=130∘。5.如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是(D)如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：(1)以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；(2)作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；(3)以点D为圆心③长为半径画弧交(2)步中所画弧于点F；(4)作④，∠DEF即为所求作的角。A.①表示点EB.②表示PQC.③表示OQD.④表示射线EF解析：尺规作一个角等于已知角的步骤：①以点O为圆心画弧，A错误；②以点E为圆心，OP长为半径画弧，B错误；③以点D为圆心，PQ长为半径画弧，C错误；④作射线EF，D正确。6.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(C)A.AB，BC，ACB.AB，BC，∠BC.AB，AC，∠BD.∠A，∠B，BC解析：A：SSS，能唯一确定三角形；B：SAS，能唯一确定三角形；C：SSA，不能唯一确定三角形，配出的玻璃不一定符合要求；D：AAS，能唯一确定三角形。7.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC。将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≅△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS解析：在△ABC和△ADC中：AB=AD三边对应相等，依据SSS判定全等。8.下列结论：①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=180∘；②如图2，AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180∘。正确的个数有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①错误：AB∥CD时，∠A+∠E+∠C=360∘；②正确：过点P作平行线，可证∠P=∠A−∠C；③正确：利用平行线和外角性质，可证∠E=∠A+∠1；④错误：正确关系为∠α+∠β−∠γ=180∘。综上，正确的有2个。9.如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC为(A)A.2B.3C.4D.5解析：设S△ABC=x，根据三角形面积与底、高的比例关系：总面积S△DEF=x+x+3x+3x+2x+2x+6x=18x。已知S△DEF=36，则18x=36，解得x=4。10.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③∠EAM=∠ABC；④AM是△AEG的中线。其中正确结论的个数是(D)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①BG=CE：证△ABG≌△AEC(SAS)，可得；②BG⊥CE：由全等得角相等，结合对顶角可证垂直；③∠EAM=∠ABC：利用同角的余角相等可证；④AM是△AEG的中线：作垂线证全等，可得EM=GM。四个结论均正确。二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E共线。若想利用SAS证明△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是___AD=AC___解析：已知∠DAB=∠CAB，AB为公共边，根据SAS判定，需添加夹角的另一边相等，即AD=AC。12.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有___3___种。解析：在方格中，空白小正方形有3个位置涂黑后，新图案能沿对称轴折叠重合，故有3种涂法。13.以点O为中心，若射线OA的方向为北偏东55∘，∠AOB=90∘，则射线OB的方向为___北偏西35∘（或南偏东55∘）___解析：射线OA北偏东55∘，∠AOB=90∘，则OB与正北方向夹角为90∘−55∘=35∘，方向为北偏西35∘；另一种情况为南偏东55∘。14.在△ABC中，∠A=3∠B=5∠C，这个三角形为___钝角___三角形。设∠A=x，则∠B=x3，∠C=x根据三角形内角和：x+x3+x通分计算得x≈117∘>90∘，故为钝角三角形。15.如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′=28∘，∠B=120∘，则∠A′NC=___116°___解析：由折叠得∠A=∠A′=28∘，△ABC中∠C=180∘−28∘−120∘=32∘。MN∥BC，则∠ANM=∠C=32∘，∠A′NM=32∘。∠A′NC=180∘−32∘−32∘=116∘。16.如图，在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=9，∠A=∠B=∠C=60∘，点D为边AB上一点且BD=6。点P为BC边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发。若在点Q返回过程中存在△DBP与△PCQ全等，点Q的运动速度为___10或163解析：设运动时间为t秒，BP=2t，PC=9−2t，BD=6。△DBP与△PCQ全等，分两种情况：①BD=PC，BP=CQ：6=9−2t，解得t=1.5，CQ=3，Q折返路程为9+(9−3)=15，速度15÷1.5=10②BD=CQ，BP=PC：2t=9−2t，解得t=2.25，CQ=6，Q折返路程为9+(9−6)=12，速度12÷2.25=16三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题16分)计算：(1)∣−2∣+(π−3)0−(−13)−2+(−1)2027(2)(3x2y)·(−4y3)÷(6xy)=2+1－9－1=－12x2y4÷36x2y2=－7=－13y(3)(8x4+4x3−x2)÷(−2x)2(4)(2x+3+a)(−2x+3−a)=(8x4+4x3−x2)÷4x2=32－（2x+a）2=2x2+x－14=9－4x2－4xa－a18.(本小题6分)先化简，后求值：[(2a−b)2−(2a+b)(−2a+b)]÷(−4a)，其中a=−12解原式=[4a2－4ab+b2－b2+4a2]÷（－4a）=[8a2－4ab]÷（－4a）=－2a+b将a=−12，b=2代入原式=－2×（−119.(本小题6分)已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3。求证：AB∥DC。证明：∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC∴∠1=12∠ABC，∠2=1∵∠ABC=∠ADC∴∠1=∠2又∵∠1=∠3∴∠2=∠3∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）20.(本小题7分)已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD。(1)求证：∠E=∠F；(2)若∠A=40∘，∠D=80∘，求∠E的度数。(1)证明∵EA∥FB∴∠A=∠FBD∵AB=CD∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD在△EAC和△FBD中：EA=FB∴△EAC≌△FBD(SAS)∴∠E=∠F(2)在△EAC中，∠E=180∘−∠A−∠ACE∵△EAC≌△FBD∴∠ACE=∠D=80∘∴∠E=180∘−40∘−80∘=60∘21.(本小题6分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上。(1)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；(2)请求出△ABC的面积。（1）（2）S△ABC=4×3−12×2×2−12×1×4−=12−2−2−3=5​22.(本小题10分)如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，且点D在CB的延长线上，连接BE。(1)求证：∠ABE=60∘；(2)若BE=7，AC=4，求BD的长度。(1)证明∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60∘∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠CAD=∠BAE在△CAD和△BAE中：AC=AB∴△CAD≌△BAE(SAS)∴∠ABE=∠C=60∘(2)由△CAD≌△BAE，得CD=BE=7∵BC=AC=4∴BD=CD−BC=7−4=323.(本小题11分)【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是我们学习的常见的办法。如图1，边长为a+b的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形(如图2)，且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题。【探索归纳】①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是______(用含a，b的式子表示)；②图2中4部分的面积之和是______(用含a，b的式子表示)；③因此，可以得到等式：______。【学以致用】简便计算：①1032；②3.142+6.28×6.86+6.862。【拓展应用】若图2中的方形的长(b)与宽(a)的值分别为12−m和m−3，且满足(12−m)(m−3)=18，请求出(12−m)2+(m−3)2的值。【探索归纳】①(a+b)2②a2+2ab+b2③(a+b)2=a2+2ab+b2【学以致用】①1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609②=3.142+6.28×6.86+6.862=3.142+2×3.14×6.86+6.862=(3.14+6.86)2=102=100【拓展应用】设x=12−m，y=m−3，则xy=18，x+y=9x2+y2=(x+y)2−2xy=92−2×18=81−36=45即(12−m)2+(m−3)2=4524.(本小题12分)如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间(不在直线PQ，MN上)的一个动点。(1)如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由。(2)把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF=∠GDF，求∠AEN∠CDG(3)如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC=25∘，求∠ACB+∠ADB的度数。(1)数量关系：∠C=∠1+∠2理由：过点C作CD∥PQ∵PQ∥MN，∴CD∥MN∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2（2）步骤1：由(1)的结论，过C作平行线可得：∠C=∠CDQ+∠CEM，∵△ABC是直角三角形，∠C=90∘，∴∠CDQ+∠CEM=90∘，即∠CDQ+∠AEN=90∘（∠CEM与∠AEN为同一个角）。∵∠BDF=∠GDF（已知DG平分∠BDF），且∠BDF=∠CDQ（对顶角相等），∴∠GDF=∠CDQ。又∵∠CDQ+∠CDG+∠GDF=180∘（平角定义），代入∠GDF=∠CDQ，得：2∠CDQ+∠CDG=180∘，∴∠CDQ=180∘−∠CDG2=90∘−1将∠CDQ=90∘−1290∘−12∠AEN=12∴∠AEN∠CDG=(3)∵BC平分∠PBD，∠PBC=25∘（已知），∴∠PBD=2∠PBC=50∘。∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDN=50∘（两直线平行，内错角相等）。设∠MAD=α，∵AM平分∠CAD，∴∠CAM=∠MAD=α，即∠CAD=2α。由(1)的结论：∠ACB=∠PBC+∠CAM=25∘+α（PQ∥MN，过C作平行