高中数学直线与圆的方程知识点总结1

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1.倾斜角：①找Q：直线向上方向、x轴正方向；

②平行：a=0°；

③范围：0°WQ＜180°o

2.斜率：①找k:a（aW90°）；

②垂直：斜率k不存在；

③范围：斜率k£R。

斜率与坐标：

①构造直角三角形（数形结合）；

②斜率k值于两点先后顺序无关；

③注意下标的位置对应。

直线与直线的位置关系：

①相交：斜率（前提是斜率都存在）

特例垂直时：＜1＞;

＜2＞斜率都存在时：

②平行：＜1＞斜率都存在时：；

＜2＞斜率都不存在时•：两直线都与x轴垂直。

③重合：斜率都存在时：；

二、方程与公式：

L直线的五个方程：

①点斜式：将已知点直接带入即可；

②斜截式：将己知截距直接带入即可；

③两点式：将已知两点直接带入即可；

④截距式：将已知截距坐标直接带入即可;

⑤一般式：，其中A、B不同时为0

用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2,求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3.距离公式：

①两点间距离：

②点到直线距离：

③平行直线间距离：

4.中点、三分点坐标公式：已知两点

①中点：

②三分点：靠近A的三分点坐标

靠近B的三

分点坐标

中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用至h

三分点坐标公式，用得较少,多见于大题难题。

5.直线的对称性问题

三、已知点关于已知直线的对称：设这个点为P(xO,yO)，对称后

的点坐标为P'(x,y),则'的斜率与已知直线的斜率垂直，且‘

的中点坐标在已知直线上。

解题指导与易错辨析：

1.解析法(坐标法)：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐

标；

②依据代数关系(点在直线或曲线上)，进行有关代数运算,

并得出相关结果；

③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

动点P到两个定点A.B的距离“最值问题”:

①的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：

②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

③的最值：函数思想“转换成一元二

次函数，找对称轴”。

直线必过点：①含有一个参数(1)21=＞

(1)(2)+3

令：2=0=＞必过点(-2,3)

②含有两个参数(3)(2n)0=＞m(3)(21)=0

2、令：30、21=0联立方程组求解二〉必过点

(-1/7,3/7)

易错辨析：

①讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：＜1＞斜率不存在

时，是否满足题意;

＜2＞斜率存在时,

斜率会有怎样关系。

②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会

丢解；

（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

③直线到两定点距离相等，有两种情况：

＜1＞直线与两定点所在直线平行；

＜2＞直线过两定点的中点。

圆的方程

1.定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，

其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程一一其中圆心，半径.

当时，方程表示一个圆，

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形.

第二种：圆的标准方程一一,其中点为圆心，为半径的圆

第三种：圆的参数方程一一圆的参数方程：（为参数）

注：圆的直径方程：已知

3.点和圆的位置关系：给定点与圆.

①M在圆。内"（小-々）。。%-〃）〜/

222

②M在圆。上o（.v0-a）+（＞'0-Z?）=r

③M在圆C外。(*0-〃)2+()，0-〃)252

4.直线和圆的位置关系：

设圆圆：；直线：；

圆心到直线/的距离d=叱+劭+>.

①时，与相切；

②时，与相交；，

3、③时，与相离.

圆的切线方程：

①一般方程若点(xO0)在圆上，则(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0

-b)2.特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，

则切线方程只有一条)

②若点(x00)不在圆上，圆心为()则，联立求出切线方程.(注:

过圆外的点引切线必定有两条，若联立的方程只有一个解，那么另外

一条切线必定是垂直于X轴的直线。)

6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1221U=0C222222=0

则过两圆的交点圆方程可设为：X2211H

X(x22222)=0

过两圆的交点的直线方程：X22111-x22222=0(两圆的方程相减得到

的方程就是直线方程)

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：2*'R22其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

(J12)*IX12|其中k是直线的斜率，XI与X2是直线与圆的方

程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直在

8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离二圆心到直线的距离减去半径

②圆上的点到直线的最长距离二圆心到直线的距离加上半径

③假设P(x,y)是在某个圆上的动点，则()/()的最值可以转

化为圆上的点与该点(a,b)的斜率问题，即先求过该

定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P(x,y)是在某个圆上的动点，则求或的最值可以转化为：