安徽芜湖市无为中学等校2026届高三下学期3月考试（三）数学检测试卷 附答案

/高三3月（三）数学注意事项：1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】解出集合、后，利用交集定义即可得.【详解】，由，则，即有，解得，故，则.2.记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】C【详解】当时，，当时，，所以取最小值时，.3.某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（）甲乙丙销量占比好评率A.75 B.80 C.85 D.90【正确答案】B【详解】依题意，，解得.4.已知正方体的外接球表面积为，点在线段上（含端点），则的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据对称性得到，将问题转化为平面中点到直线的距离问题，垂线段最短，两边端点处最长，即可求解.【详解】依题意，，解得，根据对称性得，在中，因为，所以是等腰三角形，当为的中点时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，所以的取值范围是.5.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据正切的二倍角公式化简整理原式，再结合正切函数的性质和函数定义域判断周期.【详解】在定义域内，有，且且.若：取（在定义域内），不在定义域内，因此不是周期；若：对任意定义域内的，满足定义域要求，且，所以最小正周期为.6.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】设、，利用双曲线的渐近线方程与线段的中点坐标计算可得、两点坐标，再利用斜率公式计算即可得.【详解】由已知得的渐近线方程为，设在上，在上，则，由线段的中点坐标为，则，，即，则，，则，，故直线的斜率为.7.已知函数，则下列说法正确的是（）A.存在，使得曲线关于某点对称B.存在，使得曲线关于某直线对称C.存在，使得曲线关于某点对称D.存在，使得曲线关于某直线对称【正确答案】D【详解】由，得或，则函数的定义域为若曲线存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线上.因为，当时，，所以此时关于直线对称.又因为不可能恒等于某个常数，所以不可能关于某个点对称.8.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】因为，所以．令，记，，则，设，因为，所以，，当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致．因为恒成立，故实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（）A.在复平面内，所对应的点位于第二象限B.若，则，C.若，则为纯虚数D.若，则的取值范围为【正确答案】BD【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误；，若，则，，故B正确；当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误；，所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上，又，所以的取值范围为，故D正确.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得C.若的面积为1，则是直角三角形D.点到直线的距离的最大值为【正确答案】BCD【详解】如图：由已知可得，，.因为，即，所以不可能成立，故A错误；当点与的上（或下）顶点重合时，最大，此时，所以，所以，又，故B正确；设，因为，所以，，故C正确；设，，则点到直线的距离，又因为，其中且，所以.所以，故D正确.11.在中，角，，所对的边分别为，，，点，，分别为边，，的中点，且，，交于点，，，则下列说法正确的是（）A.B.若，则的面积为C.面积的最大值为120D.当的面积取得最大值时，【正确答案】ABD【分析】利用重心性质及平面向量线性运算可得A；利用重心性质与面积公式计算可得，即可得，即可得B；由三角形面积公式及三角函数有界性可得C；结合C中所得，利用勾股定理与重心性质计算可得D.【详解】对A：由题意知为的重心，则，故A正确；对B：由重心性质可得，，则，故，故B正确；对C：，当时等号成立，故C错误；对D：当面积取得最大值时，，则，故，，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______.【正确答案】##【分析】找出所有可能情况及符合要求的情况后计算即可得.【详解】在事件中，丙在第2位出场，则甲、乙两人占据相邻位置有3种情况：第3位和第4位、第4位和第5位、第5位和第6位，有3种可能，故.13.已知函数，则不等式的解集为______.【正确答案】【详解】令，不等式转化为，，当时，，解得，当时，显然不成立，所以，即.14.已知正四面体的体积为，若，，，四点分别在四个互相平行的平面内，且这四个平面每相邻两平面之间的距离都相等，则每相邻两平面之间的距离为______.【正确答案】【分析】根据三棱锥体积公式计算得出解得，再应用两平行平面之间的距离，结合几何特征计算求值即可.【详解】依题意正四面体的体积为，得，解得.如图所示，在正方体中作出正四面体，该正方体边长为，根据对称性，分别作过点，，的互相平行的平面，由于每相邻两平面之间的距离都相等，不妨求平面与平面之间的距离，其中，，，为正方体相应棱的中点，过点作于点，则即为两平行平面之间的距离，因为，所以，所以，即每相邻两平行平面之间的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某药物研发公司开展新药研究，给5只小白鼠分别注射不同剂量的药物，并检测小白鼠体内的激素水平，实验数据如下：药物剂量411141922激素水平2420161614（1）从这5只小白鼠中随机抽取2只，其中激素水平小于20小白鼠有只，求的分布列与数学期望；（2）求小白鼠体内的激素水平关于药物剂量的经验回归方程.（系数用分数表示）附：在经验回归方程中，，.参考数据：，.【正确答案】（1）012，（2）【分析】（1）依题意可知符合超几何分布，按公式写出分布列并计算期望即可；（2）算出和后再利用公式算出和即可得到回归方程.【小问1详解】由表格可知小白鼠中激素水平小于20的有3只，所以的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012.【小问2详解】由表格数据可得，，，，∴所求经验回归方程为.16.已知数列的前项之积为，，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）比较与的大小关系，并说明理由；（3）若数列满足，求的前项和.【正确答案】（1）（2），理由见解析（3）【分析】（1）先判断出数列的类型，再利用等比数列的通项公式求解即可.（2）利用等比数列的求和公式求和，再比较大小即可.（3）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为，，成等比数列，所以，则，即，因为，，所以，满足上式，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故.【小问2详解】，理由如下：由（1）得T2故.【小问3详解】依题意得，故17.如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上.（1）若，，，四点共面，求的值；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求.【正确答案】（1）2（2）6【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量共线和四点共面建立关于参数的方程并求解判断线段比例；（2）求解两个面的向量法进而求空间角的余弦值，进而建立关于的方程求解即可.小问1详解】由题意知，，，两两互相垂直.在平面内作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，，则，，，，，，，.又，分别为，的中点，，.设平面的法向量为，则,可取.又，，共面，，即，解得..【小问2详解】，.设平面的法向量为，则,可取.设平面与平面的夹角为，则，整理得，解得，.18.已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限.（1）若，求的斜率；（2）证明：为定值；（3）为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出韦达定理，代入焦点弦长公式即可求解；（2）利用焦半径公式来表示和计算即可求证；（3）由直线AO和BO的直线方程求出，再结合（1）中韦达定理求出MN=322⋅k2+14k【小问1详解】设，.显然直线不与轴垂直，故设直线，由得，，则，.AB=解得.【小问2详解】由抛物线的定义可知，，，即为定值.【小问3详解】由题意知点、在直线上.由上面的过程可知.，的方程为，由y=x14⋅x同理的方程为，由y=x24⋅，设，，则，，∴当，即，也即时，取得最小值为.19.已知函数，.（1）若实数满足，证明：曲线在处的切线与曲线也相切；（2）若函数，且，比较与的大小关系，并说明理由；（3）若恒成立，求实数的取值构成的集合.【正确答案】（1）证明见解析（2），理由见解析（3）【分析】（1）利用导数的几何意义结合即可证明；（2）对进行求导，利用，得到，为关于的方程的两个根，再令，得到，最后令，求导即可；（3）设，对其进行二阶求导，分类讨论即可.【小问1详解】依题意，得，曲线在点处的切线方程为，即，将代入即有.由，得，令，得，可得曲线在点处的切线方程为，将代入化简，可得，故曲线在处的切线与曲线也相切.【小问2详解】，.令，得，为关于的