高中数学选修2-2知识点

高中数学选修2——2知识点

第一章导数及其运用

知识点：

一.导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一样的，函数y=/（用在x=/处的瞬时变化率是

lim］（题+刈）-/*0）,

2°Ax

我们称它为函数），=/*）在X=/处的导数，记作/'（%）或），'」，

即f'（/）=lim/（/+•）-"/）

20Ar

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点匕趋近于。时，直线P7与

曲线相切。容易知道，割线PP“的斜率是k〃二仆，J一,当点月趋近于户时，函数

），=/（x）在x=/处的导数就是切线PT的斜率k,即攵=lim/区-）=/Vo）

…。天一七

3.导函数：当x变化时，广（工）便是x的一个函数，我们称它为了。）的导函数.y=/（x）的

导函数有时也记作），'，即/'（幻=limA"+»'（'）

AJ°Ar

知识点：

二.导数的运算

1）基本初等函数的导数公式：

1若〃x）=c（c为常数），则，（幻=。

2若/（x）=,则f'（X）=axai;

3若f（x）=sinx,则f'（x）=cosx

4若/（x）=cosx,则/'（x）=-sinx;

5若/（©=，，则r*）=/ln〃

6若/（九）=e',则/（工）=夕

7若/（x）=log：，则/'（*）=

xlna

8若f(x)=lnx,贝ljf\x)=-

x

2)导数的运算法则

i."(x)±g(x)]'=r(x)±g'a)

2."(X)・g。)]'=/'(%)•g(x)+f(X)•g'(x)

3.|-------1=--------------------；------------

g(x)lg(x)]

3)复合函数求导

y=/(〃)和u=g(x),称则y可以表示成为x的函数，即y=/(g(x))为一个复合函数

y=r(g(x))”'(x)

考点：导数的求导及运算

★1、已知,f(x)=Y+2x-sin乃，则/⑼=

★2、若/1(x)=e"sin"，则/(X)=

★3./(x)=ax3+3x2+2,/z(-l)=4,则a=()

AW建d心

3333

★★4.过抛物线y=x之上的点Mg,；)的切线的倾斜角是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

★★5.如果曲线y=gf+3与y=2—/在x=x0处的切线相互垂直，则与=

三.导数在研究函数中的运用

知识点：

1.函数的单调性与导数：

一样的，函数的单调性与其导数的正负有以下关系：

在某个区间(凡与内，如果ra)〉o,那么函数)，=/(心在这个区间单调递增；

如果r(x)<o,那么函数尸/“)在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反应的是函数在某一点邻近的大小情形.

求函数y=f(x)的极值的方法是：

(1)如果在不邻近的左侧f(x)>0,右侧fr(x)<0,用么/(%)是极大值;

⑵如果在与邻近的左侧f(x)<0,右侧广。)>0,阴么/(x0)是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数y=/(x)在团,切上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y=/(x)在(。,b)内的极值；

(2)将函数)，=/3)的各极值与端点处的函数值/(0,/(»比较，其中最大的最大值,

最小的是最小值.

I四.生活中的优化问题

利用导数的知识,，求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点：1、导数在切线方程中的运用

2、导数在单调性中的运用

3、导数在极值、最值中的运用

4、导数在恒成立问题中的运用

一、题型一：导数在切线方程中的运用

★1.曲线y=/在p点处的切线斜率为上若k=3,则P点为()

A.(—2,—8)B.(—1,—1)或(1,1)

]_1

C.(2,8)D.(-2,-8)

★2.曲线)，=；/-V+5,过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为()

冗冗冗3

————71

A.6B.4C.3D.4

二、题型二：导数在单调性中的运用

★1.(05广东卷)函数是减函数的区间为()

A.(2,+8)B(—8,2)c,(-00，。)D.(°，2)

★2.关于函数/(幻=2--6/+7,下列说法不正确的是(

)

A.在区间（-8,0）内，/（幻为增函数B.在区间（0,2）内，/（©为减函数

C.在区间（2,+8）内，/（幻为增函数D.在区间（-8,0）口（2，+8）内，/（幻为增

函数

★★3.（05江西）已知函数y=4'*）的图象如右图所示（其中尸“）是函数/（X）的导函数）,

三、导数在最值、极值中的运用：

★1.（05全国卷I）函数/（幻=/+。/+3%-9,已知人幻在太=_3时获得极值，则。=（）

A.2B.3C.4D.5

★2.函数y=2/_3/-i24+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是（）

A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16

★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数八用=〃『3*0）是R上的奇函数，

当天=1时/。）获得极值一2.

（1）试求a、c、d的值；

（2）求八幻的单调区间和极大值；

★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数/（幻=/—+/+川，已知工=_2和x=l

为了“）的极值点。（1）求“力的值；

（2）讨论的单调性；

第二章推理与证明

知识点：

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一样性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特别到一样的推理。

归纳推理的一样步骤：

•通过视察个别情形发觉某些相同的性质；

•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样命题（料想）；

•证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理

由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点，推出另一类对象也具有

这些特点的推理称为类比推理（简称类比）.

简言之，类比推理是由特别到特别的推理.

类比推理的一样步骤：

•找出两类对象之间可以确切表述的类似特点；

•用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点，从而得出一个料想；

•检验料想。

3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过视察、分析、比较、联想，再进行归纳、

类比，然后提出料想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演绎推理

从一样性的原理动身，推出某个特别情形下的结论，这种推理称为演绎推理.

简言之，演绎推理是由一样到特别的推理.

演绎推理的一样模式-----..“三段论”.，…包括

⑴大条件——己知的一样原理；

⑵小条件——所研究的特别情形；

⑶结论——据一样原理，对特别情形做出的判定.

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推

导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论动身,逐渐寻觅使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结

论归结为判定一个明显成立的条件(己知条件、定理、定义、公理等)为止.

要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一样地,假定原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假定毛

病，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

反证法法证明一个命题的一样步骤：

(1)(反设)假定命题的结论不成立;

(2)(推理)根据假定进行推理,直到导出矛盾为止;

(3)(归谬)断言假定不成立;

(4)(结论)肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数〃的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤；

(1)(归纳奠基)证明当〃取第一个值%(〃O£N")时命题成立；

(2)(归纳递推)假定〃=攵伏2〃0次£")时命题成立，推证当〃=%+1时命题也成立.

只要完成了这两个步骤，就可以肯定命题对从〃。开始的所有正整数〃都成立.

考点：无

第三章数系的扩充与复数的引入

知识点：

一:复数的概念

⑴复数:形如。+6(aGR.beR)的数叫做复数，a和〃分别叫它的实部和虚部.

(2)分类：复数。+初(4£凡/2£式)中，当b=0,就是实数；〃工0,叫做虚数；当4=0活工0时,

叫做纯虚数.

(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4)共加复数：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共加复数.

(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的

部分叫做虚轴。

(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

2.相干公式

(l)a+bi=c+di<=>a=b,S.c=d

(2)a+bi=0<^>a=b=()

(3)|z|=\a+Z?z|=&i2+〃2

(4)z=a-hi

z,三指两复数实部相同，虚部互为相反数(互为共匏复数).

3.复数运算

⑴复数力口减法：(々+bi)±(c+力)=(a±c)+(h±d)i；

⑵复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

a+bi(a+bi)(c-di]

⑶复数的除法：F=)——M

cIdi(ciaij^cai)

_(ac+bd)+(bc-ad)i_ac-^bdbe-ad.

c2+d2c2+J2+c2+d-1

(类似于无理数除法的分母有理化■虚数除法的分埋实数化)

4.常见的运算规律

(l)|z|=|z|;(2)z+z=247,z-z=2Z?z;

(3)z-z=|z|'=|z|2=er+/?2;(4)Z=z;(5)z=z<=>zwR

⑹严+i•-4/1+2;4〃+3;：4〃+4

l=-1,1=1;

(7)(1±/)2=±Z;(8)1^

=±i

1-I

(9)设0=—1+'是1的立方虚根,则1+@+。2=0,4t)3"+l=4U,=西@3〃+3=]

2

考点：复数的运算

★山东理科1若z=cose+isin£(i为虚数单位)，则/二-1的。值多是

(A)-(B)-(C)-(D)-

6432

★山东文科i.复数包a的实部是()

l+2i

A.-2B.2C.3D.4

★山东理科(2)设z的共聊复数是巳若＞1=4,z-z=8,则三等于

z

(A)i(B)-i(C)±l±i

高中数学选修2-3知识点

第一章计数原理

知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M种不同的方

法，在第二类办法中有此种不同的方法，……，在第N类办法中有瓜种不同的方法，那么

完成这件事情共有M1+M2+...+M、种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有ml种不同的方

法，做第二步有此不同的方法，……，做第N步有不同的方法.那么完成这件事共有

N=M,M2...MN种不同的方法。

3、排歹U：从，个不同的元素中任取小口个元素，依照一定顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出/〃个元素的一个排列

4、排列数：从〃个不同元素中取出加EW/7)个元素排成一列，称为从〃个不同元素中取出加

个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出勿个元素的一个排列数，用符号表示。

〃！

A,n=n(n—1)•••(〃-+1)=------——(m<n,〃，mGN)

5、公式：A禽=A：+A：：C：I=A：+砌了A：=nA^

6、组合：从〃个不同的元素中任取/〃(/〃个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出/〃

个元素的一个组合。

〃(〃一nl

rmA：1)…+

嬴--------------

OF--------加(〃一"?)!

m/-1n-m.

C〃，C〃十〃一C〃+|

8、二项式定理:

9、

考点：1、排列组合的运用

2、二项式定理的运用

★★1.我省高中学校自实行素养教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五

名同

学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若

每个社团至少有一位同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同

学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）

A.72B.108C.180D.216

★★2.在（五十七产的展开式中,x的基的指数是整数的项共有（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

★★3.现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调

剂到上层，若其他商晶的相对顺序不变，则不同调剂方法的种数是

A.420B.560C.840D.202X0

★★4.把编号为1,2,3,4的四封电子邮件分别发送到编号为1,2,3,4的四个网址，

则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为

★★5.3-工"的展开式中产的系数为（）

x

A.-56B.56C.-336D.336

第二章随机变量及其散布

知识点：

1、随机变量：如果随机实验可能显现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着实验

的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等或希

腊字母un等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我

们可以按一定次序一i列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3、离散型随机变量的散布列：一样的，设离散型随机变量X可能取的值为xi,X2,……,x,,.....,xn

X取每一个值xi（i=l,2,.....）的概率P（&=xj=P”则称表为离散型随机变量X的概率

散布，简称散布列

XXIX2♦・♦Xi・♦♦Xn

PPiP2■■■pi■■■Pn

4、散布列性质①Pi20,i=1,2,…；②出+P2+…+p”=1.

5、二项散布：如果随机变量X的散布列为:

X1O

PPq

其中O<p<l,q=1-P，则称离散型随机变量X服从参数p的二点散布

6、超几何散布：一样地，设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取

n(nWN)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

则它取值为k时的概率为P(X=A)=5毕〃&=0,1,2,…,⑼，

CN

其中机=min{〃}，且〃WN,MWN,n,M,NwN"

7、条件概率：对任意事件A和事件B,在已知事件A产生的条件下事件B产生的概率，叫

做条件概率.记作P(BA),读作A产生的条件下B的概率

8、公式：

?V|A)=^^,P(A)>0.

9、相互独立事件：事件A(或B)是否产生对事件B(或A)产生的概率没有影响，这样的两个事

件叫做相互独立事件。P(AB)=P(A)P(B)

10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种实验

11、二项散布：设在n次独立重复实验中某个事件A产生的次数，A产生次数€是一个随

机变量.如果在一次实验中某事件产生的概率是p,事件A不产生的概率为q=l-p,那么在

n次独立重复实验中P/=k、=C"qi(其中k=O,1,....,n,q=l-p)

于是可得随机变量€的概率散布以下：

g01•••A•••n

「kk力一&

P《典"产•••Jpq•••

这样的随机变量&服从二项散布，记作g〜B(n,p),其中n,p为参数

12、数学期望：一样地，若离散型随机变量g的概率散布为

gXiX2•••Xi•••

pPiP2•••Pi•••

则称E&=xlpl+x2P2+…+xnpn+…为&的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称

为期望.是离散型随机变量。

13、两点散布数学期望：E(X)=np

14、超几何散布数学期望：E(X)二〃•丝.

N

2

15、方差:D(g)=(x-EgT•P|+(X2-EC)*P2+............+(x-E&尸・匕叫随机变量€的均方

差，简称方差。

16、集中散布的期望与方差一览：

期望方差

两点散布E€=pD€=pq,q=l-p

超几何散布D(X)=np(1-p)*(N-n)/(N-l)

-Ec=n--M--

都KA参数为N,M,n的超几何分布N(不要求)

二项散布，€〜B(n,p)Eg二npDg=qEg=npq,(q=l-p)

J_

几何散布，p(€=k)=g(k,p)

PP-

17.正态散布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

1,

f\x)=r——e2b2,xe(-QO,H_OO)

V27TCT

的图像，其中解析式中的实数〃、。(。＞0)是参数，分别表示整体的平均数与标准差.

则其散布叫正态散布记作：f(x)的图象称为正态曲线。

18.基本性质:

①曲线在X轴的上方，与X地不相交.

②曲线关于直线x=〃对称，且在时位于最高点.

③当时XV4,曲线上升；当时“>〃，曲线降落.并且当曲线向左、右两边无穷延伸时，以

X轴为渐近线，向它无穷靠近.

④当〃一定时，曲线的形状由。肯定.。越大，曲线越“矮胖”，表示整体的散布越分散；O

越小，曲线越“瘦高”，表示整体的散布越集中.

⑤当。相同时，正态散布曲线的位置由期望值口来决定.

⑥正态曲线下的总面积等于1.

19.3o■原则：

从上表看到，正态整体在(4-2b,〃+2b)以外取值的概率只有4.6%,在

(〃-3b,〃+3b)以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情形产生为小概

率事件.也就是说,通常认为这些情形在一次实验中几乎是不可能产生的.

考点：1、概