江苏省如东一中宿迁一高项里高中洋河如东徐州中学2025-2026学年第二学期高一第一次月考数学检测试卷 附答案

/2025～2026学年度第二学期高一年级第一次阶段测试试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.木试卷满分150分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑,非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答,在其他位置作答一律无效.4.如需左图,必须用2B铅笔绘、写清楚.线条、符号等须加黑、加粗.一、单选题：（本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的.）1.已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C. D.或【正确答案】A【详解】在中，由，有，所以.又，故，所以.3.设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可.【详解】由等式，两边平方得：，则，且，所以.，即.故选：B.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则（）A. B.3 C.6 D.【正确答案】B【分析】由三角形的内角和可求出，再由余弦定理结合题意化简即可得出答案.【详解】因为，而，所以，则，得．根据余弦定理可得，故．故选：B.5.在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【正确答案】B【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以，设，根据向量的坐标运算，，所以，所以.因为，所以在上的投影向量的坐标为.6.设，是向量，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”必要不充分条件.故选：B7.在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.【详解】在中，由，，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.故选：C8.已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的或不选不得分.）9.下列命题正确的是（）A.若，则存在唯一实数使得B.“”是“”的必要不充分条件C.已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底D.若点为重心，则【正确答案】BCD【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断.【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错；B：对于，如非零向量，显然此时不成立；对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对；C：由为不共线的向量，若，，显然无解，所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对；D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点，则，且，故，对.故选：BCD10.已知为坐标原点，点，，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是().A.若，则B.若，则为锐角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为【正确答案】AD【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，由余弦定理，可知为锐角，但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.故选：AD.三、填空题：（本题共3小题,每小题5分,共15分）12.已知平面向量若，则___________【正确答案】【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为.13.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．【正确答案】【分析】把代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．【详解】解：把代入故14.如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________.【正确答案】【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果.【详解】设，，则；设，，则；又不共线，故，解得，则.四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案；（2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果；【小问1详解】因为，，所以，.所以.【小问2详解】.16.在平面直角坐标系中，已知向量，，向量与间的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与夹角为钝角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由平面向量的数量积求出模长的值；（2）由向量与夹角为钝角，得出，且与不能共线，列出不等式组求出实数的取值范围.【小问1详解】由题设知，所以即.【小问2详解】因为向量与夹角为钝角，所以，且与不能共线即，所以，解得.若与反向共线，则.综上，实数的取值范围是.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①，②，③，，.（1）求角C；（2）若，求周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C；由数量积公式结合余弦定理得出角C；（2）由余弦定理结合基本不等式得出周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及，，又，，，又，.选②由，，即，.，，，.选③，...化简得，.又，.小问2详解】由余弦定理得，又，当且仅当时等号成立.，，当且仅当时等号成立..又，.周长的取值范围为.18.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．（1）求的值；（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．【正确答案】（1）（2）时，取得最小值．【分析】（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.【小问1详解】延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，则，由，，得，又三点共线，所以，即．【小问2详解】是边长为1的正三角形，则，．由，则，，，解得，．设，则，则，当且仅当，即时取等号，所以当，即时，取得最小值．方法点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.在中，角对应的边分别为，已知向量，且.（1）求.（2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式.②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.【正确答案】（1）（2）①证明见解析；②【分析】（1）由，结合正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解；（2）①设，得到，即，即可得证；②由，结合的面积公式，得到，根据三维分式型柯西不等式