河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学学科月考试题 附答案

/河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学学科月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数满足，则（）A. B. C.1 D.2【正确答案】B【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.【详解】，故选：B2.设，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案.【详解】由，得，故由，得，故选：B3.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】D【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值．【详解】解：的导数为，可得在点处的切线的斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得，故选：．4.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或【正确答案】B【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.5.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，又当时，，.故选：C6.函数在上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.【详解】，因为函数在上不单调，所以函数有零点，所以方程

有根，所以函数与

有交点（且交点非最值点），因为函数的值域为，所以

.故选：D7.已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（）A.（1，+∞） B.[1，+∞） C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0]【正确答案】A【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。【详解】由题意得：令因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex即,所以故选:A本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。8.函数在上存在单调递增区间，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解.【详解】因为，所以，因为函数在上存在单调递增区间，所以，使得，所以，，设，故需小于函数在上的上界，因为，所以，则，所以．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列函数求导错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可.【详解】对于A：，A选项错误；对于B：，B选项错误；对于C：，C选项正确；对于D：，D选项错误.故选：ABD.10.已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.在区间和上，函数均是减函数B.为函数的零点C.为函数的极小值点D.为函数的最大值【正确答案】AC【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，当时，，又，；当时，，又，；在和上均为减函数，A正确；对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误；对于C，由A知：在上为减函数；当时，，又，；上单调递增，又，，是的极小值点，C正确；对于D，当时，，又，；在上单调递减，又在上单调递增，是的极大值，无法确定是最大值，D错误.故选：AC.11.已知函数，下列判断正确的是（）A.的单调减区间是， B.的定义域是C.的值域是 D.与有一个公共点，则或【正确答案】ABD【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；对A，，令可得和，解得和，故的单调减区间是，，故A正确；对C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，作出简图，可得的值域是，故C错误；对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为______.【正确答案】【分析】求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程.【详解】，，在点处的切线的斜率，则切线方程为，即.故答案为.13.已知函数满足在处导数为__________.【正确答案】#【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值.【详解】,，，.故答案为.14.若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________.【正确答案】【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得.【详解】，令，时，时，所以在单调递减，在上单调递增，又函数在区间上单调，所以或，解得或.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）【正确答案】（1）（2）（3）（4）【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【小问4详解】令，则.16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）设，求的最值．【正确答案】（1）的单增区间为和，单减区间为.（2）最小值为，最大值为.【分析】（1）求出导函数，利用导数求出的单调区间；（2）根据单调性，求出端点值和极值，即可得到的最值．【小问1详解】函数的导函数为.当和时，有，所以单调递增；当时，有，所以单调递减.即的单增区间为和，单减区间为.【小问2详解】由（1）可知：在上递增，在上递减，在上递增.又，；，.所以在上的最小值为，最大值为.17.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【正确答案】（1）极大值是，极小值是；（2）【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值；（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围.【小问1详解】，由导数的几何意义可知，，且，得，所以，，得或，，得或，，得，所以的增区间是和，减区间是，所以极大值是，极小值是；【小问2详解】由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，所以在区间的最大值为，，若存在，使得不等式成立，则，所以.18.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.【小问1详解】由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.【小问2详解】由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.【详解】（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）