福建福州铜盘中学2025-2026学年第二学期3月月考高一年段数学检测试卷 附答案

/福州铜盘中学2025-2026学年第二学期3月月考高一年段数学学科一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据相等向量的概念可判断A选项，根据平面向量的数量积的定义可判断B选项，根据平行向量的概念可判断C选项，根据向量的模长的概念可判断D选项.【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A错误；，为的夹角，因为，所以，所以不一定等于1，故B错误；方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；因为都是单位向量，所以，所以，故D正确，故选：D.2.O是△ABC内一点，若||＝||＝||，则O是△ABC的()A.重心 B.内心C.外心 D.垂心【正确答案】C【详解】试题分析：外心是三角形的三条中线的交点，外心到三角形的三个顶点的距离相等.考点：三角形的四心.3.如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（

）A.与 B.与C.与 D.与【正确答案】D【分析】利用相等向量的概念一一判断.【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以互相平分.对于A：与不平行，不可能相等，故A错误；对于B：与大小相同，方向相反，故B错误；对于C：与不平行，不可能相等，故C错误；对于D：大小相等，方向相同．即与是相等的向量．故选：D4.在复平面内，复数z对应的向量，则（）．A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由复数的几何意义与共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意，则.故选：B.5.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；对于B选项，，所以共线，不能作为基底；对于C选项，，所以共线，不能作为基底；对于D选项，易知不共线，可以作为基底.故选：D.6.如图，若向量对应的复数为，且，则（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】设复数，利用复数模的运算及复数的除法运算即可得出结果.【详解】解：根据图象可设复数，因为，所以，解得.所以，.故选：B.7.已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，，所以在方向上的投影向量为，故选：C8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（）．A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题干中的定义即可求得结果.【详解】因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转，因为点，，所以，根据题干定义，得点P坐标为，故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知向量，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若与的夹角为钝角，则 D.在上的投影向量为【正确答案】BD【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据数量积的运算律得到，再由数量积的坐标表示判断B，利用特殊值判断C，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A：因为，所以，解得，故A错误；对于B：若，则，即，所以，即，解得，故B正确；对于C：当时，，此时与的夹角为，故C错误；对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.故选：BD10.已知为虚数单位，，则关于复数的说法正确的是（）A. B.对应复平面内的点在第三象限C.的虚部为 D.【正确答案】AD【分析】根据，利用复数的乘除运算得到，再逐项验证.【详解】因为，所以，所以，，z的虚部为-1，z所对应的点为（0,-1），在坐标轴上，故选：AD本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.在中，，则的面积可以是（）A. B.1 C. D.【正确答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：∵，由余弦定理得，∴，∴，或，∴由的面积公式得或，故选：AD．本题主要考查三角形面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量是两个单位向量，夹角为，则______．【正确答案】##【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由向量是两个单位向量，夹角为，可得，则.故答案为.13.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.【正确答案】【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.【详解】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以解得：，所以.故答案为.本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.14.是虚数单位，则的值为__________.【正确答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【详解】．本题考查了复数模的运算，是基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【小问1详解】解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；小问2详解】解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．16.已知复数满足，．（1）求；（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据已知得出，利用共轭复数定义和模的计算公式求解即可.（2）利用复数的运算分别求出，，三点坐标，然后利用数量积的变形公式求解向量夹角的余弦值即可.【小问1详解】因为，，两式相加得，所以，故．【小问2详解】由（1）得，则，，则，，则，所以，，故．17.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．【正确答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得；（2）将理解为，利用两向量夹角坐标公式即可求得.【小问1详解】如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，由题意，易得，,过点作轴于点，则,故,则又，则故得，，解得，故．【小问2详解】由图知，，即的余弦值为.19.作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，.（1）若时，求护栏的长度（的周长）；（2）若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求；（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）在中求出，，再在中，利用余弦定理求出，进而由得，从而求，可得护栏的长度（的周长）；（2）设（），利用三角形的面积公式可得，又在中，由正弦定理得，从而由可求；（3）设，在中，利用正弦定理求出，再利用三角形的面积公式和三角恒等变换即可求解.【小问1详解】由，，，得，又，则，，所以，在中，由余弦定理可得，则，因为，所以，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为.【小问2详解】设，因为鱼塘