定边对定角周长最大问题-初中-数学-教学设计

-1-课题：定边对定角周长最大问题常榆霞西安滨河学校一、教材分析定边对定角模型是陕西中考压轴的热点问题，也是难点问题。本节内容以此为载体研究图形周长最值问题.整个初中阶段，三角形、四边形以及圆的相关知识都与该专题息息相关，深入的研究这个模型的变化和拓展，将中考压轴题应用在这个模型背景下，借助相关几何知识进行说理、计算，培养学生的逻辑思维能力、几何证明的能力以及问题解决能力.二、学情分析本节课针对的是九年级下学期的学生，学生已进入专题复习阶段，数学学习上已经有了深厚的积累，而且学生已经熟知用隐形圆解决定边对定角模型的方法，比如如何确定外接圆，如何求点圆最值，点线最值，面积最值等，所以在此基础上研究此专题，学生较易理解和掌握。教学目标【知识与技能】能识别定边对定角周长最大模型，能利用隐圆或者三角函数的相关知识证明周长最大的特殊情况，并且利用三角形相关知识计算最值，尤其一些非特殊的等腰三角形的求解方法。【过程与方法】通过直观的感受、思维逻辑的分析、严谨的推理证明使学生体会最值问题的求解方法，模型应用和模型拓展感悟领会转化的数学思想.【情感、态度、价值观】培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的严谨性、趣味性，体验自己探究问题的成就感. 四、教学重难点1、教学重点识别“定边对定角周长最大问题”的方法以及对应的计算2、教学难点培养清晰的逻辑思维，证明定边对定角周长最大问题的方法.教法与学法小组自主合作探究模式.教具准备几何画板、其他教具.教学过程模型分析讲解过程：（1）分析模型，定位“定边对定角模型”：在三角形中，一边的长为定值，这边所对的角是定角，把这样的模型称为定边对定角模型。对于这个三角形，若不给定它的其他元素，三角形的形状不固定，那么在动顶点C移动的过程中，周长是否存在最大值？△ABC的周长等于AB+AC+BC,而AB的长是定值，所以我们只需研究AC+BC的最大值即可。研究两条动线段的和，我们通常应用化折为直的思想，先将其转化在一条线段上进行研究，现在我们尝试用这种方法解决此问题。延长AC至点D，使得CD=BC，连接BD,这时△BCD是等腰三角形，则∠D=∠CBD,而∠ACB=α是△BCD的一个外角，所以∠ACB=∠D+∠CBD,从而得到∠D=，也是一个定角。这样问题就又转化成新的定边对定角问题：定边AB=c，定角∠ADB=，求边AD的最大值。方法一：借助三角函数我们的想法是把AD放在一个直角三角形中研究，于是过点A作AH⊥BD交BD的延长线于H,在Rt△AHD中，sin∠AGH=,∴,由于是定值，所以求AD的最大值只要求AH的最大值即可。AH的最大值是c，也即H与B重合，此时我们画出最值图,所以∠ABD=90°，∴∠ABC+∠CBD=∠D+∠DAB=90°，又∵∠CBD=∠D,所以∠CAB=∠CBA,∴AC=BC还原到最初的问题：也就是说，定边对定角的三角形①周长存在最大值，②此时三角形变成等腰，问题得以解决。方法二：借助隐性圆我们已知晓，定边对定角的三角形的动顶点是在其外接圆的一段弧上运动的，且外接圆还是个确定的圆。所以作出△ABD的外接圆圆O,而要求的AD就变成了圆O的一条弦，由直径是圆中最长得弦，我们可以知道AD的最大值就变成圆O的直径。我们此时的最值图画出来，由AD是直径，所以∠ABD=90°，接下来的处理方式如方法一。同样得出定边对定角的三角形①周长存在最大值，②此时三角形变成等腰。其实定边对定角周长最大问题的研究方法很多，同学们进入高中后，也可借助正弦定理，余弦定理以及三角函数等相关知识对其进行研究。设计意图：通过对模型的识别和证明，让学生对此问题有严密的几何推理，而且通过多种方法证明，一题多解，拓展思维。（二）模型应用讲解过程：从目标出发，四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD=12+BC+CD，要使周长最大，只需要BC+CD最大即可，而对于四边形ABCD来说，连接BD，由AB=AD,∠DAB=60°，可知△ABD是等边三角形，所以BD=AB=6,对于△BCD来说，就变成一个定边对定角周长最大问题，由前面的模型分析可知，BC=CD时，此时△BCD变成顶角为120°的等腰三角形，BC+CD最大.至于计算，由120°的等腰三角形的三边关系为1:1：，可得BC=CD=，所以四边形ABCD周长的最大值为12+规范呈现：设计意图：让学生能够在四边形中识别定边对定角周长最大模型，并且会证明以及计算。灵活应用，举一反三。（三）模型拓展讲解过程：这是一个角度定，中线定的问题。遇到中线问题，我们通常思考的方向就是倍长中线或者作中位线去转化。延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE,因为BD=CD,∠ADC=∠BDE所以△BDE≡△CDA,所以∠C=∠DBE,BE=AC，所以求AB+AC的最大值就变成求AB+BE的最大值，又因为∠BAC=150°，所以∠ABC+∠C=30°，所以∠ABC+∠DBE=∠ABE=30°,且AE=12。问题就转化成定边12，定角30°，周长最大问题，我们知道，当AB=BE时，AB+BE最大。此时△ABE变成定角为30°的等腰三角形。至于计算，将△ABE摘出来，过E作EH⊥AB于H,进行计算。就此题再强调两点：①这个问题也可作中位线进行转化，方法类似②定角定中线问题我们可以转化成定边对定角进行解决。设计意图：通过模型变式，让学生体会模型本质，熟悉模型的应用和证明，起到拓展思维的作用。（四）走进中考如图，某城市拟在河流m、n所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB、、CD和绿化带BC四部分构成，其中B、C两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A、D两点间的距离为600米，A、D两点到直线BC的距离相等，的中点E到BC的距离比点A到BC的距离多米，若修建时需保证∠B与∠C的和为120°，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在请说明理由。（结果保留π）设计意图：对本节课的内容进行变式，对学生的认知进一步提升，拓展学生的思维，对学生的理解和应用能力进一步拔高.（五）方法小结设计意图：从本节课的思维方向，相关方法，相关知识以及数学思想方法给学生总结，让学生吃透问题，真正解决问题。教学反思本节微课以定边对定角周长最大问题为研究对象，从模型分析及证明到模型应用再到模型拓展三个方面对此问题进行研究和总结。本节课从确定课题到模型的证明及例题，拓展选取经过多次调整与打磨。最初模型证明以隐圆方法为主，三角函数为辅进行模型证明，但隐圆方法不易理解，较复杂，然后作以调整，三角函数证明模型符合学生认知，在模型应用时，