福建武夷山市第二中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学卷 附答案

/2025-2026学年高一数学3月月考卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上；一、单选题1.已知复数，为虚数单位，则共轭复数（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】直接写出共轭复数即可.【详解】因为复数，所以共轭复数.2.化简：等于（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】.3.已知向量，，则（）A. B. C.3 D.【正确答案】D【详解】．4.3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（）A.m B.m C.m D.m【正确答案】A【分析】利用正弦定理列方程，由此求得正确答案.【详解】由正弦定理得，所以.5.已知两个单位向量，互相垂直，则（）A.3 B.4 C.5 D.9【正确答案】A【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直，所以，，，所以.6.已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°【正确答案】C【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案.【详解】因为，所以，由于，所以.7.在中，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得.【详解】因为，且，所以.又因为中，，由正弦定理得，所以.8.已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解．【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得.故选：D．二、多选题9.已知向量，若与垂直，则（）A.1 B. C. D.2【正确答案】BC【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，且与垂直，所以．故选：BC10.（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确，由，故D错误．故选：ABC.11.（多选）已知，，，，那么（）A. B.若，则，C.若是中点，则，两点重合 D.若，，三点不重合且共线，则【正确答案】ACD【分析】利用向量坐标运算分别对每个选项进行计算或推理：A直接作差验证；B根据平行条件列方程，举反例排除；C由中点条件建立方程组求解；D利用三点共线的向量条件列式讨论，排除重合情形后得到结果.【详解】因，，，所以，，所以，故A正确；若，则，当，时也符合，故B错误；因为，是中点，所以，所以解得，所以，，两点重合，故C正确；若，，三点共线，则存在实数，使得，而，，所以，所以，且，则或，而时，，此时，重合，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题12.若向量满足，，，则_____________.【正确答案】【分析】根据向量共线的充要条件列方程（组）可求解.【详解】因，，，方法一：所以，解得.方法二：所以存在非零实数k，使得，即，所以，解得.13.已知向量与的夹角是，且，则向量在向量上的投影向量是______【正确答案】【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可.【详解】由题意，，则向量在向量上的投影向量为.故答案为.14.在中，，，面积的最大值为______．【正确答案】【详解】由余弦定理可得：，，.，当且仅当时等号成立，，即面积的最大值为.四、解答题15.设，已知复数，分别求下列条件下的的值（1）为实数（2）为纯虚数【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据虚部为零可求答案；（2）根据实部为零，虚部不为零可求答案.【小问1详解】因为为实数，所以，即.【小问2详解】因为为纯虚数，所以，解得.16.在中，角、、对边分别为、、，已知，，.（1）求角的大小；（2）求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理计算即可；（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可.【小问1详解】，，，；小问2详解】，.17.已知，.（1）若与同向，求；（2）若，的夹角为，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）首先理解同向向量夹角为，再将相应数据代入数量积公式求解即可；（2）根据数量积的性质展开求解即可.【小问1详解】因为与同向，所以，且与的夹角为.所以.【小问2详解】因为，所以.18.设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线.（1）求的值；（2）若，，①求向量与的夹角的余弦值；②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标.【正确答案】（1）（2）①；②【分析】（1）由向量的线性运算和平面共线的条件计算；（2）①由向量夹角的坐标运算求解；②由求点的坐标.【小问1详解】由已知得，又，因为三点共线，所以，即.【小问2详解】由已知得，；②由平行四边形得，又，所以，解得，即19.在中，内角，，的对边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题中条件结