2025-2026学年4.乘法公式与因式分解-初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习（含答案）

/乘法公式与因式分解——初中数学中考一轮分层训练一、基础题1．下列运算正确的是（）A．2m−3m=m B．(3a2．如图，若x为正整数，则表示x+2A．段① B．段② C．段③ D．段④3．下列运算正确的是（）A．y−3xyC．m+52=4．将关于x的多项式x2+nx+25因式分解得A．10 B．−10 C．5 D．−55．用配方法解关于x的一元二次方程x2A．(x+2)2=8 B．(x−2)6．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2−xC．x2−x7．因式分解：m2﹣m=．8．化简：(5+2)9．已知a2−b2=12，10．先化简，再求值：(1+3x二、能力题11．下列运算正确的是（）A．1x+1C．a+ba12．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab13．若(x−3)2A．−6 B．−3 C．6 D．−914．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（）A．a+b=5 B．ab=8 C．15．如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，已知BG=8A．20 B．35 C．40 D．5016．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为14和134，则正方形A，B的面积之和为17．设x1，x2为一元二次方程12x2+3x18．计算5−25+219．因式分解m3−4m20．转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为S1，S2，则S121．数学探究：（1）例：代数式（a+b）2表示a、b两数和的平方，代数式（a+b）（a-b）表示a、b两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式a2-b2表示；（2）试计算a、b取不同数值时，a2-b2及（a+b）（a-b）的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）：a、b的值当a=5，b=1时当a=-4，b=2时当a=-3，b=-6时a2-b22412（a+b）（a-b）12（3）请你再任意给a、b各取一个数值，并计算a2-b2及（a+b）（a-b）的值：当a=，b=时，a2-b2=，（a+b）（a-b）=.（4）我的发现：a2-b2（a+b）（a-b）；（填“”、“＜”或“=”）（5）用你发现的规律计算：78.352-21.652.22．（1）若a−b=2，ab根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（2）已知△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC边向外侧作正方形．如图所示，设AD三、拓展题23．探究题：【问题情景】（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2−6x+9=___________；【探究发现】（2）观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明发现：若多项式ax【问题解决】（3）若多项式k+1x224．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：x=x=x=x乙：a=a=a=a请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：（1）因式分解：a2（2）已知a−b=3，b（3）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+

答案解析部分1．【正确答案】B解：A：2m-3m=-m，所以A不正确；

B：（3a2）2=9a4，所以B正确；

C：a2a3=a5，所以C不正确；

D：(x+1)2=x2+2x+1，所以D不正确。

故B。

【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据积的乘方以及幂的乘方，可得出B正确；根据同底数幂的乘法，可得出C不正确；根据完全平方公式可得D不正确，进而得出答案即可。2．【正确答案】B解：∵(x+2)2又∵x为正整数，∴12≤x故选B．【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据x为正整数化简即可求出答案.3．【正确答案】A解：A、y−3B、x2C、m+5D、2n故A．

【分析】由平方差公式“(a-b)(a+b)=a2-b2”直接计算可判断A选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.4．【正确答案】A解：∵x+5又∵原多项式为x2∴n=10故选：A．【分析】根据完全平方公式去括号，再根据对应项相等即可求出答案.5．【正确答案】D解xxx∴(故D.【分析】根据配方法解方程：先移项得x2−4x6．【正确答案】C把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故C．【分析】利用因式分解法的定义对每个选项一一判断即可。7．【正确答案】m（m﹣1）解：m2﹣m=m（m﹣1）故答案是：m（m﹣1）．【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．8．【正确答案】1解：原式=(故1．

【分析】利用平方差公式展开计算即可。9．【正确答案】6解：∵a2−b2=12，

∴a+ba−b=12，

10．【正确答案】解：原式=xx−3×x−32x+3【分析】根据分式的运算法则，结合平方差公式及完全平方公式化简，再将x=6代入即可求出答案.11．【正确答案】B解：A．1xB．2yC．a+D．a+故选：B.

【分析】根据分式的加减法，分式的乘除法，平方差公式以及完全平方公式等计算求解即可.12．【正确答案】A解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【分析】根据正方形，矩形面积即可求出答案.13．【正确答案】A解：由题意可得：

(x−3)2=x214．【正确答案】A解：如图，

∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，

∴12ab×4+(b−a)2=13，(b−a)2=1，

∴ａ2+ｂ2＝13，ａ2+ｂ2−2ab=1，

∴13−2ab=1，ａ+ｂ故A．【分析】根据大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，得12ab×4+(b−a)2=13，(b15．【正确答案】C解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b

由题意可得，a+b=BG故C【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据边之间的关系可得a+b=8，根据三角形面积可得ab=12，再根据正方形面积，结合完全平方公式即可求出答案.16．【正确答案】7解：设正方形A，B的边长分别为a,图①中阴影部分面积为a图②中阴影部分面积为(∴a∴2∴a2故7【分析】设正方形A，B的边长分别为a,b，由几何图形得，a217．【正确答案】20解：∵x1，x2为一元二次方程12x2+3x+2=0

∴x1+x18．【正确答案】1解：5==5−4=1故1【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式等知识。首先观察发现，需要计算的式子和平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，利用该公式先变形，然后按照二次根式的混合运算步骤进行计算即可。19．【正确答案】m（m+2）（m-2）原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。20．【正确答案】7解：设重合部分面积为S，则S1−S2=(S1故7.【分析】通过设重合部分面积，将S1−S2转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知21．【正确答案】（1）a、b两数的平方的差（2）-27；24；-27（3）2；1；3；3（4）=（5）解：78.352-21.652=

（78.35-21.65）×（78.35+21.65）

=56.70×100

=5670.

（1）根据代数式意义知，代数式a2-b2表示：a、b两数的平方的差，

故a、b两数的平方的差.

（2）当a=5，b=1时，（a+b）（a-b）=（5+1）（5-1）=24；

当a=-3，b=-6时，a2-b2=（-3）2-（-6）2=-27，

（a+b）（a-b）=【-3+（-6）】【-3-（-6）】=-9×3=-27；

故-27；24；-27.

（3）当a=2，b=1时，a2-b2=22-12=3，（a+b）（a-b）=（2+1）（2-1）=3；

故2；1；3；3.

（4）a2-b2=（a+b）（a-b），

故=.

【分析】（1）根据代数式的意义作答.

（2）将a、b代入求值即可.

（3）任意取一组a、b的值代入a2-b2及（a+b）（a-b）求值即可.

（4）根据（2）（3）得出结论a2-b2=（a+b）（a-b）.

（5）根据a2-b2=（a+b）（a-b）计算即可.22．【正确答案】解：（1）∵a−b=2，ab=1，

∴a−b2=a2−2ab+b2=4，

∴a2+b2=a−b2+2ab=4+2=6.

【分析】（1）根据a−b=2（2）设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，根据题意得出a+b=623．【正确答案】（1）x−32；5x+12；2x+32；

（2）b2=4ac；

（3）∵多项式k+1x2−解：（1）x2−6x+9=故x−32；5x（2）∵观察上述三个多项式的系数，有−62=4×1×9，102∴若多项式ax2+bx+ca>0,c故b2【分析】(1)本题考察完全平方公式的逆用（因式分解），解题时观察每个多项式的结构，判断是否符合完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的形式。对于x2−6x+9(2)本题考察对完全平方式系数规律的总结，解题时观察(1)中三个完全平方式的系数关系：第一个多项式中b=−6，a=1，c=9，满足(−6)2=4×1×9；第二个多项式中b=10，a=25，c=1，满足102=4×25×1(3)本题考察完全平方式系数关系的应用和一元二次方程的解法，解题时首先明确多项式(k+1)x2−(2k+6)x+(k+6)是完全平方式，结合(2)中得出的b24．【正确答案】（1）解：a===