上海市浦东新区华东师范大学附属周浦中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段性测验数学检测试卷 附答案

/2025学年第二学期高一第一次阶段性测验数学试卷一、填空题1.函数的定义域是_________________.【正确答案】【分析】由正切函数的定义得，，，求出的取值范围．【详解】解：，，，，，函数的定义域是故．本题考查了正切函数的定义域问题，属于基础题．2.扇形的半径等于2，圆心角等于2，则扇形的面积等于__________．【正确答案】【分析】根据扇形的面积公式求解.【详解】由扇形的面积公式可得.故4.3.已知角的终边经过点，则___________．【正确答案】【分析】借助三角函数定义可得，再利用诱导公式与三角函数商数关系将弦化切后计算即可得.【详解】由角的终边经过点，则，.4.已知向量，，，的夹角为，则______.【正确答案】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】，故答案为.5.在中，若，则___________三角形．【正确答案】钝角【详解】由正弦定理可得，则角为最大角，设，则cosC所以为钝角，故是钝角三角形．6.若，则___________．【正确答案】##【分析】根据题意，得到，再由，结合两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为，可得，则7.已知，，且，则与的夹角为___________．【正确答案】【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得.【详解】，则，则，故.8.已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________．【正确答案】【分析】由图可得解析式，再利用三角函数性质计算即可得解.详解】由图可得，，则，故，2×−π8由，故，则，由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则2t+39.已知方程在上有解，则实数的取值范围是___________．【正确答案】【分析】设，由三角恒等变换的公式，得到，设ft=−t2+t+1,t∈[−1,2]【详解】由，因为，所以，设，则，又由，当时，可得，所以sinx−π所以2sin(x设ft=−t2+所以在上单调递增，在上单调递减，可得，由，可得，所以函数的值域为，要使得方程在上有解，即为在上有解，则满足，所以实数的取值范围为.10.在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．【正确答案】【分析】设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解.【详解】设，则，则，故，，故，当且仅当，即时，等号成立.11.已知函数，且直线是的一条对称轴．若两个不相等的实数满足且，则___________．【正确答案】##【分析】先根据辅助角公式化简，根据最值即可求出周期和，根据正弦函数的对称轴求出，结合倍角公式求出.【详解】因为fx=sin则的最大值为，因为fx1fx2=5，且则f因为直线是的一条对称轴，所以2α−φ故cos412.已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______．【正确答案】【分析】由得到周期为4从而求得，因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值.【详解】因为，所以周期，又由得，所以，则，，，，而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的，若即，则，集合中只有2个元素，不合题意；若即，则，集合中只有2个元素，不合题意；若即，则，得或，此时；若即，则，得或，此时或；综上的值为0或1或-1，所以.故答案为.二、选择题13.已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，，当时，与垂直，，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.14.已知非零向量与满足，则三角形一定是（）A直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【正确答案】C【分析】由，利用数量积运算化简得，得解.详解】由条件，即,，展开并整理得，故三角形为等腰三角形.故选：C.15.设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】当时，t=ωx结合余弦函数的图象，可得，解得.16.在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可.【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确；当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误；当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误；易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确.故选：B三、解答题17.已知向量．（1）求在方向上的投影向量（用坐标表示）；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）且【分析】（1）借助投影向量公式计算即可得；（2）由题意可得且、不共线，列不等式求解即得.【小问1详解】a→即在方向上的投影向量为；【小问2详解】c=由向量与的夹角为锐角，则b⋅c=1−则有k>−5k≠0，即实数的取值范围为且.18.在中，角的对边分别为，且，，．（1）求角的大小；（2）若，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由向量垂直得到，代入，再由正弦定理，诱导公式求解即可.（2）由，得到，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理可得，，，，所以c−2，所以，因为，所以，所以sinπ−B因为为内角，所以，，所以，所以.【小问2详解】因为，所以BA⋅AC=c⋅b因为，所以48=b+c2−2bc19.已知函数.（1）求的最小正周期并求在上的单调增区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【正确答案】（1）最小正周期为，单调增区间为、（2）【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得；（2）借助三角函数性质可得值域，在解出绝对值不等式即可得.【小问1详解】，则的最小正周期；令，解得，当时，，当时，，故在上的单调增区间为、；【小问2详解】当时，，则，故，由不等式恒成立，则恒成立，即，即.20.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动．经测量，边界与的长度都是米，．（1）若的长为米，求的长；（2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问如何设计篱笆，可以使篱笆所围成的区域面积最大，并求出最大面积．【正确答案】（1）米（2）米，最大面积为平方米【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求解；（2）利用面积公式，求出的面积，设的长为，的长为，利用余弦定理和基本不等式，可得，再由三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】因为，，则，在中，设的长为，又，，由余弦定理，得到，整理得到，解得或（舍），所以的长为米.【小问2详解】因为为定值，在中，设的长为，的长为，则，又由余弦定理知，当且仅当时取等号，所以，此时，所以当米时，可以使篱笆所围成的区域面积最大，最大面积为平方米.21.已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；（1）已知，判断它是否为“函数”；（2）若函数是“函数”，当，，求在上的解.（3）证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、【正确答案】（1）为“函数”（2）（3）证明见解析，，，【分析】（1）根据题意可得对任意的实数恒成立，即可解得，，从而得到结论；（2）根据题意得到，求出在的解析式，结合余弦函数的图象与性质即可得到答案；（3）利用辅助角公式化简，由化简，结合题意列方程，解方程从而得到答案.【小问1详解】若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，即，即对任意的实数恒成立，则，解得，所以是为“函数”【小问2详解】因为函数是“函数”，所以，由于当，，当，则，所以，当，则，所以，当，则，所以，当，则，所以，则，所