天津市益中学校2025-2026学年高二上学期期中阶段性学情调研数学检测试卷 附答案

/天津市益中学校2025−2026学年高二上学期期中阶段性学情调研数学试卷一、单选题1．已知直线经过点，且在轴和轴上的截距相等，则直线的方程为（

）A． B．C．或 D．或2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．3．如图，在四面体中，，，．点在上，且为中点，则等于（

）A． B．C． D．4．椭圆和椭圆有相同的（

）A．长轴长 B．短轴长 C．离心率 D．焦距5．已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（

）A． B． C． D．6．空间向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（

）A． B． C． D．8．已知直线：，（，是不同时为0的实数，），圆：，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且与圆相切，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10．已知，是圆：上两点，.若存在，使直线：与：的交点恰为线段的中点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题11．已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______.12．若圆与圆（）外切，则______.13．设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则______.14．已知直线：与：相互平行，则与之间的距离为______.15．已知点在曲线上，则的最大值为______.16．已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______三、解答题17．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.

（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离；18．已知圆经过点，，圆心在直线上.（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）求圆的方程；（3）若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程.19．如图，在长方体中，，为的中点.（1）求证：；（2）当时，求与所成角的余弦值；（3）若平面与平面的夹角为，求的长.20．已知椭圆的长轴长为8，是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆有唯一公共点，记为原点，求的面积；（3）若直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），且为中点，求的值.

答案1．【正确答案】C【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即；当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为，将代入可得，此时直线方程为．综上，直线的方程为或．故选C.2．【正确答案】A【详解】因为点，，则线段的中点为，，可知所求圆的圆心为，半径为，所以所求圆的方程为.故选A.3．【正确答案】B【详解】连接，如图：.故选B.4．【正确答案】D【详解】对于椭圆，即为，则，对于，因为，则，即，可知长轴长、短轴长和离心率不相等，焦距相等.故选D.5．【正确答案】B【详解】由，与垂直的直线方程可设为，把代入，得，故选B6．【正确答案】B【详解】空间向量在方向上的投影向量为，故选B7．【正确答案】A【详解】本题首先可以确定圆和圆的圆心与半径，然后求出圆和圆的公共弦方程，最后通过公共弦长为得出，通过计算即可得出结果.【详解】圆的圆心，半径，圆即，圆心，半径，圆和圆的公共弦方程为，即，圆心到的距离为，因为公共弦长为，所以，解得或（舍去），故选A.8．【正确答案】C【详解】因为，是不同时为0的实数，，圆：的圆心为，半径为，由点在圆C外，得，则圆心到直线l的距离，因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件；由直线l与圆C相交，得圆心到直线l的距离，则，因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件，所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件.故选C.9．【正确答案】C【详解】设与圆相切于点，连接，因为圆的半径为，，所以，又，所以，，由椭圆的定义可知，即，所以离心率为.故选C.10．【正确答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，设中点为，则，解得，所以点的轨迹方程为，又直线，即，过定点，直线，即，过定点，且，可知，则点是两垂线的交点，可知在以为直径的圆上，则圆心，半径，所以点的轨迹方程为，由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，则，若点恰为中点可知圆与圆有公共点，则，可得或，解得或，所以的取值范围为.故选D.11．【正确答案】8【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，且点，，则，解得.12．【正确答案】4【详解】圆，圆心，半径，圆圆心为，半径为，因为两圆外切，所以，解得.13．【正确答案】【详解】若，，共面，则四点共面，因为，则，解得.14．【正确答案】2【详解】因为直线：与：相互平行，所以，所以：，所以与之间的距离为.15．【正确答案】【详解】对变形为，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，即点在右半圆上，因为表示点与连线的斜率，设直线斜率为，直线方程为，即，可知当直线与半圆相切时，直线斜率取到最大值，则，整理可得，解得或（舍去），所以的最大值为.16．【正确答案】【详解】在椭圆中，，，则，即点，设其右焦点为，如图，为椭圆上任意一点，则，又因为为圆上任意一点，圆心，半径为，.当且仅当共线且在之间时等号成立．所以的最小值为.17．【正确答案】（1）见详解（2）（3）【详解】（1）由题意知、分别、中点，则得，因为平面，平面，所以平面.（2）由平面ABC，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则得，设直线与平面所成角为，则，故线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）可得，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.18．【正确答案】（1）（2）（3）【详解】（1）线段的中点，，所以线段的垂直平分线的方程为，即.（2）设圆的方程为，由题意可知，解得，所以圆的方程为.（3）设点的坐标为，点的坐标为，因为点的坐标是，点是线段的中点，所以，即，因为端点在圆上运动，所以，代入可得，即，因此线段的中点的轨迹方程为.19．【正确答案】（1）见详解（2）（3）2【详解】（1）因为在长方体中，，所以侧面为正方形，故，由长方体的性质可得平面，平面，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，则.（3）设，则，所以，设平面的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，则，因为平面与平面的夹角为，，解得，即的长为2.20．【正确答案】（1）（2）（3）【详解】（1）因为椭圆长轴长为8，所以，因