甘肃省2026年高三年级第二次模拟考试数学试题（含答案）

甘肃省2026年高三年级第二次模拟考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 2026.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向量a=(1,2),b=(-1,3),则向量a+b=A.(0,1) B.(0,5) C.(2,-1) D.(2,1)2.椭圆x2a2+y24A.2 B.2 C.4 D.223.集合A=1+i1−i1i(i为虚数单位),则A.A B.2 C.∅ D.{2}4.数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn,aA.0 B.4 C.6 D.85.函数fxA.-1 B.−5 C.-3 D.-6.凸显地方特色、挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”高三年级第二次模拟数学试题·第1页(共4页)等组成的“不土特产”类毛绒产品；还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为A.14 B.20 C.24 D.1207.正四面体ABCD的棱长为2，点M，N分别在棱AB，CD上，则线段MN长度的最小值为A.1 B.2 C.3 D.28.函数fx=lgx+2xx+1,若f(a)+f(b)=2(a＞0,bA.2 B.2 C.4 D.16二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.数列{an}是各项为正数的等比数列，其前n项和为SnA.a2026=22025 B.数列C.Sn=an+110.函数f(x)=sinx+3sin3x+…+(2n-1)sin(2n-1)x(n∈N₊,且n＞1),则以下结论正确的是A.函数y=f(x)的最小正周期为π B.函数y=f(x)在区间(0π2C.当n=2026时,fπ2=−2026 D.函数y=f11.正方形ABCD的顶点坐标分别为A(22,0),B(0,22),C(-22,0),D(0,-22),曲线E:x|x|+y|y|+4=0分别与BC,DA交于点M,N,则以下结论正确的是A.|CD|+|DN|=|MA|B.坐标原点O到曲线E上任意一点距离的最小值为2C.曲线E与直线AB有两个交点D.曲线E上存在点P,使AP⊥BP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某超市有两个人工收银区A，B和一个自助收银区C，通过统计，顾客在A，B，C区进行付款的概率分别为12,13,16，在A，B，C区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为13,12,m，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为高三年级第二次模拟数学试题·第2页(共4页)13.函数f(x)是定义在(−∞0∪0+∞)上的偶函数，其导函数为f′(xf′(x)＞0,若flna＞f1,14.圆锥PO的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点P和底面圆周上任意两点A，B作圆锥的截面，当底面圆心O到截面PAB的距离为33时，△PAB重心的轨迹所围成图形的面积是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosAsinB=(2c-a)sinAcosB.(1)求B;(2)若c=2,D为AC中点,BD=72,求16.(15分)2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量x(单位：千件)与月检测成本y(单位：万元)，得到如下数据：x23456y3.24.25.15.86.7(1)求y关于x的回归直线方程y=bx+â,(2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为a(0＜a＜1)，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为P(a)，若P(a)是关于a的函数，求证：函数P(a)的图象关于点(12参考公式：b高三年级第二次模拟数学试题·第3页(共4页)17.(15分)如图,在多面体ABCD-EFG中,ABCD为矩形,AE,CF,DG分别与平面ABCD垂直,AE=AD=2,AB=CF=3,M,N分别是BD,EF的中点.(1)求证:MN∥平面DCFG;(2)若G,E,B,F共面,求平面EGC和平面DCFG所成角的余弦值.18.(17分)已知抛物线C:x2=2py（p＞0(1)求抛物线C的方程；(2)过T作抛物线C的切线l，连接OT，作OT的平行线交C于A，B两点，交l于点P，若∣PT∣2=λ∣PA∣⋅∣PB∣,19.(17分)已知fx=x−aex+a−1(1)当a=1时,求函数y=f(x)的最小值;(2)若函数y=f(x)在定义域内为增函数，求a的取值集合；(3)求证:(i)对于∀x＞(ii)对于∀n∈N₊,都有1×3高三年级第二次模拟数学试题·第4页(共4页)甘肃省2026年高三年级第二次模拟考试数学答案及评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BDDCBABC7.解析:如图，将正四面体ABCD放于正方体中，使AB，CD分别为相对两面的对角线，则当M，N分别为AB，CD的中点时，MN的长度最小，且等于正方体的棱长，由于正方体的棱长为2,故选B.8.解析:∵fx=lgx+2xx+1∴f∴f1a=fb, 又 ∴b=1a,即ab∴a+b2=a2+2ab+b2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ACDCDAB11.解析：可知曲线E的图象由双曲线x2−y2=4(A，C为其焦点)在第二象限及x轴负半轴上的点(-2，0)，圆x2+y2=4在第三象限内的点，双曲线y2数学答案第1页(共7页)近线y=-x的左下区域，而直线AB与y=-x平行，且在其右上区域，所以曲线E与直线AB没有交点，因此，选项C错误；易知曲线E关于直线y=x对称，根据双曲线定义,|MA|-|MC|=4,根据对称性,|DN|=|MC|,而|CD|=4,所以|MA|=4+|MC|=|CD|+|DN|,故选项A正确;设曲线在第二象限上任意一点Q(x，y)，根据双曲线方程及范围，∣OQ∣=曲线在第三象限上任意一点及(-2，0)和(0，-2)到原点的距离为2，根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，因此选项B正确；要满足AP⊥BP，点P必须在以AB为直径的圆上，而此圆除过原点外，其余点均在直线y=-x的右上方区域，与曲线E无交点，故选项D错误.故选AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.01e∪13.212.14.解析:如图,设C为AB中点,连接PC,作OD⊥平面PAB,则垂足D必在PC上,由题意可知PO=3,OD=33,则由于△PAB为等腰三角形，所以重心G在底边的中线PC靠近点C的三等分点处，∴PG=作GM⊥PO,垂足为M,则GM=PG×sin∠CPO=62×13=66四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)解:(1)∵acosAsinB=(2c-a)sinAcosB,∴a(cosAsinB+sinAcosB)=2csinAcosB,数学答案第2页(共7页)∴asinC=2csinAcosB,根据正弦定理可得:ac=2accosB,所以cosB=12,由于B∈(0, 5分(2)由于D为AC中点，所以2∴7=a2+2a+4, ∴a=1或a∴b2=a2+∴sin∴a2+∴sin∠ADB=sin16.(15分)(1)解：由条件可知：x列出下表x−-2-1012y−-1.8-0.80.10.81.7x−3.60.800.83.4x−41014将以上数据代入公式，可得b=0.86,â=1.56,所以y=0.86x+1.56, 5分当x=10时,y=10.16(万元),故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. …7分(2)证明：设x表示3件产品中不合格产品的件数，则x~B(3，a)， 9分故PP1−a∴Pa+P1−a 13分数学答案第3页(共7页)又∵函数的定义域为(0，1)，∴函数P(a)的图象关于点1212对称.17.(15分)改编自湘教版高中数学选择性必修二106页第11题(长方体截角)(1)证明:连接AC∵ABCD是矩形, ∴M是AC的中点,∵EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,∴EA∥FC,∵N是EF的中点, ∴MN∥FC∵MN⊄平面DCFG,FC⊂平面DCFG,∴MN∥平面DCFG. 7分(2)解:如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),B(2,3,0),C(0,3,0),E(2,0,2),F(0,3,3),N1连接GB，∵EA∥FC,FC⊂平面DCFG,EA⊄平面DCFG,∴EA∥平面DCFG,又∵AB∥CD,CD⊂平面DCFG,AB⊄平面DCFG,∴AB∥平面DCFG,又∵EA⊂平面EAB,AB⊂平面EAB,且EA∩AB=A,∴平面EAB∥平面DCFG,∵G,E,B,F共面,平面GEBF∩平面EAB=EB,平面GEBF∩平面DCFG=GF,∴GF∥EB, 同理GE∥BF,∴GEBF为平行四边形, ∴BG∩EF=N,且N为GB中点,可得G(0,0,5),则GE=20设平面EGC的法向量为m=则{m·GE→=2数学答案第4页(共7页)==同理∣PB∣=54x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分所以λ是定值85.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19.(19分)解:(1)当a=1时,fx=x−1ex,则f'x=xex,当x＜0时,f'(x)＜0,f(x)为减函数,当x＞0时,f'(x)＞0,f(x)为增函数，所以当x=0时，f(令gx=x−a+1当x＜a-2时,g'(x)＜0,g(x)为减函数,当x＞a-2时,g'(x)＞0,g(x)为增函数，∴gx=f令ha=−e当a＜2时,h'(a)＞0,h(a)为增函数,当a＞2时