2025~2026学年北京市第四中学第二学期开学测试高三数学试卷

2025~2026学年北京市第四中学第二学期开学测试高三数学试卷一、单选题1.已知集合，则（）

A．B．C．D．2.在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是

A．B．C．D．4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则5.已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（）

A．B．C．D．6.在中，若的面积，则（）

A．B．C．D．7.已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8.某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（）（参考数据：）

A．6.403B．6.463C．6.503D．6.5239.过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（）

A．B．C．D．10.函数，.若存在，使得，则的最大值为（）

A．5B．6C．7D．8二、填空题11.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）12.已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______.13.如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________．14.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________．15.对于集合，若存在集合的个两两不同的子集，且满足：，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度．当集合的元素个数为时，有以下四个结论：①集合的最长“链”的长度为；②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中；③当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合；④集合的最长“链”的总数为．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题16.已知函数.(1)求的单调递增区间及最小正周期；(2)设，若集合恰有一个元素，求的取值范围.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件①：平面平面；条件②：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：

高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率.(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；(2)从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；(3)从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）19.已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于不同的两点.（1）当时，求的面积；（2）设直线分别与直线交于两点，线段的中点分别为，点.当变化时，证明:三点共线.20.已知函数，.(1)当时，①求曲线在处的切线方程；②求证：在上有唯一极大值点；(2)若没有零点，求的取值范围.21.对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列