河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期期中数学检测试卷 附答案

/河北省邢台市卓越联盟2025−2026学年高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（

）A．2 B． C．4 D．4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．5．圆与圆公切线的条数为（

）A． B． C． D．6．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（

）A． B． C． D．7．已知圆与圆关于直线对称，则（

）A． B． C． D．8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（

）A．面积的最大值是 B．面积的最小值是C．当最小时， D．当最大时，10．以下四个命题是真命题的是（

）A．直线恒过定点B．若直线：与：互相垂直，则C．已知直线：与：平行，则D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为或11．已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．为钝角三角形C．直线的斜率的最大值为D．若，则直线的斜率为2三、填空题12．圆与圆的公共弦长为________．13．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________．14．著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为________．四、解答题15．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，与圆相交于，两点，，求的一般式方程．16．已知椭圆：的焦距为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围．17．设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程．18．已知抛物线：的焦点到直线：的距离为．（1）求的值；（2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求；（3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点．19．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．（1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．（2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．（i）求曲线的方程；（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．

答案1．【正确答案】B【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.故选B2．【正确答案】A【详解】由在圆内，得，解得．故选A3．【正确答案】B【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为，由题意，平方化简得，又，解得．故选B4．【正确答案】D【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，因为点在轴上，结合对称性，点到双曲线的两条渐近线距离相等，取其中一条渐近线，则点到直线的距离．故选D5．【正确答案】B【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以两圆的圆心距为，所以，因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为，故选B.6．【正确答案】A【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，.由题意，，，则中，由余弦定理可得:，则，所以.由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得，即．故选A.7．【正确答案】A【详解】圆，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，由题可知与关于直线对称，所以解得，又，所以，故，故选A.8．【正确答案】B【详解】由题可知，．由，得，由椭圆的定义可得，，设，则，，所以，．因为，所以，又，所以，又，故，即为直角三角形，，在Rt中，由勾股定理得，，解得或（舍去），

在Rt中，由勾股定理得，又，代入，整理得，所以离心率．故选B9．【正确答案】ACD【详解】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点，所以，，则．因为点在圆：上，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离，则点到直线的距离的范围为，则，所以面积的最大值是，最小值为，A正确，B错误．当最大或最小时，与圆相切，连接，可知，，，由勾股定理可得，CD均正确．故选ACD.10．【正确答案】BD【详解】对于A，可化为，令，解得定点为，直线恒过定点，所以A错误．对于B，若，则，解得，所以B正确．对于C，若，则，解得或，当时，：，：，所以符合题意，当时，：，：，所以符合题意，所以C错误．对于D，当直线过原点时，方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，故D正确．故选BD11．【正确答案】BCD【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，，故，故A错误；对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：，联立，得，则，且，，则，所以，所以，因为，所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确；对于C，由B知，的中点的纵坐标为，横坐标为，所以直线的斜率为，当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以直线的斜率的最大值为，故C正确；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，因为，所以，因为为的中点，所以平行于轴，因为，所以，则，即，故直线的斜率为2，故D正确．故选BCD12．【正确答案】【详解】已知圆，圆，圆的圆心的坐标为，半径，圆的圆心的坐标为，半径，因为，所以，所以两圆相交，两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为，而圆心到公共弦所在直线的距离，又圆的半径为，所以公共弦长为．13．【正确答案】1【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即，所以，当且仅当，，三点共线时，取等号，所以，则的最小值是．

14．【正确答案】【详解】当时，，则曲线的方程为，当时，，则曲线的方程为，即．如图所示，为圆心角且，故曲线所围成的封闭图形可分为三部分，其面积为．

15．【正确答案】（1）；（2）或．【详解】（1）由题可知，的中点坐标为，所以线段的中垂线方程为，即，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，所以由，解得，即．又点在圆上，所以，所以圆的方程为．（2）由，得圆心到直线的距离．当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，此时的方程为；当的斜率存在时，设的方程为，即，则，解得，所以的方程为．故直线的一般式方程为或．16．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）由题意知，解得，，所以的标准方程为．（2）设在轴上的截距为，则的方程为，

由，消去得因为直线与椭圆有交点，所以，解得，所以的取值范围为．17．【正确答案】（1）（2）．【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径；可化为，圆的圆心为，半径．设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得；若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得．故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，，则，故动圆圆心的轨迹的方程为．（2）设，，易得，则，两式作差得，整理得到，因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以，则直线的斜率，故所求直线方程为，即．18．【正确答案】（1）2（2）16（3）见详解【详解】（1）抛物线的焦点，由题意可得：，即，，解得或，又因为，所以．（2）由（1）可得抛物线方程为，，所以直线的方程为，设，，联立，得，，所以，，.（3）设，，的方程为．由，得，所以，，．易知直线，的斜率存在，设直线的方程为，由，得．由，解得，所以直线的方程为，即．同理可得，直线的方程为．设，代入直线、中，，，即，，所以，可看作方程的两根，所以，又，所以．所以直线的方程为，故直线过定点．19．【正确答案】（1）；（2）（i）；（ii）【详解】（1）因为，所以，表示点到原点的距离，表示点到直线的距离．若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围