二次函数与平行四边形存在初探-初中-数学-论文

二次函数与平行四边形存在初探高群西安铁一中滨河学校摘要：二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型，与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。本文就以平行四边形的存在性为例，谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧，旨在提高学生解决数学问题的能力,发展学生数学思维。关键词：初中教学；二函与平行四边形存在性；分类讨论思维在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题:(1)己知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形；(2〉己知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形;平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序;由于定序较为简单，所以就不再举例说明。学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误:一是确定动点位置时出较典型的两种错误:一是确定动点位置时出现遗漏，二是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。基本思路:(1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同);(2）分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置);(3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧)。可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”。平行四边形题型攻略:(1）如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点;(2）如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。现例举以二次函数为载体的平行四边形形状“存在性”问题评析如下.举两例两个类型，每个类型从知识内容，解题思路，解题过程，方法总结四方面作以阐述。已知三点的平行四边形问题1、知识内容:ABABCM1M2M32、解题思路：根据题目条件,求出已知3个点的坐标；用一点及其对边两点的关系,求出一个可能点;更换顶点,求出所有可能的点;根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答.3、例题解析：如图,抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线ｙ＝x－３与坐标轴的两个交点A、Ｂ,此抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｃ，抛物线的顶点为Ｄ.（1）求此抛物线的解析式;（2）点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC︰S△ACD=5︰4的点Ｐ的坐标;（3）点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．解：（1）∵直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A、B，∴点B（0，﹣3），点A（3，0），将A与B坐标代入抛物线y＝x2+bx﹣c得：，解得：c＝3，b＝﹣2，则抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，∴C（﹣1，0），顶点D（1，﹣4），由点P为抛物线上的一个动点，故设点P（a，a2﹣2a﹣3），∵S△APC：S△ACD＝5：4，∴（×4×|a2﹣2a﹣3|）：（×4×4）＝5：4，整理得：a2﹣2a﹣3＝5或a2﹣2a﹣3＝﹣5（由Δ＜0，得到无实数解，舍去），解得：a1＝4，a2＝﹣2，则满足条件的点P的坐标为P1（4，5），P2（﹣2，5）；（3）如图所示，A、B、D分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点，∵四边形ADBM1为平行四边形，∴AB与M1D互相平分，即E为AB中点，E为M1D中点，∵A（3，0），B（0，﹣3），∴E（，﹣），又∵D（1，﹣4），∴M1（2，1），∴M2（﹣2，﹣7），M3（4，﹣1），则满足题意点M的坐标为：M1（2，1），M2（﹣2，﹣7），M3（4，﹣1）．4、方法总结：（1）对于一次函数y＝x﹣3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式求出C与D坐标，根据P为抛物线上的点，设P（a，a2﹣2a﹣3），三角形APC由AC为底，P纵坐标绝对值为高，利用三角形面积表示出，三角形ACD面积由AC为底，D纵坐标绝对值为高表示出，根据题意列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出此时P的坐标；（3）画出图形，如图所示，根据题意得到A、B、D分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点，由四边形ADBM1为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到AB与M1D互相平分，即E为AB中点，E为M1D中点，根据A与B的坐标求出E的坐标，再利用线段中点坐标公式求出M1坐标；进而求出M2、M3的坐标即可．二、存在动边的平行四边形问题1、知识内容:在此类问题中,往往是已知一条边,而它的对边为动边,需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值.更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解.2、解题思路：找到或设出一定平行的两条边(一组对边）；分别求出这组对边的值或函数表达式;列出方程并求解；返回题面，验证求得结果.3、例题解析：如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？解：（1）∵抛物线与y轴交于点A（0，1），B，∴，解得：，∴y＝﹣x2+x+1；（2）①设直线的解析式是y＝kx+b，∵直线AB过点A（0，1）和B，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），M（m，m+1），∴PM＝m+1；②根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，﹣m2+m+1），MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形，1、当点P在线段OC上时，MN＝﹣m2+m，又∵BC＝，∴﹣m2+m＝，解得m1＝1，m2＝2；2、当点P在线段OC的延长线上时，MN＝m2﹣m，∴m2﹣m＝，解得：m1＝（不合题意，舍去），m2＝（舍）字母顺序不合适，综上所述，当m的值为1或2时，四边形BCMN是平行四边形4、方法总结：（1）根据抛物线过点A（0，1），B，求出c，b的值，即可求出抛物线的解析式；（2）①先设直线的解析式是y＝kx+b，根据直线AB过点A（0，1）和B，求出b，k的值，求出直线AB的解析式，再根据PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，得出P（m，0），M（m，m+1），即可求出PM的长度；②根据抛物线的解析式和P点的坐标得出N（m，﹣m2+m+1），MN∥BC，再分两种情况讨论，当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，求出MN的值，根据BC＝，得出﹣m2+m＝，求出m得值，即可得出答案．此题考查了二次函数的综合，在解题时要注意解析式的确定，（2）小题②中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．以上是对二次函数中平行四边形存在问题的一些个人做法，此类题要做到灵活应对，还需掌握平行四边形的判定方法。在几何中,平行四边形的判定方法有如下几条:①两组对边互相平行；②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线互相平分;⑤两组对角相等。在压轴题中,往往与函数(坐标轴）结合在一起,运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。，以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题是近几年中考压轴题的热点.它以能力立意取代知识立意，立足基础，突出能力和数学思想的考查，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，有较高的区分度。这种题型，关键是合理有序分类∶无论是三定一动，还是两