小学数学三年级下册：一位数除两位数的笔算除法（导学案）

小学数学三年级下册：一位数除两位数的笔算除法（导学案）

  一、学习内容深度解析

  本课学习内容隶属于“数与代数”领域，是整数除法运算教学序列中的关键节点。在知识结构上，它上承二年级表内除法和有余数除法的口算意义，以及三年级上册“除数是一位数的口算除法”，下启后续的“一位数除三位数”、“两位数除两位数”乃至更复杂笔算除法的算法构建。其核心知识是掌握除数是一位数、被除数是两位数的笔算除法（十位能除尽与十位除后有余数两种典型情况）的算法程序，并深刻理解其背后的运算原理——位值制原理与除法“先分高位，再分低位”的分配过程。学习的重点在于引导学生经历从实物操作、算式表征到形式化竖式算法的抽象过程，实现算理直观与算法抽象的有机统一。难点则集中于两个方面：一是理解竖式中每一步计算所对应的实际分物过程与意义，特别是对商的位置（数位对齐）的理解；二是突破“十位除后有余数，需要与个位合并再除”这一认知难点，理解竖式中“落下来”这一操作步骤的算理依据。学生常见的错误包括：商的位置写错（如将十位的商写在个位上）、忽略十位除后的余数、在竖式计算中遗忘将十位除后的余数与个位数字合并等。这些错误根源在于对位值制理解不深，对除法竖式每一步的“分”与“合”的过程缺乏实质性的把握。

  二、学情全景式评估

  三年级下学期的学生，其认知发展正处于皮亚杰所称的具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期。在知识储备上，他们已经熟练掌握了表内乘法与除法，能够进行整十、整百数除以一位数的口算，并对除法“平均分”的本质有了稳固的认识。在二年级接触过简单的有余数除法，具备初步的“分到不能再分”的体验。在三年级上册，他们系统学习了“除数是一位数的口算除法”，例如“60÷3”、“66÷3”等，这为本课将口算过程转化为笔算步骤奠定了坚实的基础。在技能层面，学生已经熟悉加法、减法和乘法的竖式计算方法，对竖式作为一种记录计算过程和结果的工具并不陌生，这为迁移学习除法竖式提供了心理准备和格式类比的基础。

  然而，学生的思维仍以具体形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展。他们理解除法竖式的最大障碍在于，竖式是一种高度抽象化、程序化的符号记录系统，它剥离了具体分物的生动场景，将连续、整体的分物过程分解为离散的、按数位进行的计算步骤。因此，学生极易产生“算法会背，算理不明”的困局。他们可能记住“先看被除数的前一位，一位不够看两位”的口诀，却不理解为何要“看前一位”；可能模仿着写出“商、乘、减、落”的步骤，却不清楚“减”后剩下的数代表什么，“落”下来的数又意味着什么。此外，学生的元认知能力尚在发展中，对于自身计算过程的监控、反思和调整能力较弱，容易陷入机械重复的错误模式。

  基于此，本课的教学必须坚决摒弃单纯算法灌输的模式，设计丰富的、有层次的数学活动，让学生在手、脑、口并用的探究中，亲手“搭建”起算理与算法之间的桥梁。教学策略上，应充分利用直观模型（如小棒、方块图），设计核心问题链，引导学生在操作、观察、对比、说理、争辩中，自主建构对笔算除法程序的理解，实现从“动手分”到“脑中分”再到“符号分”的思维飞跃。

  三、学习目标的多维定位

  依据课程标准对本学段“数的运算”提出的要求，结合核心素养导向，设定以下三维学习目标：

  （一）知识与技能目标

  1.经历探索一位数除两位数笔算方法的过程，理解并掌握基本的笔算算法：从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面；每求出一位商，余下的数必须比除数小，并与下一位上的数合并再继续除。

  2.能正确、规范地列竖式计算除数是一位数、被除数是两位数（包括十位能除尽和十位除后有余数两种情况）的除法，并能够进行验算。

  （二）过程与方法目标

  1.通过操作小棒、绘制示意图、表述分物过程等活动，将具体的平均分物操作与抽象的除法竖式计算步骤相对应，发展几何直观和数形结合的能力。

  2.在尝试、探索、交流、反思笔算方法的过程中，学会有序思考，提升归纳概括和数学表达能力，体会迁移、类比等数学思想方法。

  （三）情感态度与价值观目标

  1.在克服笔算除法学习难点的过程中，获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

  2.感受除法竖式作为一种简洁、有效的记录工具的价值，培养严谨、认真的计算习惯和初步的推理意识。

  四、学习重难点透视

  （一）学习重点：理解并掌握一位数除两位数的笔算除法的计算顺序和书写格式，明确每一步计算的含义。

  （二）学习难点：1.理解除法竖式中“分步除”的过程与位值制的紧密联系。2.理解并正确处理“十位除后有余数，将余数与个位数字合并再除”的算理与算法。

  五、学习资源与环境准备

  （一）教师准备：多媒体课件（内含分小棒动画演示、标准竖式书写步骤动态分解、对比性例题等）；演示用的大号小棒或计数器；学习任务单（包含操作记录、探究问题、分层练习）。

  （二）学生准备：每人准备4捆（每捆10根）和若干单根的小棒（总数能覆盖例题如46根、52根等）；课堂练习本；彩色笔（用于标注竖式中的关键步骤）。

  （三）环境创设：教室桌椅按四人或六人合作学习小组摆放，便于开展操作讨论与交流分享。黑板划分为核心算理区、算法生成区、练习反馈区。

  六、学习过程设计与实施（核心环节详案）

  （一）首学阶段：情境启思，孕伏算理（预计时间：8分钟）

  1.情境创设，复习关联。

    教师出示情境：“学校开展植树节活动，三年级（1）班和（2）班一共领了46棵树苗，如果平均分给两个班，每班分得多少棵？”这是一个简单的除法问题，学生能迅速口答：46÷2=23（棵）。教师追问：“你是怎样口算的？”引导学生回顾口算方法：把46分成40和6，先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后20+3=23。教师同步板书口算过程：46÷2=（40÷2）+（6÷2）=20+3=23。此环节旨在激活学生“先分整十数，再分单个”的已有口算经验，为笔算的“分步除”做认知铺垫。

  2.提出问题，引发认知冲突。

    教师变换情境，增加复杂度：“如果这46棵树苗，不是分给2个班，而是要平均分给3个班呢？算式是46÷3。还能像刚才那样很快口算出来吗？”学生尝试后会发现，40÷3不能得到整十数，口算遇到困难。教师顺势引导：“当数字变大，或者不能直接口算出结果时，我们需要一种更通用、更清晰的计算方法，就像我们以前学习加法、减法、乘法时用到的竖式一样。今天，我们就来探索除法竖式的奥秘。”由此自然引出课题，并使学生明确学习笔算除法的必要性和价值。

  3.明确任务，自主尝试。

    教师出示核心探究任务一：“请你尝试用竖式来计算46÷2。可以借助手边的小棒，先分一分，再想一想怎样用竖式记录你分的过程。”学生独立进行操作与尝试。教师巡视，收集具有代表性的做法（包括完全正确的、格式有误的、算理错误的等），为后续的共学交流准备素材。此处的“首学”强调在教师引导下的独立思考和初步探索，是学生个性化理解的真实暴露。

  （二）互学阶段：操作探究，构建算法（预计时间：22分钟）

  这是本课的核心环节，分为两个层次展开，层层递进，突破重难点。

  层次一：探究“十位能除尽”的算法（以46÷2为例）

  1.小组交流，分享做法。

    在独立尝试后，学生以学习小组为单位，分享各自写的竖式。要求：①出示你摆小棒的过程（先怎么分，再怎么分）。②对照分小棒的过程，解释你竖式中的每一步是什么意思。小组内对不同写法进行比较、讨论，尝试达成初步共识。教师深入小组，倾听讨论，适时点拨，引导他们将操作与符号联系起来。

  2.全班共学，聚焦算理。

    教师邀请有不同写法的学生代表上台展示。

    展示可能的错误写法（例如，直接将商23写在个位上，或者先分6再分4等）。引导学生借助小棒操作进行辨析：“这样分符合我们‘先分大的，再分小的’的顺序吗？”“竖式中这个‘2’写在十位上，它表示分掉了几个十？和我们分小棒时先分掉4捆（40根）有什么关系？”

    展示正确的写法。教师利用课件同步播放标准的分小棒动画：先将4捆（4个十）平均分成2份，每份2捆（2个十）；再将6根（6个一）平均分成2份，每份3根（3个一）。动画旁边同步呈现竖式的生成过程：

    第一步：用2去除被除数十位上的“4”，商2。教师追问：“这个‘2’为什么写在商的十位上？”（因为它表示分掉了2个十，对应分小棒中每份先得到的2捆）。写出商“2”后，用除数2乘商2得4，这个“4”写在被除数十位4的下面，表示已经分掉了4个十（4捆）。然后用4减4得0，这个“0”表示十位上的4个十正好分完，没有剩余。（此处强调“0”通常省略不写，但意义要理解）。

    第二步：将个位上的“6”落下来。教师设问：“小棒分完了吗？接下来要分什么？”（要分剩下的6根单根小棒）。所以在竖式中，我们把个位上的“6”移下来（“落下来”），表示接下来要分这6个一。

    第三步：用2去除6，商3。教师追问：“这个‘3’为什么写在商的个位上？”（因为它表示分掉了3个一，对应每份又得到的3根单棒）。再用除数2乘商3得6，写在落下来的6下面，表示又分掉了6个一。6减6得0，表示全部分完，没有剩余。

  3.对比沟通，提炼步骤。

    教师引导学生将分小棒的口头描述、口算过程（40÷2=20,6÷2=3,20+3=23）与竖式的每一步进行一一对应。明确竖式就是将口算的分步过程用一种简洁、固定的格式记录下来的工具。师生共同总结出笔算除法的基本步骤：①先除被除数的最高位（十位），商写在十位上；②用商乘除数，写在被除数的相应数位下面；③两数相减；④将下一位上的数落下来，与前面的余数（如果有）组成新的数继续除；⑤重复上述步骤直到除完所有数位。

    教师板书关键口诀：“一位数除两位数，先除十位再个位；商对位，乘减比（余数要比除数小），落下一位继续除。”并强调“商对位”是保证计数单位正确的关键。

  层次二：探究“十位除后有余数”的算法（以52÷2为例）

  1.迁移尝试，制造新冲突。

    教师出示新问题：“三年级（1）班和（2）班领了52棵树苗，平均分给2个班，每班分多少？”学生列式：52÷2。教师引导：“请大家运用刚才总结的方法，尝试用竖式独立计算52÷2。可以再次请小棒帮忙。”

    学生尝试中，必然会遇到新情况：十位5除以2，商2余1。如何处理这个余数“1”（1个十），是认知的关键点。教师巡视，重点关注学生是否将十位余下的“1”与个位的“2”结合起来思考。

  2.操作验证，深化理解。

    请一名典型做法的学生上台，边操作小棒边讲解。过程应是：5捆（5个十）平均分成2份，每份分得2捆（2个十），还剩下1捆（1个十）。这1捆（10根）无法直接整捆分配，需要“打开”变成10根单棒。将打开的10根单棒与原有的2根单棒合在一起，是12根单棒（12个一）。再把12根单棒平均分成2份，每份得6根（6个一）。

    教师利用课件强化这一“化整为零”的过程。同步演示竖式：十位上5除以2商2余1，这个余数“1”在竖式中是减出来的（5-4=1），它表示1个十。关键提问：“这剩下的1个十，在竖式中怎么办？还能继续分吗？怎么分？”引导学生理解：剩下的1个十不能直接除以2，需要将它转化为10个一，与个位上的2个一合并，形成12个一，再用12除以2。所以，在竖式里，就要把个位上的“2”落下来，与十位余下的“1”（代表1个十）组成“12”，再用2去除12。

  3.对比辨析，强化算法。

    将46÷2与52÷2的竖式进行对比展示。引导学生观察讨论：两个竖式有什么相同点和不同点？

    相同点：都是从高位除起；每一步都是“一商、二乘、三减、四落（或结束）”的结构。

    不同点：46÷2中，十位除完后余数为0，直接落个位；52÷2中，十位除完后有余数“1”，这个余数必须和个位上的数“2”合并成“12”再继续除。特别强调：十位余下的“1”和个位落下来的“2”合起来是“12”，表示12个一，而不是“1”和“2”两个数字简单并列。

    通过对比，使学生深刻理解“每求出一位商，余下的数必须比除数小”的规则，以及“余数要和下一位上的数合并再继续除”这一处理方法的必然性，从而突破本课最大难点。

  （三）共学阶段：凝练升华，巩固拓展（预计时间：10分钟）

  1.算法凝练，形成范式。

    在经历了两个典型案例的充分探究后，教师带领学生脱离具体情境和学具，对一位数除两位数的笔算算法进行抽象概括。通过师生问答，再次清晰、完整地梳理计算步骤、书写规范及每一步的算理。将黑板上的算法区域进行整理，形成清晰、美观的板书范式。

  2.即时巩固，诊断反馈。

    出示2-3道基础计算题，如68÷2，78÷3。要求学生在学习任务单上独立完成，并指定学生板演。全班共同批改、评议，重点关注商的书写位置、余数的处理、计算的准确性以及书写的规范性。教师从中快速诊断学生的掌握情况。

  3.变式延伸，拓展思维。

    设计有层次的小练习或思考题，满足不同学生的学习需求。

    ①纠错题：出示几个含有典型错误的竖式计算（如：商的位置写错、忘记写个位商、余数比除数大未处理等），请学生扮演“小医生”进行诊断和改正。这能有效强化对算法关键点的认识。

    ②对比题：出示如93÷3和84÷4，在计算后引导学生观察，哪些算式十位除尽，哪些十位有余数，深化对两种情况的辨析。

    ③简单应用：提供一个生活情境，如“63本书平均分给3个书架，每个书架放几本？”，让学生列竖式计算并口答，体会数学的应用价值。

    ④启思题（学有余力）：不计算，判断下面各题的商是几十多？如：85÷4的商是（）十多。此题目在培养学生对除法结果的估算能力和数感。

  （四）评学阶段：总结反思，诊断提升（预计时间：5分钟）

  1.课堂总结，自主建构。

    教师引导学生回顾：“今天这节课，我们学习了什么？我们是怎样学会的？”鼓励学生用自己的语言总结笔算除法的计算方法和需要注意的地方。可以采取“我学会了……”、“我明白了……”、“我要提醒大家注意……”等句式进行分享。教师适时点评、补充，将知识系统化。

  2.目标检测，当堂评价。

    发放简短（3-5分钟可完成）的课堂小检测卷，包含2道基本计算题（覆盖两种类型）和1道简单的实际问题。学生独立完成，教师巡视。完成后可采取小组互换批改或教师出示答案集体核对的方式，让学生即时了解自己的学习成效。

  3.布置作业，分层落实。

    设计分层作业，体现弹性：

    ★基础巩固（必做）：课本相应练习题，完成3-4道一位数除两位数的笔算，并验算。

    ★★能力提升（选做）：寻找生活中的“一位数除两位数”问题，编成一道应用题并解答；或完成一组对比性更强的计算题（如十位商后余0和余数不为0的对比）。

    ★★★思维挑战（供学有余力学生选择）：探索“除数是一位数，被除数是两位数，商末尾有0”的情况（如90÷3的竖式书写优化，为后续学习埋下伏笔），或解决一个简单的“错中求解”问题。

  七、板书设计的结构化构思

  板书设计力求体现知识的发生发展过程，做到算理直观、算法清晰、重点突出。

  （左侧区域：算理支撑区）

    主题：分一分（操作）

    46÷2=23

    小棒图示意：

    先分4捆：∣∣∣∣→每份2捆（2个十）

    再分6根：∣∣∣∣∣∣→每份3根（3个一）

    口算：40÷2=20，6÷2=3，20+3=23

    52÷2=26

    小棒图示意：

    先分5捆：∣∣∣∣(余1捆)→每份2捆（2个十）

    余1捆拆开+2根=12根

    再分12根：∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣→每份6根（6个一）

  （中间区域：算法生成区）

    标题：一位数除两位数的笔算

    案例一：46÷2=23

    标准竖式书写（步骤分解）：

      23

     2)46

      4…（2×2，分掉4个十）

      ———

        6…（落下来，6个一）

        6…（3×2，分掉6个一）

        ———

          0

    案例二：52÷2=26

    标准竖式书写（步骤分解）：

      26

     2)52

      4…（2×2，分掉4个十）

      ———

      12…（落下来，余1个十与2个一合为12个一）

      12…（6×2，分掉12个一）

      ———

         0

  （右侧区域：方法提炼区）

    计算步骤：

    1.从高位除起，一位一位地除。

    2.除到哪位商写哪位。

    3.每求一商，乘减要比（余数<除数）。

    4.落下一位，继续除尽。

    关键点：

    ◆商对齐数位

    ◆余数比除数小

    ◆落下的数组成新数再除

  八、学习评价的嵌入式设计

  本课的评价贯穿于教学全过程，强调过程性评价与结果性评价相结合。

  （一）过程性评价：

  1.观察评价：教师在学生独立操作、小组讨论、全班发言时，通过巡视和倾听，评价学生的参与度、动手操作能力、合作交流意识、语言表达能力以及对算理的理解程度。使用激励性语言和等级符号（如“操作小能手”、“表达小明星”、“合作之星”等）进行即时反馈。

  2.提问评价：通过设计层层递进的核心问题链（如“为什么商要写在十位上？”“这个余数‘1’表示什么？怎么办？”“这两个竖式有什么不同？”），探查学生的思维深度和知识建构水平。

  3.作品评价：对学生的尝试竖式、课堂练习、任务单完成情况进行即时点评，指出优点和待改进之处，特别