2025-2026学年北京市昌平区下学期八年级期中数学试卷（含答案）

/北京市昌平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．点P（－3，5）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列图象中，表示是的函数的是（

）A． B．C． D．4．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为A．4 B．5 C．6 D．75．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（

）A． B．C． D．6．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为（

）A． B． C． D．7．菱形的对角线，，则菱形的面积等于（

）A．12 B．24 C．25 D．488．正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．在函数中，自变量x的取值范围是______．10．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是___________．11．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点A的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．12．如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___．13．若点，在一次函数图象上，则______（填，或）．14．如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于______．15．如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________．16．长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为__________．三、解答题17．如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点．（1）求点，的坐标；（2）画出该函数的图象；（3）若点，连接，，求的面积．19．下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝______．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形______（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形______（填推理的依据）．20．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．（1）求点A的坐标及直线的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足，直接写出点P的坐标．21．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点B，C的坐标分别为（-2,0），（-4,1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）点A的坐标是；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，点A1坐标是________；（3）求出CC1的长．22．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）工厂离目的地的路程是千米；（2）求关于的函数表达式；（3）请问货车何时会显示加油提醒？23．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求该一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．24．数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．以下，是对此定理的探究及证明过程：已知，如图，在中，分别是的中点．求证：且．（1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线：甲：延长至点，使，连接．乙：延长到点，使，连接．丙：作，延长，使，延长，使．丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点．则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________；A．甲、乙、丁

B．乙、丙

C．乙、丁

D．全正确（2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整；（3）【定理应用】如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点A和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示）．25．某学校要购买一种笔记本，供学生研学时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元．在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过的部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为（为非负数）．（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为元，分别写出，关于的函数关系式；（2）当时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．26．描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数图象的变化规律的过程：…………请根据学习函数的经验，利用上述表格所反映的与之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．（1）表中是与的对应值，则；（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象；（3）若关于的不等式的解集是，则的值为．27．如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．（1）在图1中补全图形；（2）求的度数，写出求解过程．（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，对于点P与图形给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形的“近点距离”为零．如图1，点．（1）点与线段的“近点距离”是___________；点与线段的“近点距离”是___________；（2）点P在直线上，如果点P与线段的“近点距离”为，那么点P的坐标是___________（3）如图2，将线段向右平移3个单位，得到线段，连接，若直线上存在点G，使得点G与四边形的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围．

答案1．【正确答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；故选C．2．【正确答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】点P（-3，5）所在的象限是第二象限．故选B．3．【正确答案】D【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义，在的取值范围内，在轴过任意找一点作轴的垂线，如果有两个交点，说明不是的函数，逐一判断即可．理解函数的定义是解题的关键．【详解】解：A.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；B.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；C.存在点，过此点作轴的垂线，有两个交点，不符合函数的定义，故不是的函数，故不符合题意；D.在的取值范围内，在轴过任意找一点作轴的垂线，都只有一个交点，符合函数的定义，故是的函数，故符合题意；故选D．4．【正确答案】C【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.5．【正确答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A选项错误；一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B选项错误；根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意；根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意；故选C．6．【正确答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键．根据图象即可确定不等式的解集．【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象可知的解集为，故B．7．【正确答案】B【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”直接计算即可．【详解】解：∵菱形的对角线，，∴菱形的面积等于故选B8．【正确答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点．分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答．【详解】解：如图：①点在边上时，即，；②点在边上时，点到的距离为，即，③点在边上时，点到的距离不变为，，④点在边上时，点到的距离为，，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B．9．【正确答案】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可．【详解】解：由题意得：，解得：．10．【正确答案】【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是．11．【正确答案】【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示：∴点C的坐标为.12．【正确答案】【分析】一次函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．【详解】解：∵函数和的图象交于点，∴方程组的解是．13．【正确答案】【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可．【详解】解：∵点，在正比例函数图象上，∴将点，代入得：，∴.14．【正确答案】2【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴.15．【正确答案】10【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解．【详解】解：连接交于M，连接，如图，∵正方形∴点B与点D关于对称，∴，∴，根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于，∵正方形∴，∵∴由勾股定理得：，∴的最小值为10．16．【正确答案】2或5【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可．【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，，，设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E，如图，当直线在的下方时，平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，，平移后的函数关系式为，令，得，解得：，，令，得，，，，（负值舍去），如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N，平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，，平移后的函数关系式为，令，得，解得：，，，令，得，，，，或9（舍去）.17．【正确答案】见详解【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论．【详解】证明：是平行四边形，，，∴,又，∴，即，四边形是平行四边形．18．【正确答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）见详解（3）【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法．（1）分别令求解即可；（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；（3）根据三角形的面积求出即可．【详解】（1）解：令，则，解得，令，则，所以，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：如图：（3）解：如图，∵，点的坐标为，点的坐标为，，．19．【正确答案】（1）见详解（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先利用作法得到EF垂直平分AC，从而得到PA=PC，由于PB=PD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上∠ABC＝90°，即可判断四边形ABCD是矩形．【详解】（1）解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．【正确答案】（1）；（2）或【分析】（1）把点代入一次函数关系式，即可求出n的值，得出点A的坐标；点A坐标代入正比例函数关系式，求出k的值，即可得出正比例函数解析式；（2）根据点P在x轴上或y轴上两种情况进行讨论，分别求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：把点代入得：，解得：，∴点A坐标为：（-1，2）；把A（-1，2）代入得：，解得：，∴直线的关系式为．（2）当点P在x轴上时，设点P的坐标为：（m，0），∵，∴，解得：或（舍去）；∴点P的坐标为：；当点P在y轴上时，设点P的坐标为：（0，a），∵，∴，解得：或（舍去），∴点P的坐标为：；综上分析可知，点P的坐标为：或．21．【正确答案】（1）（2），图形见详解（3）【分析】（1）由直角坐标系直接写出A的坐标即可；（2）分别求出A、B、C关于原点对称的A1、B1、C1的坐标，然后将A1、B1、C1三点连接起来即可得到△A1B1C1；（3）由勾股定理直接即可求出CC1的长．【详解】（1）解：由直角坐标系可知，A坐标为(-2,4)．（2）解：A(-2,4)关于原点对称点的坐标A1(2，-4)，B(-2,0)关于原点对称点的坐标B1(2，0)，C(-4,1)关于原点对称点的坐标C1(4，-1)，则△ABC关于原点对称的△A1B1C1如图所示：（3）解：如上图中，C(-4,1)，C1(4，-1)，∴由勾股定理可知：．22．【正确答案】（1）880（2）关于的函数表达式：（3）货车行驶小时后会显示加油提醒【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答；（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；（2）用待定系数法求出函数解析式即可；（3）当油箱中剩余油量为10升时，求出值即可．【详解】（1）解：由图象，得时，，∴工厂离目的地的路程为880千米，答：工厂离目的地的路程为880千米；（2）设，将和代入得，解得：，∴关于的函数表达式：当时，，答：关于的函数表达式：；（3）当油箱中剩余油量为10升时，千米，解得：(小时)，答：货车行驶小时后会显示加油提醒．23．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键．（1）根据平移相同，得到的值后，代入点求解即可；（2）把代入求出相交时的交点坐标后，代入得到的最大值，结合的性质即可得出结果．【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴，则，∵一次函数过点，∴把，代入可得：，解得：，∴一次函数解析式为：；（2）解：把代入，得：，把，代入可得：，解得：，∵当时，函数的值大于一次函数的值，∴．24．【正确答案】（1）D（2）见详解（3）【分析】（1）观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理；（2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得；（3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得（米），就可得（米）．【详解】（1）解：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理.（2）如图，∵，，∴四边形是平行四边形．∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形．∴，，∴，，；（3）连接并延长，交延长线于P，如图：∵，∴，，∵，∴（），∴，，∴为的中点，∵为的中点，∴是的中位线，∴（米），∵米，∴（米），∴（米）．25．【正确答案】（1），（2）当时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）根据总价等于单价乘以数量求解函数关系式即可；（2）当时，令记，再求出时，所对应的的取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意，得当时，；当时，．∴；（2）解：当时，令记．当时，即，得．∴当时，在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同∵，∴随的增大而增大．∴当时，有，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当时，有，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．26．【正确答案】（1）（2）见详解（3）【分析】本题考查了函数的图象及性质，求一元一次的解析式，根据交点确定不等式的解集，利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，数形结合是解题的关键．（1）当时，求的值即可；（2）描点画出函数图象即可