高等代数(II)期末考试试卷及问题详解(A卷)

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（C）A（2）是满秩的；（0A（4）是方阵0

4.（）设实二次型（A为对称柞）经正交交换后化为：

,则其中的是：

6）±1；⑻全是正数；（C）是A的所有特征值；（D）不确定。

5.（）设3阶实对称矩阵A有三置特征根"”，则A的若当

标衣形是:

200[-200、-200、

网。-20;(B)1-20;(C)1-20

、00-2J(°0-2J101-2>

（D）以上各情形皆有可能。

是非题（每小题2分,共10分）

（俄在你认为对的小题对应的括号内打,否则打"（“）

）设VI,V2均是n维线性空间V的子空间，且

则v=K㊉匕。

2.（）n维线性空间的某一线性交换在由拘征向量作成的基下

3.（）同阶方阵A与B相似的充要条件是与

等价。

、4.（）n维欧氏空间的正交交换在任一基下的矩阵都是正交

矩阵。

,―5・(）欧氏室间的内积是一对种的双线性函数。

解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间中，勇义线性交换：

A（a,b,c,d）=（a,b,a+c,b+d）V（〃,/?,c,d）eP4

（1）求该线性变换在自然基:

8^=(0,0,1,0),^4=(0,0,0,1)下的矩阵A；

(2)求矩棒A的所有特征值和竹征向黄。

2.(1)求线性空间中从基剧基

(〃)：1,(X+1)G+1)2的过渡矩阵；

(2)求线性空间。国3中向量/。)=1-2x+3%2在基

(/):(x-l)2下的坐标。

1、证明减（每小题10分，共30分）

设P3的两个子空间分别为：

证明：（1）;

（2）叱+%不是立和。

2.设是数域P上线性空间V的线性交换，证明

是的不变子空间的兖要条件是AqEW(z=l,2,...,r)

3.巳知An级正定矩阵,证明：

(1)A是正定矩阵；

(2)|A+2目>3〃

答案

填空题(每小题3分，共15分)

1.线性空间的两个子空间的交

2,设与是n维线性空间V的两个基，

由到的过渡矩阵是C,列向量XAV

中向量在基下的坐标，则在基下

的坐标是—'X

3.设A.B是n维线性空间V的某一线性交换在不同基下的矩阵,

则A与B的关系是相似关系

4.设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：

'100、

则箕特征矩阵2£—A的标泡形是。'°

、002(4+1),

5.线性方程组的嫩小二乘解所满足的戏性方程组是：

AAX=AB

3、单项选择题(每小题3分，共15分)

4、(A)复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一

线性空间同构：

(A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

(B)数域P上所有二版对称矩阵作成的线性空间；

(C)数垓P上所有二级反对称矩阵作成的继任空间；

(D)复数域C作为复数域C上的线性空间。

2.(D)设过非粤线性空间V的线性交换，则下列命题正确的是：

(A)的核是尊子空间的充要条件是是满射；

(B)的核是V的充要条件是是满好；

(C)的值域是鲁子空间的充要条件是是满射;

(D)的值域足V的充要条件是是满射。

3.(B)矩阵可逆的充要条件是：

(A)|A(2)|^O；(B)|A(2)|A一个数;

(C)A(4)是满秩的；(0A(4)Jt方阵,

4.(C)设实二次型(A为对称阵)经正交变换后化为：

,则其中的A：

(4士1；㈤全是正数；(C)是A的所有柠征值；(。)不确定。

5.(A)设3阶实对称矩柞A有三重特征根“”，则A的若当

标举形是：

"-2020'-20

(A)0-20⑻1-20⑹1-20

、°02,00、01

(£))以上各情形皆有可能。

是非题(每小题2分，共10分)

(请在你认为对的小题对应的括号内打“,否则打"(")

1、(x)设VI,V2均是n维线性空间V的子空间，且

则丫=■㊉％。

2.(v/)n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基

下

的矩阵是一对角矩阵。

3・(”)同阶方阵A与B相似的充要条件是与

等价。

、4.(x)n维欧/空间的正交交换在任一系下的矩阵都逸正交

矩阵。

二、5.(")欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

解答瓶(每小瓶10分，共30分)

1、在线性空间中，定义线性交换：

A(a,b,c,d)=(〃/,Q+c,/?+d)(v(4,/?,c,d)GP4

(1)求该线性变换在自然基：

下的矩阵

=(0,0,1,0),^4=(0,0,0,1)A；

(2)求矩阵A的所有特征值和特征向受。

解：(1)线性变换在自然基下的矩阵是(5分)

(2)因为|2石_A|=(2—1)4

所以矩阵A的所有椅征WL4=4=4=4=1

解齐次饯性方程组(£—A)X=O

港矩阵A的所有特征向0•:

，其中不全为零。(5分)

2.(1)求线性空间中从基到基

2

(〃)：l,(x+l),(x+l)”的过渡矩阵；

(2)求线性空间尸［耳中向黄〃光)=1-2%+3—在基

⑺：1,(%-1),(%-1『下的坐标。

解：(1)因为

，i1r

(I,(x+l),(x+l)2j=(l,x,x2)012

〔。ob

所以

U-I

22

(I,(x+l),(x+l))=(l,(x-l),(x-l)j0112

10。

“111Y111]

二(1,(1),(if)012012

100

1人00b

」24、

=(l,(x-l),(^-l)2)014

[0。1

勺24、

即所求的过渡矩阵为°14

I。。“

1P

(2)因为(1/,/)=",(工一1),(工一］1)012

［。

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故/(x)=l-2x+3f=(1,)—2

「111V1

12-2=2+4(x-l)+3(x-l)2

【。0

所以在基下的坐标是：(5分)

3、在R2中,,规定二元函数：

=岫一岫2一。2〃+4生4

(3)证明：这是R2的一个内积。

(4)求R2的一个标*正交基。

(1)证明：

因为是正定矩阵,

所以这个二元函数是R2的一个内积。(5分)

(2)解：考察自然基

(1一1、

它的度置矩阵正是

bl4J

令：/=0=(1,0),

再令：

则/?!,/?2AR2的一个标准正交基。（5分）

（2）薜法二：考察自然基

二、令：HP：

四、则的发量矩阵是E,从而是R2的一T*标准正交基。

2、证明减（每小题10分，共30分）

设P3的两个子空间分别为：

证明：（1）;

（2）叱+%不是立和。

证明：（1）W1的一个基是：

W2的一个基是：

因为叱+W；=£（。］,。2，凡丹）

其中%,%，4是叱+吗的生成元的一「极大无关组

从而&的一个燕，