河北省张家口市涿鹿县涿鹿中学等校2025-2026学年度高一下学期4月联考数学检测试卷 附答案

/高一年级数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在中，，则的值为（）A.18 B.9 C. D.【正确答案】A【详解】依题意，．2.如图，在平行四边形中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【详解】由分别为中点，得．3.用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案.【详解】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，．4.已知是同一平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为（）A. B. C. D.2【正确答案】B【详解】由三点共线，得，又不共线，则，所以．5.下列四个函数中，既在区间上单调递增，又以为最小正周期的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据周期公式，可判断A、B的正误；根据正弦型、余弦型函数的单调性，可判断C、D的正误.【详解】对于A和B，函数的最小正周期，故A，B错误；对于C，，且当时，，因函数在上单调递增，故在区间上单调递增，故C正确；对于D：，且当时，，因函数在上不是单调函数，故在上无单调性，故D错误．6.如图，单位圆与射线在第二象限交于点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点纵坐标关于运动时间的函数解析式是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据三角函数的定义结合条件即得.【详解】由题意：，又射线对应的角满足，可取：，则．7.已知，则值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】由题意得．8.已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由正弦函数性质结合题意得到不等式，由该不等式确定整数k的可能取值，进而求得ω的取值范围.【详解】因为在区间上不存在最值，又因为时，所以，解得，因为，所以，又因为，则，解得，所以，又，则或，当时，；当时，.所以的取值范围是．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称【正确答案】BCD【详解】对于，的最小正周期，故错误；对于，当，则单调递增，故正确；对于，的图象关于直线对称，故正确；对于，的图象关于点对称，故正确．10.若函数为偶函数，则的值可以是（）A. B. C. D.【正确答案】AC【详解】若为偶函数，则，解得.当时，；当时，．11.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若与的夹角为，则B.若，则C.若，则D.若与方向相同，则在上的投影向量的坐标是【正确答案】AB【分析】利用数量积的运算律求解判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；求出投影向量的坐标判断D.【详解】对于A，由题意，则，故A正确；对于B，由，得，因此，故B正确；对于C，由，得，因此，故C错误；对于D，与方向相同，则在上的投影向量为，故D错误．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.求值：______．【正确答案】##【详解】原式．13.已知向量满足，且，则与的夹角为______．【正确答案】【详解】因为，所以，又所以与的夹角为．14.如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为______．【正确答案】##2.75【分析】如图建系，根据等腰梯形的性质，求出各个长度，即可得所需向量的坐标，根据数量积公式，结合二次函数的性质，即可得答案.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，因为，，，所以，，即梯形的高为，又，即，所以，设，则（其中），则，所以，当且仅当时，等号成立．所以当时，取得最小值．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知，求的值．【正确答案】【分析】根据已知条件判断的范围，再根据两角差的正切公式求得，进而得解.【详解】因为，所以，，所以.16.已知向量．（1）求；（2）若，求实数的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据平面向量线性运算坐标表示计算即可（2）由两向量垂直则数量积为结合平面向量坐标运算列式求出值即可.【小问1详解】．【小问2详解】，由已知，得，解得．17.已知函数．（1）求的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）若把图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求的值域．【正确答案】（1）最小正周期；对称轴方程为．（2）．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解.（2）由给定变换求出，进而求出指定区间内函数的值域.【小问1详解】，所以的最小正周期；由，得，所以的图象的对称轴方程为.【小问2详解】依题意，，由，得，则，因此，所以的值域为．18.已知向量，函数．（1）求的单调递减区间；（2）若，且，求的值．【正确答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据向量数积的坐标运算，结合三角恒等变换得，再整体代换求解单调区间即可；（2）结合（1）得，再结合得，最后根据正弦的差角公式求解即可.【小问1详解】解：因为向量，所以，令，解得，所以的单调递减区间为．【小问2详解】解：由（1）得，所以，又，所以，又，所以，所以，所以．所以的值为．19.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）若，求；（2）若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；（3）在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围及的最大值．【正确答案】（1）；（2）正确，证明见解析；（3），的最大值为．【分析】（1）根据题意，利用向量线性运算法则，即可求解；（2）根据充分性和必要性的判定，结合共线向量的线性运算法则，即可得证；（3）根据向量新定义和向量的运算法则，得到，转化为对任意恒成立，结合二次函数的形状和向量的夹角公式，以及三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】因为，两边平方得，所以.【小问2详解】正确，理由如下：由向量，必要性：若，当时，则存在唯一的实数，使，即，所以，整理得；当时，也成立．充分