河南许昌市襄城县第三高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月数学检测试卷 附答案

/高二数学注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】的展开式中含的项为，所以所求系数为.2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则C的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】由题意，所以双曲线的离心率为.3.已知是等比数列，且，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【正确答案】A【详解】设等比数列的公比为，因为，则，得到，所以.4.已知函数，则（）A.4 B. C.2 D.【正确答案】D【分析】将给定的极限形式转化为导数的定义形式，然后通过求导计算出结果.【详解】..5.已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（）A.1 B.2 C.6 D.7【正确答案】C【详解】依题意，，当时，，数列单调递减，且，当时，，数列单调递减，因此，，所以当取得最小值时，.6.已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（）A. B. C.12 D.24【正确答案】B【分析】由抛物线的定义将的最小值转化为，由此可知取得最小值时三点共线，由两点式写出直线，再将点代入直线，则可求出答案.【详解】将点代入，解得，所以抛物线，焦点，准线，由抛物线的定义可知：，所以，当且仅当三点共线时，等号成立.又取得最小值时点与重合，所以三点共线，直线将点代入：，解得.7.若数列满足，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先判断数列为等差数列，进而可求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和.【详解】由，所以数列为等差数列.又，，，所以等差数列首项为，公差为，所以.所以.所以，所以.所以选项C正确.8.若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】当、时，利用不等式性质可得恒成立；当时，构造函数，利用导数可得原函数单调性，再分与讨论即可得.【详解】当时，有恒成立，符合题意；当时，由，则，，故恒成立，符合题意；当时，，则，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；则当，即时，在上单调递增，，符合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增；则有，即有，解得，故；综上所述：实数a的取值范围是.二、多选项题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】AD【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得.【详解】对A：若，则，故A正确；对B：若，则，故B错误；对C：若，则，故C错误；对D：若，则，故D正确.10.已知是公差为的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则的最大值为C.若，则 D.若，则【正确答案】ACD【分析】选项A，结合等差数列的性质，由推导是否能得到；选项B，根据等差数列前项和的最大值的判断方法，结合数列中项的正负性来判断；选项C，利用等差数列前项和公式列方程组，求出和，再计算的值进行判断；选项D，等差数列的定义确定参数的值，再利用与的关系，分和求出的表达式.【详解】选项A，根据等差数列性质：，得，又，因此A正确；选项B，若，数列递减，的最大值出现在最后一个非负项处，不一定是，举例：，数列为大于，最大值为，因此B错误；选项C，根据等差数列前项和性质：，因此：，则，因此C正确；选项D，已知是等差数列，其前项和是关于的无常数项的二次函数，因此的常数项，即，当时，；当时，也满足该式，因此，D正确.11.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（）A.若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案B.若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案C.若给无人机按1～7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序D.若给无人机按1～7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案【正确答案】BCD【分析】根据隔板法判断AB；根据插空法判断C；分类讨论判断D．【详解】对于A，把7架无人机排成一排，它们之间有6个空，选3个空插入隔板分为4组对应4条街道，共有种，故A错误；对于B，借4架无人机，共11架，排成一排共有10个空，选3个空插入隔板分为4组，再将借的4架无人机还回去，共有种不同情况，故B正确；对于C，先排其余5架无人机，共有种排法，这5架排好后形成6个空，选2个空插入1号，2号无人机，有种排法，所以共有种，故C正确；对于D，分两种情况，按2,2,2,1分组，有种，按分组，有种，则共有种，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数在点处的切线与直线平行，则实数______．【正确答案】2【分析】由函数导数求得切线斜率，利用两直线平行斜率相等，求出的值【详解】由，得，又在点处的切线与直线平行，所以，解得．13.已知数列满足且，若是等比数列，则_______．【正确答案】【详解】由于数列是等比数列，设其公比为，则，即，又，则，解得.14.已知，点，我们把满足的点P的轨迹称为双纽线，如图所示，设，则y的最大值为_______，的最大值为_______．（两空均用字母a表示）【正确答案】①.②.【详解】该曲线的方程为，可变形为，，当时取等号，则y的最大值为，由曲线方程还可得，又，，解得，最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.证明：（1）；（2）．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】利用排列数和组合数的公式即可得证.【小问1详解】；小问2详解】.16.已知等差数列的前n项和为，且．（1）求及；（2）若数列是等比数列，求．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）根据已知条件列出关于和的方程组，求解出和，然后写出通项公式和前项和公式.（2）先根据（1）求出，再根据等比数列的通项公式求出公比，然后根据等比数列的通项公式求出.【小问1详解】设的公差为d．由，得，解得.，．【小问2详解】由（1）知，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列.所以.所以．17.如图，正方体的棱长为2，点在棱上．（1）证明：；（2）求的最小值及取最小值时平面与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）14，【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，设，利用空间向量证明垂直；方法二：连接BD，先证明，，可得平面，进而求证即可；（2）利用空间向量表示出，可得时取得最小值，进而利用空间向量求解即可.【小问1详解】方法一：因为是正方体，所以AB，AD，两两互相垂直，以为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，设，则，所以，则．方法二：连接BD，由是正方体，可得平面ABCD，，因为平面ABCD，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．【小问2详解】由（1）方法一可知，，所以，当时取等号，所以的最小值为14，此时为的中点．而．设平面的法向量为，则，即，取，得．设平面的法向量为，则，即，取，得．设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.已知椭圆经过点．（1）求C的方程；（2）过点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．（ⅰ）若，求的面积；（ⅱ）若直线AB外的点满足，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用椭圆过已知点的条件，建立关于的方程组求解;（2）设直线AB的方程为与椭圆方程联立，由韦达定理可得，（ⅰ）当时，利用弦长公式可得，求出点到直线AB的距离，利用三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由题可得，取AB的中点，连接GQ，所以，化简可得，结合基本不等式求解即可.【小问1详解】由C经过点，得，又因为C经过点，所以，，所以C的方程为．【小问2详解】设，，由题意知，直线AB的方程为，与联立，得，由，得，，（ⅰ）当时，，又点到直线AB的距离，所以的面积．（ⅱ）由题意知．因为，所以．取AB的中点，连接GQ，则，，．因为，所以，整理得，当时，，当且仅当时取等号，所以，当时，，当且仅当时取等号，所以，所以m的取值范围是．19.已知函数．（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）讨论在上的零点个数；（3）若当时，在上的所有零点之积为，证明：，且．附：当时，．【正确答案】（1）（2）当时在上有1个零点，当时在上有2个零点（3）证明见解析【分析】（1）先求导得单调减区间，利用函数在区间上单调递减，得，解出即可求解；（2）分和两种情况讨论，利用单调性和零点存在定理即可求解；（3）由（2）知，当时有2个零点，其中1个为1，另一个零点在区间上，记为，则，由，设函数，则，得，进而得证，利用即可求解.【小问1详解】由题意有：，，令，得，所以单调递减区间为．因为在上单调递减