等腰三角形的性质练习题

等腰三角形的性质练习题等腰三角形作为一种特殊的三角形，其性质在几何证明与计算中有着广泛的应用。掌握这些性质，并能灵活运用，是学好平面几何的重要一环。下面，我们将通过一系列练习题来巩固和深化对等腰三角形性质的理解与应用。这些题目由浅入深，旨在帮助你逐步提升解题能力。一、知识回顾：等腰三角形的核心性质在开始练习之前，我们先来简要回顾一下等腰三角形的核心性质，这是解决所有相关问题的基础：1.定义性质：等腰三角形有两条边相等，这两条相等的边称为“腰”，另一条边称为“底边”。两腰所夹的角称为“顶角”，腰与底边所夹的角称为“底角”。2.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。（即：若在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C）3.等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（即：若在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC）这是判定一个三角形为等腰三角形的重要依据。4.三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。这是等腰三角形最为重要和常用的性质之一，常常在证明线段相等、角相等、线段垂直关系时发挥关键作用。二、练习题（一）基础巩固1.填空题：在△ABC中，AB=AC，若∠A=50°，则∠B=______度，∠C=______度。*思路点拨与解析：这道题直接考察“等边对等角”的性质。已知AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠B和∠C是底角，它们相等。三角形内角和为180°，所以∠B=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-50°)/2=65°。答案依次为65，65。2.选择题：若一个等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角的度数为（）A.35°B.40°C.55°D.70°*思路点拨与解析：同样应用“等边对等角”及三角形内角和定理。已知底角为70°，则另一个底角也是70°，顶角=180°-70°×2=40°。所以正确答案是B。3.解答题：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高。求证：BD=CD。*思路点拨与解析：要证明BD=CD，即证明AD是底边BC的中线。由已知AB=AC，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，所以BD=CD。当然，也可以通过证明△ABD≌△ACD（HL或SAS）来得到结论，但“三线合一”更为直接简洁。（二）能力提升4.解答题：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。*思路点拨与解析：这是一道经典的多等腰三角形嵌套问题，需要设未知数并利用等腰三角形性质建立方程。设∠A=x。因为AD=BD，所以∠ABD=∠A=x（等边对等角）。则∠BDC=∠A+∠ABD=2x（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。又因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=2x（等边对等角）。因为AB=AC，所以∠ABC=∠BCD=2x（等边对等角）。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=x+2x+2x=180°，解得x=36°。所以∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°。5.证明题：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。*思路点拨与解析：要证明DE∥BC，可考虑证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。已知∠B=∠C，所以AB=AC（等角对等边）。又因为AD=AE，所以AD/AB=AE/AC。根据等腰三角形的性质，∠ADE=∠AED。在△ADE和△ABC中，∠A是公共角，且AD/AB=AE/AC，可证△ADE∽△ABC（或通过计算∠ADE=(180°-∠A)/2，∠B=(180°-∠A)/2，从而得到∠ADE=∠B，由同位角相等可得DE∥BC）。三、总结与思考通过以上练习，我们可以看出，等腰三角形的性质应用广泛，无论是角度计算还是线段关系证明，都离不开对“等边对等角”、“等角对等边”以及“三线合一”这几个核心性质的深刻理解和灵活运用。在解题时，要注意观察图形特点，善于从已知条件中挖掘隐含信息，必要时可以通过设未知数、列方程等代数方法辅助几