天津市和平区双菱中学2025-2026学年高一下学期月考一数学检测试卷 附答案

/双菱中学2025—2026学年高一下学期一月考数学试卷一、单项选择题（每小题4分，共计40分）1.若是纯虚数，则实数的值等于（）A.0或2 B.2或 C. D.2【正确答案】C【分析】根据纯虚数的定义计算得解.【详解】因为是纯虚数，所以，解得；故选：C.2.已知与共线，则（）A.2 B.1 C. D.【正确答案】D【分析】根据向量共线性质直接计算即可.【详解】由与共线，则，解得，故选：D.3.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【正确答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4.的内角、、的对边分别为、、，若，则等于A. B. C.或 D.或【正确答案】D【详解】由正弦定理得或，选D.5.已知平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】.故选：B6.在ABC中，．则的取值范围是（）A.（0，] B.[，） C.（0，] D.[，）【正确答案】C【详解】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.7.若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以，故，，，故，由于，故.故选：B.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A.6 B.5 C.4 D.3【正确答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．9.已知的模为1，的模为2，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由向量数量积的运算律结合投影向量的计算公式即可求解.【详解】，则在上的投影向量为.10.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（）A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.顶角为的非等腰三角形 D.顶角为的等腰三角形【正确答案】D【分析】利用平方关系式和正弦定理得，根据余弦定理求出，再根据求出，从而可得解.【详解】因为，所以，所以，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，由得，得，得，得，得，因为为三角形的内角，所以，，所以为顶角为的等腰三角形.故选：D思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：①利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，②利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状.二、填空题（每小题4分，共计24分）11.若复数满足，则等于___________【正确答案】5【详解】由，所以.12.已知中，，，，则的外接圆面积为___________.【正确答案】分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得，该的外接圆的半径为r，则由正弦定理得.故答案为.13.已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________【正确答案】【详解】如图，因为，所以，则，因为三点共线，所以，所以.14.已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________.【正确答案】【分析】不妨令，，表示出、的坐标，依题意可得且与不反向，根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】不妨令，，所以，，因为与的夹角为钝角，所以且与不反向，若，则，解得，若与共线，则，解得，综上可得实数的取值范围是.故15.在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________①若，则．②若，则一定为等腰三角形．③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心．【正确答案】①【分析】由正弦定理，得到，可判定①正确；利用正弦定理化简得到，求得或，可判定②错误；利用向量的运算法则，分别求得和，得到点为的垂线，可判定③错误.【详解】对于①，若，由正弦定理，可得，所以，所以①正确；对于②，若，由正弦定理得，所以，因为，所以或，可得或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以②错误；对于③，由，可得，又由，可得，所以，所以点为的垂心，所以③错误.16.梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________．【正确答案】【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可.【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系，设，由，，则，，令，则，，当时，有.三、解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题10分，共计36分）17.已知，（1）若与的夹角为，求；（2）若与垂直，求与的夹角．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据数量积公式，可得的值，将平方，整理计算，即可得到答案.（2）根据条件可得的值，代入夹角公式，即可得答案.【小问1详解】因为，，与的夹角为，所以，则，所以小问2详解】由与垂直，得，所以，则，因为，所以，即与的夹角为.18.设复数.（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求的共轭复数.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)根据是实数，求得，再由复数的乘法运算即可求得；(2)由是纯虚数，可得，即有，即可得的共轭复数.【小问1详解】解：是实数，，【小问2详解】解：是纯虚数，所以，解得，所以，故的共轭复数为.19.在△ABC中，内角A,B，C对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【正确答案】（1）B=60°（2）【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理20.在三角形中，角所对边分别为，且（1）求的大小；（2）若三角形的面积，求最大值．【正确答案】（1）（2）8【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；（2）由三角形的面积公式得到