湖北省武汉市新洲区部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学检测试卷 附答案

/湖北省武汉市新洲区部分学校2025−2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．2．如图，平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（

）

A． B． C． D．3．已知直线的倾斜角为，则（

）A．3 B． C． D．4．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（

）A．事件不互斥 B．事件B与事件相互独立C． D．6．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线与平面成30°的角，则线段长度的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（

）A．若Q点坐标为，则与共线B．若，则C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为10．已知点，，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为C．当∠PAB最大时，△PAB的面积为D．△PAB的面积的最大值为11．如图所示，某工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一.点P是圆弧（包括端点）上的动点.（

）A．存在点P使得B．当圆柱体的高一定时，多面体的体积恒为定值C．若平面，则的最短距离为D．若，则二面角的正切值的最大值为三、填空题12．两平行直线之间的距离为__________.13．已知向量，，且，则的最小值为________.14．两个有共同底面的正四棱锥E-ABCD与F-ABCD，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角E-AB-F的正切值为-4，则四边形ABCD的周长为________.四、解答题15．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.（1）若三点共线，求的值；（2）若四点共面，求的最大值.16．在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3.（1）求边所在的直线方程；（2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程.17．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）当时，求游戏三的获胜概率；（3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且面，，，点为的中点，点M，F分别为线段，上的动点（端点除外）.（1）求证：面面；（2）是否存在点F使得二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）当F为的中点时，试判断与平面是否平行，并写出理由？19．已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4.（1）求圆C的方程；（2）设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E.①求曲线E的方程；②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选C2．【正确答案】A【详解】因为，又点是线段上的一点，且，所以，所以.故选A3．【正确答案】A【详解】由题可知直线的斜率为，所以.故选A.4．【正确答案】B【详解】圆的圆心为，半径为，因为圆与圆关于直线对称，所以圆半径为，设圆圆心为，则两圆圆心连线的中点在直线上，且两圆心所在直线与直线垂直，故，解得，所以圆圆心为，所以圆的方程为.故选B5．【正确答案】C【详解】

由树状图可知，，故C正确，D错误.对于A：由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故是互斥的，故A错误；对于B：，故事件B与事件不相互独立，故B错误；故选C.6．【正确答案】A【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，则，设平面的法向量，则有，令，则解得，所以，而，设，故，设，则，得到，解得，可得，即，设点到平面的距离为，由点到平面的距离公式得，故A正确.故选A7．【正确答案】C【详解】设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点F的坐标代入，化简得（不同时为0），故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为.故选C8．【正确答案】B【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设，设，则，，设平面的法向量，可得：，令，则，所以直线PQ与平面成30°的角，，，，，又，解得，可得.故选B9．【正确答案】AC【详解】向量，，，Q点坐标为，则，，所以，则与共线，故A正确；，，若，则，即，故B错误；若Q点坐标为，则，又，，若P，A，B，Q四点共面，则，即，则，解得，故C正确；∵，点直线上运动，∴可设，又向量，∴，，∴当时，取得最小值，故D错误，故选AC．10．【正确答案】BD【详解】显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2，直线方程为，圆心在直线上，

对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A不正确；对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得，因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确；对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时，，，C错误；对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确.故选BD11．【正确答案】ABD【详解】对于A,，连接，则.设交圆弧于点，过作交圆弧于点，则四边形为平行四边形，又，所以，故存在点P使得.故A正确；对于B,设圆柱体的高为则多面体的体积，点，为定点故为定值，又为定值，所以多面体的体积为定值；对于C，建立如图空间直角坐标系设则，平面，因为点P是圆弧（包括端点）上的动点，则，，所以，，当且仅当时取等号，，的最短距离为，故C错误；对于D，若，由（1）知，设，则,所以，又，设平面的法向量为，则，即，令，则，取平面的一个法向量，设二面角为，由图可知，，,，则，由，则，二面角的正切值的最大值为.故选ABD12．【正确答案】/【详解】由题意得，可化为，所以两直线的距离为.13．【正确答案】6【详解】由题可得：，即,则,当时，,则的最小值为.14．【正确答案】4【详解】设球心为，底面的中心为，连接，两个正四棱锥E-ABCD与F-ABCD有共同底面且各顶点均在半径为1的球面上，平面，平面，平面，则四点共面.设四边形的边长为，底面是正方形，，取的中点为，连接，，，设则是二面角E-AB-F的平面角，由正切公式又平面，，同理，设，则，由题意可得，又顶点在球面上，可得，即,，带入公式，得，解得，四边形ABCD的周长为.15．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则，又，，所以即，解得，所以；（2）因为A，B，C，D四点共面，所以，即，于是有，解得，即，所以，当，时，取到最大值.16．【正确答案】（1）（2）或【详解】（1）由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3，得直线BC方程为，即，而的角平分线CD所在的直线方程为，由，解得，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上，则，解得，即，直线的斜率，所以直线AC的方程为，即.（2）由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点，由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或，当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即，当直线时，直线l的斜率为，方程为，即，所以直线l的方程为或.17．【正确答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为（2）（3）的所有可能取值为5，6，7【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为.游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以，所以游戏二获胜的概率为.（2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为，时，样本的个数为2，所以所求概率为；（3）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，则，且，，互斥，相互独立，所以又，且，，互斥，所以若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，所以，即.进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次第一次1234512345当时，，舍去当时，，满足题意，因此的所有可能取值为.18．【正确答案】（1）见详解（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点（3）不平行，理由见详解【详解】（1）连接与交于点，连接，∵底面为菱形，∴点为的中点，又∵点为的中点，∴，又∵平面，∴面，又∵面，∴面面；（2）∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∴.∵平面，且底面为菱形，∴两两垂直，以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴.设，则.设平面的法向量为，则令，可得.由题意得为平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，则，解得，∴存在点为棱上靠近点的三等分点，使得平面与平面夹角的余弦值为（3）因为动点M在线段（端点除外）上，设，，，，则，，则，则，又当为的中点时，，平面的一个法向量为，此时，又因为，所以，即与不垂直，故与平面不平行.19．【正确答案】（1）（2）①②存在，【详解】（1）由题意可设圆C