湖南省新高考教学教研联盟2025-2026学年高二上学期12月数学检测试卷（B卷） 附答案

/湖南省新高考教学教研联盟2025−2026学年高二上学期12月学情检测数学试题（B卷）一、单选题1．将集合用列举法表示是（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x–3）2+（y–4）2=16，则两圆的位置关系为A．外切 B．内切 C．相交 D．外离4．已知等差数列的公差为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．在棱长为2的正方体中，（

）A． B．4 C． D．26．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中.则四边形OABC的面积是（

）A．3 B． C．6 D．47．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线交于A，B两点，则（

）A． B． C．3 D．28．设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（

）A． B．C．事件与相互独立 D．事件与互斥10．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．11．如图，在所有棱长均为2的正四棱锥中，点是线段的中点，点是平面内的动点，则下列结论正确的是（

）A．若，则四点共面B．直线与所成角的余弦值为C．若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线D．满足的点的轨迹是抛物线三、填空题12．已知数列满足，则____________.13．已知一组数据的平均数为2，则数据的平均数为____________．14．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，则其对应的椭圆的离心率为____________.四、解答题15．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足.（1）分别求的通项公式；（2）求数列的前项和.16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）求；（2）若BC边上的中线，求面积的最大值.17．已知直线和圆.（1）证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系；（2）是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．如图，在四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD，为BD的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若点是线段上的一个动点，当直线DP与平面所成的角为时，求线段OP的长.19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值（为坐标原点）；（3）已知点，连接，过点作直线轴，且与直线交于点，点满足，若直线与椭圆的另一个交点为，证明：轴．

答案1．【正确答案】C【详解】因为，且，所以符合要求的的所有取值为，所以集合用列举法表示是.故选C.2．【正确答案】D【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选D.3．【正确答案】A【详解】圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，圆心A（3，4），半径R=4，两圆心之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r，∴两圆相外切．故答案为A．4．【正确答案】B【详解】由题可知；故选B.5．【正确答案】B【详解】在棱长为2的正方体中，易知，因为与的夹角为，所以与的夹角为.故选B6．【正确答案】A【详解】由斜二测画法知，四边形OABC是直角梯形，上、下底分别为，高，所以四边形OABC的面积.故选A.7．【正确答案】D【详解】设点到直线AB的距离为，点到直线AB的距离为，对于双曲线，，，所以，所以，，则，所以.8．【正确答案】C【详解】由题可得.则，又，两式相减，得，即，所以，所以，即为常数列，从而，所以，故A错误，B错误，C正确；所以，故D错误.故选C.9．【正确答案】BC【详解】由韦恩图可知，所以，故A，D不正确；因为，所以，故B正确；又，所以，故事件与相互独立，C正确.故选BC.10．【正确答案】ABD【详解】依题意，所以直线的方程为，联立抛物线方程消去得，解得，又，根据抛物线的定义可知，所以，故A正确；又，所以，故B正确；过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，又直线的斜率为，所以，所以，故，即，所以，故C不正确；D正确.故选ABD11．【正确答案】ACD【详解】对于A，因为，所以，由向量共面的充要条件知共面，又由过同一点，所以四点共面，所以A正确；对于B，设，可得，所以，则，所以，所以B错误；对于C，若点到点和点的距离相等，则点在线段的中垂面上，因为与平面不垂直，则的中垂面与平面必相交，又因为点是平面内的动点，所以点的轨迹是线段的中垂面和平面的交线是一条直线，所以C正确；对于D，若，则点在以为顶点，直线为轴的圆锥的侧面上运动，且该圆锥的母线和轴所成的角为，设与交于点，则平面，在直角中，由，所以，所以，即直线与底面所成的角为，所以平面平行圆锥的一条母线，所以平面截圆锥得到的截口曲线为抛物线，又由点是平面内的动点，所以点的轨迹是抛物线，所以D正确.故选ACD.12．【正确答案】【详解】由题意可得，，则.13．【正确答案】8【详解】数据的平均数为2，，数据的平均数为：.14．【正确答案】/【详解】函数的值域为，最小正周期，依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得，椭圆短轴长，即，长轴长，即，所以椭圆的离心率.15．【正确答案】（1），.（2）【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意即，解得所以，.（2）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，因为，，所以数列的前项和.16．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）由正弦定理，且，可得，即，所以，又，故.（2）在中，由余弦定理得，化简得，因为（当且仅当时取等号），所以，解得，所以（当且仅当时等号成立），所以面积的最大值为.17．【正确答案】（1）见详解，直线与圆相交（2）不存在，理由见详解【详解】（1）直线的方程，整理得，该方程对任意实数成立，于是有，解得，因此直线恒过定点，而，即点在圆内，所以直线与圆相交.（2）依题意，圆的圆心，半径是3，若圆上恰有三点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离，解法一：，两边平方整理得，由，得该方程无实数解，所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1，解法二：由（1）知直线恒过定点，则圆心到直线的距离的最大值为，

所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1.18．【正确答案】（1）见详解（2）（3）【详解】（1）方法1：因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以，又平面，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，

因为为BD的中点，所以，所以，

设平面的法向量为，则令，则，得，

所以，所以.

又不在平面内，所以平面.

方法2：连接，交于点，连接，由题可知，为的中点，，

因为为BD的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，

又平面不地平面内.所以平面.（2）方法一：因为，所以点到平面的距离为.方法二：因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为底面ABCD，所以底面ABCD.又平面ABCD，所以，

因为，所以，又平面，所以平面，

所以点到平面的距离为.（3）方法一：设，

所以，

设直线DP与平面所成的角为，则，即，整理得，，解得或（舍去），故当，即点与点重合时，直线DP与平面所成的角为，此时OP长为.方法二：因为平面，所以，

由（1）知，所以，

又点是线段上的一个动点，所以直线DP与平面所成的角，即为，

当时，在Rt中，，

所以，

所以当点与点重合，时，直线DP与平面所成的角为.19．【正确答案】（1）（2）（3）见详解【详解】（1）椭圆的离心率为，点在椭圆上，，解得，椭圆的方程为．（2）过点的直线交椭圆于A，B两点，直线与轴不重合，设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，整理得，由得，由韦达定理得，，将代入，，令，则，当且仅当，即时取等号，当时，的面积取最大