浙江省2024年高中数学1月学业水平考试试题

浙江省2024年中学数学1月学业水平考试试题

一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分

1.已知集合A={1,2,4},8={2,4,6},则AJ8=()

A.{4}B.{1,6}C.{2,4}D.

{1,2,4,6}

【答案】D

【解析】

【分析】

依据集合的并集运算，即可求解.

【详解】因为集合4={1,2,4},B={2,4,6}

由集合的并集定义可知AU《={1,2,4,6}

故选:D

【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.

2.tan(九一。)=()

A.-tanaB.tanaC.±tan。D.---

tan67

【答案】A

【解析】

【分析】

依据诱导公式，化简即可求解.

【详解】由诱导公式可知

=-tar)6r

故选:A

【点睛】本题考查了诱导公式的简洁应用，属于基础题.

3.log62+log63=()

A.0B.1C.log65D.log)25

【答案】B

【解析】

【分析】

依据对数的运算及常数对数的值即可求解.

【详解】依据对数的运算性质可知

log62+log63

=log6(2x3)

=log66=1

故选:B

【点睛】本题考查了对数的运算性侦的简洁应用，属于基础题.

4.圆f+),2+2%—8=0的半径是()

A.2B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】

分析】

将圆的一般方程化为标准方程，即可求得圆的半径.

【详解】因为圆V+y2+2x-8=0

化为标准方程可得"+-J，？=9

所以圆的半径为3

故选:B

【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，圆的标准方程的性质，属于基础题.

5.不等式,一1|<2()

A.{止1cx<3}B.{坤vxv3}C.{小<一1或x〉3}D.[x\x<i

或/>3}

【答案】A

【解析】

【分析】

依据肯定值不等式,分类探讨解不等式即可求解.

【详解】不等式k―1|<2

当xNl时，不等式可化为3一1<2,即x<3.所以1工元<3

当x<l时，不等式可化为l-x<2,即—l<x.所以-1<X<1

综上可知,不等式的解集为-1vx<3,即{x|-l<x<3}

故选:A

【点睛】本题考查了肯定值不等式的解法,分类探讨解肯定值不等式,属于基础题.

6.椭圆工+工=1的焦点坐标是（）

259

A.（-5,0）,（5,0）B,（0,-5）,（0,5）C.（-4,0）,（4,0）D.（0,-4）,

（0,4）

【答案】C

【解析】

【分析】

依据椭圆的标准方程，先推断出焦点位置并求得〃,从再依据椭圆中。、b、c的关系即可求得

焦点坐标.

22

【详解】椭圆工+工=1

259

所以为焦点在x轴上，且/=25/2=9

由椭圆中储=//+/

可得=。2一62=25-9=16

因而c=4

所以焦点坐标为（-4,0）,（4,0）

故选:C

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简洁性质，椭圆中a、b、c•的关系及焦点坐标求法，属

于基础题.

x>0,

7.若实数X,y满意不等式组则X+2），的最大值是（）

x+”2,

A.1B.2C.3D.4

【答案】1）

【解析】

分析】

依据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值.

详解】依据所给不等式组,画出可行域如下图所示：

因而当经过点A（0,2）时，H标函数的截距最大

此时z=x+2），=0+2x2=4

所以x+2y的最大值是4

故选:D

【点睛】本题考查了线性规划的简洁应用，线性目标函数的最值求法，属广基础题.

8.已知直线/和平面。，若〃/a,PEN,则过点尸且平行于/的直线（）

A.只有一条，不在平面。内B.只有一条，且在平面。内

C.有多数条，肯定在平面a内D.有多数条，不肯定在平面。内

【答案】B

【解析】

【分析】

假设m是过点P且平行于1的直线，n也是过点P且平行于1的直线，则与平行公理得出的

结论冲突，进而得出答案.

【详解】假设过点P且平行于1的直线有两条m与n,则0]〃1且11〃1

由平行公理得m〃n,这与两条直线m与n相交与点P相冲突，

故过点户且平行于/的直线只有一条，

乂因为点P在平面内，所以过点P且平行于1的直线只有一条且在平面内.

故选B

【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关

系.过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

9.过点A（3,一l）且与直线x+2），-3=0垂直的直线方程是（）

A.x+2y+1=0B.x+2y—1=0C.2x-y+7=0D.

2x-y-l=0

【答案】I）

【解析】

【分析】

依据直线垂直时的斜率关系，先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程，进而化为一

般式可得解.

【详解】因为直线x+2y-3=0可化为y=+3

22

当直线垂直时的斜率乘积为1,所以L=2

因为经过点A（3,-1）

由点斜式可知直线方程为y+1=2（%一3）

化简可得2X一），-7二0

故选:D

【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系，点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于

基础题.

10.在AABC中，角A，B,C所对的边分别是b,c,若A=60。，8=45。，。=3则

b=()

A.1B.73C.2D.V6

【答案】1)

【解析】

【分析】

依据正弦定理，即可求得。的值.

【详解】在AABC中，角A,8,C所对的边分别是〃，〃，c

若A=60。，8=45。，。=3

//b

由正弦定理可知——=——

sinAsin8

3h

代入可得--------=---------

sin60sin45

解得b=展

故选:D

【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简洁应用，属于基础题.

11.函数〃x)=Msinx的图象大致是()

【答案】A

【解析】

【分析】

依据函数的奇偶性及特别值,可推断函数的图像.

【详解】因为/(x)=|必sinx

而g(x)=N为偶函数，〃(x)=sinx为奇函数，所以〃x)=|乂-sinx为奇函数，所以解除

C,D.

当X=0.001时,g(0.001)=|0.001|=0.001>0,〃(0.0()I)=sin0.001>0,所以

/(0.001)=|0.001|-sin0.(X)l>0,所以解除B选项.

故选:A

【点睛】本题考杳了依据函数解析式推断函数图像，利用函数的奇偶性、单调性和特别值，可

解除选项,属于基础题.

12.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：0/)是()

伯视图

12

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】B

【解析】

【分析】

依据三视图,还原出空间几何体，即可求得该几何体的体积.

【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，其空间结构体如下图所示:

c

则由三视图中的线段长度可知Sg8c=；x2xl=l

乙

则%I8c=gxlx2=g

故选:B

【点睛】本题考查了三视图的简洁应用，依据三视图还原空间几何体，棱锥的体积求法,属于基

础题.

13.设。，/wR,则是‘NJ+/＞（）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

依据立方和公式,结合充分必要条件的推断即可得解.

【详解】因为〃3+〃3=(a+〃)(“2_"+〃2)=(4+〃)3b2

a~2)十丁

-]+尘＞0,所以〃3+//＞（）.即“。+＞0"是“"+护＞（），，的

当a+b>0时,

2）4

充分条件.

当/+//＞（）时，由于（〃一21+生＞0成立，所以。+5＞0,即“〃+〃＞（）”是

I2）4

“/+〃＞0，，的必要条件.

综上可知，“4+8>0”是“+力，>0”的充要条件

故选:C

【点睛】本题考查了立方和公式的用法，充分必要关系的推断,属于基础题.

22

14.设居分别是双曲线之一二=1（〃/>0）的左、右焦点.若双曲线上存在一点尸，使

a~b~

得仍用=4|2用，且4P乃=60。，则该双曲线的离心率是（）

B.叵v.-----------

35。・粤

【答案】B

【解析】

【分析】

依据双曲线的定义及归用=4|尸可，用。表示出|历|、归修，再在三角形6P鸟中由余弦定理

求得。、c的关系，进而求得离心率.

r22

【详解】%居分别是双曲线0-与v=1（々⑦>0）左、右焦点，且双曲线上的点尸满意

a-b-

也|=用周

包

3

\PF\-\PF^=2a

〔囱=川尸段，解得网

3

因为/串外=60。，山国=2c

所以在三角形中由余弦定理可得

忻段2=归用2+|尸周2-2「用.|尸身cosN^P6,代入可得

4入纥2+3八2X必网X，

99332

9

化简可得%2=13/,即整13

7V

所以，考

故选:B

【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础

题.

15.点P从0动身，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一周，点0、P的距离（V）与点P走

过的路程（工）的函数关系如图所示.那么点P所走过的图形是图中的（）.

BPC

A。仑OQo''°

【答案】c

【解析】

【详解】易知，选项（A）、（B）的图像是若干条线段组成的折线;选项（D）中当点P走过的路程

为x=g时，0P不是最大值（过点P作0P的垂线交椭圆于点P',明显，OP'>0P）;选项（C）

2

中'二,®!!中，其图像如图.选C.

兀/

16.设数列｛qj满意q=1,a2n=a2fl_,+2,a2n+l=a2n-lfneN；则满意|巴一〃区4的

〃的最大值是（）

A.7B.9C.12D.14

【答案】C

【解析】

【分析】

依据数列｛q｝满意的条件，探讨n的奇偶性，即可求得解析式.依据解析式解肯定值不等式即

可求得满意条件的〃的最大值.

【详解】数列｛4｝满意4=1,aln=a2n_x+2,a2n+l=a2n-l

生一3

则%"+1一出1=1

n+\

贝增〃W奇数时，6/,,=—

所以|4一〃|«4,代入可得座一〃W4,解不等式可得一7V〃W9

而〃£M,所以此时〃的最大值是9

则当〃e偶数时，a=2+-

tl2

所以若|可一〃|44,代入可得2+]-〃W4,解不等式可得-44〃412

而，eN.，所以此时〃的最大值是12

综上可知，〃的最大值是12

故选:C

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类探讨数列的性质，肯定值不等式

的解法，属于中档题.

17.设点A，4的坐标分别为（0,1）,（1,0）,P,。分别是曲线），=2'和），=log?x上的动

点，记/1=AQA8,I2=BPBA.（）

A.若，=，2,则尸。=九桁（九wC）B.若则,尸|二忸0

C.若PQ=2A8（/l£/?）,则乙=八D.若|AP|=B0,则人=，2

【答案】C

【解析】

【分析】

依据题意，由向量数量积和投影的定义，结合平面对量共级的性质即可推断选项.

【详解】依据题意,在直线AB上取P',Q',且|钎1=忸。1.过P',Q'分别作直线43的垂线,

交曲线3=2、于4,鸟和交y=iog2。于。,。2•在曲线y=2、上取点K，使|M卜I便I.如

下图所示:

1=40.48=k0k小052%8=卜。］.卜8

I2=BPBA=|BP|-|BA|COSZPBA=IBP'I•|BA

若|”1=忸0,则|AQ[=|BP]

若L=，2，则|AQl=忸产|即可.此时P可以与R重合，。与。2重合,满意题意，但是

PQ=AAB{AGR）不成立,且卜耳工忖。|所以A、B错误；

对于C,若PQ=AAB（AGR）,则PQ//AB,此时必有耳与。对应（或£与0）,所以满意

，=，2,所以C正确;

对于D,对于点R,满意|A用=|A阂，但此时R在直线AB上的投影不在P'处，因而不满意

|A创=忸户即/产a所以D错误

综上可知,C为正确选项

故选:C

【点睛】本题考查了平面对量数量积的意义及向量投影的应用，向量共线的特征和性质，综合

性强，较为困难，属于难题.

18.如图，在圆锥SO中，A，8是C。上的动点，88,是。。的直径，M，N是SB的两

个三等分点，NAO4=，（（）<e<〃），记二面角N—04—B,M——3的平面角分别

为。，夕，若。工夕，则0的最大值是（)

【答案】B

【解析】

【分析】

设底面网的半径为厂，OS=a,以B'b所在直线为x轴，以垂直干所在直线为）'轴，以

QS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角

%—。4一3与加一4笈一用夹角的余弦值.结合。工仅即可求得。的取值范围，即可得。的

最大值.

【详解】设底面圆的半径为，"OS=m以ZT4所在直线为x轴，以垂直于93所在直线为

轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则由4408=6(0<8<开)

可得0(0,0,0),B(r,0,0),5(0,0,a),A(rcosersin(9,0),B'(-r,0,0)

M,N是SB的两个三等分点

则M

所以OA=(jcos。,rsin6>,0),O/V=[—,0,-

33

设平面NOA的法向量为m=（玉,x,zJ

(内，M,zJ•(rcos0/sin(7,0|=0

,mOA=0

则〈_—，代入可得＜(2i，z)|y,0,1^=0

m-ON-0

X]/cos0+y/sin-=0

化简可得az1

—+T=0

cos192r

令M=1,解得y\=痛'句

cosO

所以机=L

sin0

平面OAB的法向量为n=（0,0,1）

由图可知，二面角N-OA-4的平面角。为锐二面角，所以二面角N-QA-3的平面角。

满意

设二面角M—A8'—8的法向量为女=（X2，）'2，Z2）

Jcos。,-rsin8的

8'A=(r+rcosO/sinO.O),AM=

(33)

(x,y,z^).(r+rcos0,rsin0,0)=0

k-B,A=022

则《代入可得⑸g心-sfinq)

k-AM=0=0

引+/rcos。+»sin。=0

化简可得〈

x2rZ1.八2az、_

-x2rcos，-y2rsin6+=0

令工2=1,解得)'2=1.C‘,Z2=2r

sin，

1—l-cosO

所以k=

、'sin<9a7

平面AB'B的法向量为〃=(0,0,1)

由图可知，二面角M—AV—8的平面角°为锐二面角，所以二面角M—A9—3的平面角

月满意

由二面角的范围可知OWaW〃〈不

结合余弦函数的图像与性质可知cosa>cos/3

化简可得cos，〈一:，且0<6<乃

所以。〈夕工军

3

所以夕的最大值是申

故选:B

【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，依据题意建立合适的空间直角

坐标系,求得平面的法向歌即可求解.本题含参数较多，化简较为困难,属于难题.

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19.设等比数列｛4｝的前〃项和为S.(〃£N*),若生=2,4=4,则4=_____,

§4=-----

【答案】(1).1(2).15

【解析】

【分析】

依据等比数列的通项公式，可求得为与q.再求得知，即可求得s&的值.

【详解】因为数列｛〃”｝为等比数列，由等比数列的通项公式可知

4=4。“

而〃2=2,〃3=4

=44=24=1

所以《,解方程组可得

=4g2=49=2

所以。4==1x2。=8

所以S4=q+%+4+%

=1+2+4+8=15

故答案为：1；15

【点睛】本题考杳了等比数列通项公式的简洁应用，前n项和的求法,属于基础题.

20.设〃，y分别是平面。，夕的法向量，"=(1,2,-2),丫=(一2,＜加).若。〃夕，则实数

m=.

【答案】4

【解析】

【分析】

依据两个平面平行时,其法向量也平行，即可求得参数m的值.

【详解】因为〃〃尸，且:…分别是平面£的法向量

则〃

因为〃=(1,2,-2),v=(-2,-4,w)

所以存在4,满意〃=XP

则(1,2,—2)=之(一2,Y,m)

1=—2/1

A=--

2=-4z解得•°

-2=mAm=4

所以〃z=4

故答案为：4

【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.

21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖膈(bienao)是指四个面都是直角三角形的四面

体.如图，在直角AA8C中，AO为斜边8c上的高，A8=3,AC=4,现将AABO沿AO

翻折AA8'。，使得四面体A9CO为一个鳖嚅，则直线B7)与平面4OC所成角的余弦值是

AA

B'

9

【答案】-

【解析】

【分析】

作B'M_LCO于交CO于例，可证明3'M_L平面4c则ZB'DM即为？。与平面

AOC的夹角.依据线段关系即可求解.

【详解】作*M_LCD于交C。于M

B'

因为

且C£>cOQ'=。

所以AO_L平面OB'C

而A。u平面ACO

所以平面AC。_L平面05'C

又因为平面ACD「平面DB'C=DC,且BM上CD

所以B,MJL平面ACD

则NB'DM即为与平面AOC的夹角

因为直角AABC中，AB=3,AC=4

所以BC=JAB2+4C2=,9+16=5

ABxAC3x412

-----------------二----------二------

55

则DC=\/AC2-AD2=卜2_（耳=玲

169

所以。zr=BC-oc=5--=-

55

9

在直角三角形9DC中，cosNB‘DM=cosZB*DC=-=-^=-^7

DC£216

J

故答案：已9

【点睛】本题考查了空间儿何体中直线与平面的夹角求法，直线与平面垂直关系的判定，对空

间想象实力和计算实力要求较高,属于中档题.

22.已知函数/（刈=,2+办=2卜6,若存在awR,使得在［2,目上恰有两个零点，

则实数〃的最小值是_____.

【答案】2+2石

【解析】

【分析】

依据函数/（“存在在［2,可上恰有两个零点，则求得当x=2时满意条件的。.再由当

x=b时取到零点，即可求得力的值.

【详解】因为函数/（"=产+办一2卜6,/（x）在［2,可上恰有两个零点

则必在x=2与x=b时恰好取到零点的边界

若x=2时，/⑺的零点满意/（2）=忙+24-2卜6=0

解方程求得。=2或。=-4

当〃=2时，/（同=产+2、-2卜6,满意/（外在［2力］上恰有两个零点

则〃〃）=忙+2〃-2卜6=0,且〃>2

解方程可得〃=2（舍）或/，=Y（舍）

当a=T时，/（力=,一4了一2卜6,满意了（力在［2,0上恰有两个零点

则fQ）=忙一46-2卜6=0,且匕＞2

解方程可得方=2-26（舍）或〃=2+2百

粽上可知，当/?=2+2有时满意"”）在［2,句上恰有两个零点

故答案为：2+2+

【点睛】本题考查了含肯定值函数零点的分类探讨，留意恰有两个零点条件的应用，依据边界

取等时能刚好取得,属于中档题.

三、解答题（本大题共3小题，共31分）

23.已知函数/（x）=2sinx-gcosx-^-,xeR

（I）求/g的值；

Xz

（II）求/（x）的最小正底期;

（in）求/（x）在o,-上的值域.

乙

【答案】（I）/工=—（II）（III）一」,1

W4cj2LJ

【解析】

【分析】

（I）将?代入解析式，即可求得/-的值.

（II）依据正弦的二倍角公式化简后，即可求得了（X）的最小正周期.

（III）依据正弦函数的图像与性质，可求得了（X）在o,g上的值域.

7T7C=2sin：os工=2x1近=3

【详解】（I）/可=2sin

I3，6)66222

即何邛

(II)因/(x)=sin2x-^=sin^2x-y^

故的最小正周期7=夸=乃

(III)当0,g时,23一gw-g，寻

L2J3133」

因此当2x—g=-f,即x=0时，f(x\.=一@

33八儿〃2

当2"==个即％="时’/(回皿=1

所以“X)在0,y上的值域为一冬1.

4乙

【点睛】本题考查了正弦函数的求值，正弦函数的图像与性质简洁应用，属于基础题.

2

24.如图，设抛物线C}x=y与G：)2=2*(〃>°)的公共点M的横坐标为/(/>。)，过〃

且与G相切的直线交G于另一点A，过M且与。2相次的直线交C于另一点3,记S为

(H)若SE；,2,求，的取值范围.

_4_

注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直

线与抛物线相切.

尸24

【答案】（I）/?=-；（II）tw

2!_33J

【解析】

【分析】

（I）将M的横坐标为，弋入抛物线G解析式可得“（/,『），再代入抛物线C?解析式，化简

即可用f表示〃的值.

（II）设出点A的坐标,结合M的坐标即可表示出直线MA的方程.联立抛物线C,，依据相切时

判别式△=0可得k=2t,表示出直线M4的方程.利用两点式表示出直线M4的斜率,即可用t

表示出点A的坐标.同理可求得3点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出|网，利用点到

直线距离公式求得A到直线MB的距离，即可表示出可%/1的面积S.结合S的取值范国，即

可求得f的取值范闱.

【详解】（I）因点“在抛物线6：/=丁上，故M0,/）（/>0）

2

又点、M在抛物线c,：y2=2Px（p>0）上，故（/）=2Pl,

则p=C

（II）设点A（x，y）,直线M4的方程为》=攵（工一。十/

联立方程组'消去儿得/一日+笈一产=0

则△=/一4（&/一产）=（"2。2=0

因止匕4=21

即直线MA的方程为y=2/x-z2

），3

k=21二二=人工=」_=2/

则直线M4的斜率x-t-y；+产-4

/一

L上、

从而乂二一二，即A

同理,直线MB的方程为y=—x+匚，点B

2

3r

因此|加却二

~2

9r;

tr