初中数学七年级下册《整式的乘法》单元整体教案

初中数学七年级下册《整式的乘法》单元整体教案

一、单元整体教学设计理念

（一）指导思想与理论依据

本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深度融合建构主义学习理论、最近发展区理论及深度学习理念。强调数学知识的结构化与整体性，关注学生数学核心素养——特别是运算能力、抽象能力、推理能力的协同发展。设计遵循“从具体到抽象，从特殊到一般”的认知规律，注重数学与现实世界、跨学科领域的有机联系，致力于培养学生在真实情境中运用数学思维分析与解决问题的能力。

（二）单元内容定位与知识结构分析

“整式的乘法”隶属“数与代数”领域，是整式运算的核心枢纽。在青岛版教材体系中，本单元承前启后：向前紧密衔接“整式的加减”与“幂的运算”，是对有理数运算律在代数式层面的自然推广与系统化；向后为“乘法公式”、“因式分解”以及后续分式、方程、函数的学习奠定坚实的代数运算基础。单元内部知识呈现递进式结构：单项式乘单项式→单项式乘多项式→多项式乘多项式，三者之间层层递进，本质都是乘法分配律与同底数幂运算法则的综合应用，体现了数学知识的一致性与连贯性。

（三）核心素养培育指向

1.运算能力：通过系统训练，使学生熟练掌握整式乘法的运算法则与操作程序，能够根据算式特点选择合理、简洁的运算路径，形成准确、灵活、高效的代数运算技能。

2.抽象能力：经历从数字运算到字母运算的抽象过程，体会用字母表示数的普遍性，理解运算律在代数领域的普适性，发展符号意识与抽象思维。

3.推理能力：在探索和验证运算法则的过程中，引导学生运用归纳、类比、演绎等多种推理方式，理解法则的逻辑必然性，形成严谨的数学思维习惯。

4.应用意识：设计源于实际生活、物理、几何等领域的真实问题情境，让学生感悟整式乘法是刻画现实数量关系、进行数学建模的重要工具。

二、学情深度分析

（一）已有知识与经验

1.知识基础：学生已熟练掌握有理数的四则运算、运算律（交换律、结合律、分配律）；已系统学习过“整式的有关概念”与“整式的加减”运算，能够识别单项式、多项式，理解系数、次数等概念；已完成“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”、“积的乘方”等幂的运算性质的学习。

2.认知经验：七年级学生正处于从具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期，具备一定的抽象思维和符号处理能力，但将运算律从数的范围迁移到式的范围，仍可能存在思维惯性障碍。他们在整式加减中初步体验了“合并同类项”这一代数操作，为乘法中的系数、字母处理积累了经验。

（二）潜在学习困难与障碍预判

1.认知障碍：

1.2.符号抽象：部分学生可能仍对“字母表示数”的普遍性理解不深，在运算中容易混淆字母的系数与指数。

2.3.法则混淆：单项式乘法中，容易出现“系数相加”、“同底数幂指数相乘”等错误，实则是混淆了幂的运算与合并同类项。

3.4.负号处理：涉及负系数、负幂时的运算，符号处理是易错点。

5.过程障碍：

1.6.多项式乘法步骤繁琐：多项式乘多项式步骤多、项数多，学生易出现漏乘、符号错误、合并同类项不彻底等问题。

2.7.几何解释与代数表达的转换：对乘法分配律的几何面积模型理解不深，难以建立数形结合的有效联系。

8.心理与习惯障碍：面对多步骤运算可能产生畏难情绪，书写不规范导致过程混乱，缺乏检验算理和结果的意识与习惯。

（三）差异化教学支持策略

针对以上分析，本单元将采取分层任务设计、结构化板书与过程可视化、小组协作与同伴互教、错例分析与自主订正等策略。为学有余力者设计拓展性、探究性任务；为暂时困难者提供“运算步骤检查清单”、具体实例的脚手架支持，并加强个别辅导。

三、单元教学目标

（一）单元总体目标

1.探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则，能准确、熟练地进行整式的乘法运算。

2.理解整式乘法的算理，明确其与有理数运算律、幂的运算性质之间的内在联系，体会“数式通性”的数学思想。

3.能够运用整式乘法解决简单的实际问题，并能借助几何图形对运算法则做出直观解释，发展数形结合思想。

4.在探索法则和应用法则的过程中，发展归纳、类比、推理等思维能力，养成有条理、重依据的思维品质和规范、严谨的书写习惯。

（二）课时分目标与重难点

课时

课题

核心目标

教学重点

教学难点

第1课时

单项式的乘法

1.探索归纳单项式乘单项式的法则。

2.能熟练运用法则进行计算，理解其算理。

3.体会从特殊到一般、类比迁移的思想方法。

单项式乘单项式的运算法则及其应用。

理解法则的推导过程，特别是系数、同底数幂分别相乘的算理；正确处理运算中的符号和幂的运算。

第2课时

单项式与多项式的乘法

1.理解单项式乘多项式是乘法分配律的应用。

2.掌握单项式乘多项式的法则，并能熟练计算。

3.初步体会化归思想。

单项式乘多项式的运算法则及其应用。

准确应用乘法分配律，避免漏乘，正确处理乘积项的符号。

第3课时

多项式的乘法（一）

1.探索并理解多项式乘多项式的法则（一项乘一项，再合并）。

2.掌握多项式乘法的基本步骤和书写规范。

3.能计算较简单的多项式乘法。

多项式乘多项式的运算法则和运算步骤。

理解法则的归纳过程；有条理地进行多步骤运算，做到不重不漏。

第4课时

多项式的乘法（二）与综合应用

1.熟练进行较复杂多项式的乘法运算。

2.会进行简单的整式混合运算（含加减乘）。

3.能运用整式乘法解决简单的几何与实际问题。

整式乘法的综合应用和运算顺序。

复杂多项式乘法的准确性与简洁性；建立实际问题与整式运算之间的联系模型。

第5课时

单元整合与拓展提升

1.系统梳理整式乘法的知识体系与思想方法。

2.通过变式练习提升运算的灵活性与准确性。

3.进行简单的规律探究与拓展，感受数学的整体性。

知识体系的建构与思想方法的提炼。

灵活选择运算策略，处理非标准形式的整式乘法；探究性问题的分析与解决。

四、教学实施过程详案（第1-2课时示范）

第1课时：单项式的乘法

（一）创设情境，提出问题（预计用时：8分钟）

1.情境引入：

1.2.展示一幅微观世界图景：某种病毒呈球状，其半径约为2

×

10

3

2\times10^3

2×103纳米。已知球体积公式为V

=

4

3

π

r

3

V=\frac{4}{3}\pir^3

V=34​πr3。请问这种病毒的体积大约是多少立方纳米？（用科学记数法和π表示）

2.3.学生尝试列式：V

=

4

3

π

(

2

×

10

3

)

3

V=\frac{4}{3}\pi(2\times10^3)^3

V=34​π(2×103)3。

3.4.引导：这个式子包含数字、π、幂的运算，形式复杂。在数学中，我们常用字母表示常数，比如用a

a

a表示2

×

10

3

2\times10^3

2×103，那么这个式子可以简化为4

3

π

a

3

\frac{4}{3}\pia^3

34​πa3。如果我们知道另一种病毒的半径是3

a

3a

3a，那么它的体积如何表示？引出(

4

3

π

a

3

)

⋅

(

3

a

)

(\frac{4}{3}\pia^3)\cdot(3a)

(34​πa3)⋅(3a)。

5.问题聚焦：

1.6.板书课题：单项式的乘法。

2.7.核心问题：如何计算两个单项式相乘？例如：3

a

2

b

⋅

4

a

b

3

3a^2b\cdot4ab^3

3a2b⋅4ab3等于什么？其运算的依据是什么？

【设计意图】从具有科学背景的实际问题出发，引出单项式相乘的必要性。将具体数字抽象为字母，既复习了用字母表示数，又自然地将问题导向对一般性法则的探索。核心问题直指本课目标，激发学生的探究欲望。

（二）合作探究，建构新知（预计用时：20分钟）

1.温故知新，搭建“脚手架”：

1.2.快速回顾：（1）什么是单项式？其系数和次数如何确定？（2）我们学过哪些幂的运算性质？（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）（3）有理数乘法的运算律有哪些？（交换律、结合律、分配律）

2.3.教师强调：这些已有的知识和经验，是我们探索新法则的基石。

4.特例入手，归纳猜想：

1.5.活动一：计算下列各式（学生独立计算，教师巡视）：

1.2.6.3

×

5

=

‾

3\times5=\underline{\hspace{2cm}}

3×5=​（这是数的乘法）

2.3.7.3

a

×

5

a

=

‾

3a\times5a=\underline{\hspace{2cm}}

3a×5a=​（引导学生思考：可以将a

a

a看成一个“单位”，运用乘法交换律和结合律，(

3

×

5

)

×

(

a

×

a

)

=

15

a

2

(3\times5)\times(a\timesa)=15a^2

(3×5)×(a×a)=15a2）

3.4.8.3

a

2

×

5

a

3

=

‾

3a^2\times5a^3=\underline{\hspace{2cm}}

3a2×5a3=​（类比上题，(

3

×

5

)

×

(

a

2

×

a

3

)

=

15

a

5

(3\times5)\times(a^2\timesa^3)=15a^5

(3×5)×(a2×a3)=15a5，这里用到了同底数幂相乘的法则）

5.9.小组讨论：观察以上计算过程和结果，你能发现单项式乘单项式的运算规律吗？与同伴交流你的发现。

6.10.小组代表发言，教师引导归纳初步猜想：可能是把系数和相同字母分别相乘。

11.深化探究，验证法则：

1.12.活动二：挑战更复杂的例子（小组合作）：

计算：(

2

x

2

y

)

⋅

(

−

3

x

y

2

z

)

(2x^2y)\cdot(-3xy^2z)

(2x2y)⋅(−3xy2z)

2.13.教师提供思考路径指引：

1.3.14.这个算式是哪些单项式在相乘？

2.4.15.利用乘法交换律和结合律，可以怎样重新分组？（将系数与系数、相同字母与相同字母分别结合）

3.5.16.对于系数：2

×

(

−

3

)

=

?

2\times(-3)=?

2×(−3)=?

4.6.17.对于字母x

x

x：x

2

⋅

x

=

?

x^2\cdotx=?

x2⋅x=?（依据？）

5.7.18.对于字母y

y

y：y

⋅

y

2

=

?

y\cdoty^2=?

y⋅y2=?

6.8.19.字母z

z

z在第二个因式中，第一个因式中没有，怎么处理？

9.20.学生板演并讲解过程。教师追问：只在一个单项式中出现的字母z

z

z，在积中如何处理？为什么？

21.形成法则，规范表述：

1.22.师生共同完善，得出单项式乘单项式的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2.23.教师用彩色粉笔对法则中的关键词进行圈画强调：“系数相乘”、“同底数幂相乘”、“只在一个单项式中含有的字母”。

3.24.引导学生用文字语言和符号语言（如：(

m

a

x

b

y

)

⋅

(

n

a

p

c

q

)

=

(

m

n

)

a

x

+

p

b

y

c

q

(ma^xb^y)\cdot(na^pc^q)=(mn)a^{x+p}b^{y}c^{q}

(maxby)⋅(napcq)=(mn)ax+pbycq，假设b

,

c

b,c

b,c不同）两种方式理解法则。

【设计意图】遵循“具体—抽象—再具体”的认知路径。从最简单的数字、单项式相乘特例中，引导学生通过观察、类比发现规律，形成猜想。再通过更复杂的例子检验和修正猜想，将隐含的运算律和幂的运算法则显性化，使学生不仅“知其然”更“知其所以然”。规范的法则表述和关键词强调，有助于学生准确记忆和应用。

（三）典例精析，规范操作（预计用时：10分钟）

1.示例1：基础应用计算：(1)(

−

5

a

2

b

)

⋅

(

−

3

a

)

(-5a^2b)\cdot(-3a)

(−5a2b)⋅(−3a)(2)(

2

x

)

3

⋅

(

−

5

x

y

2

)

(2x)^3\cdot(-5xy^2)

(2x)3⋅(−5xy2)

1.2.教师板书示范（1），边写边口述算理和步骤：

解：(

−

5

a

2

b

)

⋅

(

−

3

a

)

(-5a^2b)\cdot(-3a)

(−5a2b)⋅(−3a)

=

[

(

−

5

)

×

(

−

3

)

]

⋅

(

a

2

⋅

a

)

⋅

b

（系数、同底数幂分别结合）

=[(-5)\times(-3)]\cdot(a^2\cdota)\cdotb\quad\{（系数、同底数幂分别结合）}

=[(−5)×(−3)]⋅(a2⋅a)⋅b（系数、同底数幂分别结合）=

15

⋅

a

2

+

1

⋅

b

（系数相乘，同底数幂相乘）

=15\cdota^{2+1}\cdotb\quad\{（系数相乘，同底数幂相乘）}

=15⋅a2+1⋅b（系数相乘，同底数幂相乘）=

15

a

3

b

=15a^3b

=15a3b强调：①先确定积的符号；②书写时通常将系数写在最前面，字母按字母表顺序排列；③步骤清晰，体现算理。

2.3.学生尝试（2），一名学生板演。教师关注：(

2

x

)

3

(2x)^3

(2x)3是否先进行幂的运算（积的乘方）化为8

x

3

8x^3

8x3？强调运算顺序：先乘方，再乘法。

4.示例2：综合运用计算：(

−

2

3

x

2

y

)

2

⋅

(

−

3

4

x

y

2

)

(-\frac{2}{3}x^2y)^2\cdot(-\frac{3}{4}xy^2)

(−32​x2y)2⋅(−43​xy2)

1.5.学生独立尝试，同桌互查。

2.6.教师巡视，收集典型错误（如：符号错误、幂的乘方运算错误、系数计算错误等）。

3.7.投影展示学生正确解答和典型错误，进行对比分析，引导学生自我诊断和纠正。

4.8.提炼运算程序口诀：“一看二算三排序”：一看结构（是否有乘方运算）；二算系数和幂；三排序（按字母顺序排列，常数在前）。

【设计意图】通过教师规范板演，为学生提供可模仿的范例，强调运算的逻辑性和书写的规范性。示例2增加了幂的乘方运算，意在考察学生综合运用知识的能力。“一看二算三排序”的口诀将操作程序化，降低学生记忆和应用负担。错例分析是深化理解、防范错误的有效手段。

（四）分层练习，巩固内化（预计用时：5分钟）

1.A组（基础达标）：计算下列各题。

1.2.6

x

2

⋅

3

x

y

6x^2\cdot3xy

6x2⋅3xy2.(

−

2

a

3

)

⋅

(

−

5

a

)

(-2a^3)\cdot(-5a)

(−2a3)⋅(−5a)3.4

y

⋅

(

−

2

x

y

2

)

4y\cdot(-2xy^2)

4y⋅(−2xy2)

3.B组（能力提升）：

1.4.(

−

3

x

2

y

)

2

⋅

(

−

2

x

y

2

)

(-3x^2y)^2\cdot(-2xy^2)

(−3x2y)2⋅(−2xy2)2.计算：2

x

⋅

(

−

3

x

y

)

2

2x\cdot(-3xy)^2

2x⋅(−3xy)2

5.C组（拓展思考）：若(

−

2

x

m

y

n

)

⋅

(

3

x

2

y

5

)

=

−

6

x

4

y

8

(-2x^my^n)\cdot(3x^2y^5)=-6x^4y^8

(−2xmyn)⋅(3x2y5)=−6x4y8，求m

+

n

m+n

m+n的值。

6.学生根据自身情况选做，教师巡视，重点指导A组有困难的学生。B、C组完成后可小组内交流。

（五）课堂小结，反思提升（预计用时：2分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识：本节课我们学习了什么运算法则？它的具体内容是什么？

2.方法：我们是怎样得到这个法则的？（特例观察—猜想—验证—归纳）计算单项式乘法的一般步骤是什么？

3.思想：在探索和运用法则的过程中，用到了哪些重要的数学思想？（类比思想、转化思想、从特殊到一般的思想）

4.困惑与收获：你还有哪些疑问？最大的收获是什么？

（六）布置作业，延伸学习

1.必做题：课本Pxx页练习第1、2、3题。

2.选做题：（1）设计一道易错的单项式乘法题，并写出解析。（2）查阅资料，了解单项式乘法在物理公式推导（如动能公式E

k

=

1

2

m

v

2

E_k=\frac{1}{2}mv^2

Ek​=21​mv2的推导中，力与位移的做功计算会涉及）或几何面积计算中的一个应用实例。

3.预习任务：思考：如何计算3

a

⋅

(

2

a

+

5

b

)

3a\cdot(2a+5b)

3a⋅(2a+5b)？这与我们学过的什么运算律有关？

第2课时：单项式与多项式的乘法

（一）情境回顾，类比导入（预计用时：5分钟）

1.复习提问：

1.2.口答：单项式乘单项式的法则是什么？计算：3

x

⋅

2

x

2

=

?

3x\cdot2x^2=?

3x⋅2x2=?(

−

2

a

)

⋅

4

a

b

=

?

(-2a)\cdot4ab=?

(−2a)⋅4ab=?

2.3.回顾：乘法分配律用字母如何表示？a

(

b

+

c

)

=

?

a(b+c)=?

a(b+c)=?

4.情境导入：

1.5.几何模型：如图，一块长方形场地，长为a

a

a米，宽为(

p

+

q

)

(p+q)

(p+q)米。求这块场地的面积。

1.2.6.方法一：整体看，面积=长×宽=a

(

p

+

q

)

a(p+q)

a(p+q)。

2.3.7.方法二：如图将场地分成两个小长方形，面积分别为a

p

ap

ap和a

q

aq

aq，总面积=a

p

+

a

q

ap+aq

ap+aq。

3.4.8.结论：a

(

p

+

q

)

=

a

p

+

a

q

a(p+q)=ap+aq

a(p+q)=ap+aq。（这正是乘法分配律的几何解释）

5.9.问题转化：如果将具体数字a

,

p

,

q

a,p,q

a,p,q换成单项式和多项式，比如计算3

x

⋅

(

2

x

2

+

5

y

)

3x\cdot(2x^2+5y)

3x⋅(2x2+5y)，我们该如何计算？它是否也满足类似的规律？

【设计意图】从乘法分配律这一学生熟悉的运算律及其直观的几何模型入手，为新知学习搭建稳固的认知桥梁。将数的分配律自然类比到式的运算，提出核心问题，明确本课学习方向。

（二）探究新知，理解算理（预计用时：15分钟）

1.特例探究，发现规律：

1.2.活动一：算一算，比一比

计算：3

x

⋅

(

2

x

2

+

5

y

)

3x\cdot(2x^2+5y)

3x⋅(2x2+5y)

教师引导：能否利用乘法分配律，将单项式3

x

3x

3x分别与多项式2

x

2

+

5

y

2x^2+5y

2x2+5y中的每一项相乘？

学生尝试：3

x

⋅

(

2

x

2

+

5

y

)

=

3

x

⋅

2

x

2

+

3

x

⋅

5

y

=

6

x

3

+

15

x

y

3x\cdot(2x^2+5y)=3x\cdot2x^2+3x\cdot5y=6x^3+15xy

3x⋅(2x2+5y)=3x⋅2x2+3x⋅5y=6x3+15xy。

2.3.活动二：再尝试，验证规律

计算：（1）(

−

2

a

)

⋅

(

a

2

−

3

b

)

(-2a)\cdot(a^2-3b)

(−2a)⋅(a2−3b)（2）1

2

x

y

⋅

(

4

x

2

y

−

2

x

y

+

y

2

)

\frac{1}{2}xy\cdot(4x^2y-2xy+y^2)

21​xy⋅(4x2y−2xy+y2)

学生独立或小组完成。教师重点关注：符号处理、单项式与多项式每一项相乘时的运算（即转化为单项式乘单项式）。

4.归纳法则，深化理解：

1.5.小组讨论：通过以上计算，你能总结出单项式与多项式相乘的法则吗？

2.6.学生归纳，教师板书完善法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

用字母表示为：m

(

a

+

b

+

c

)

=

m

a

+

m

b

+

m

c

m(a+b+c)=ma+mb+mc

m(a+b+c)=ma+mb+mc

3.7.深度追问：

1.4.8.法则的本质是什么？（乘法分配律在代数式中的运用）

2.5.9.运算的关键步骤是哪两步？（①“乘”——单项式乘以多项式的每一项；②“加”——把积相加）

3.6.10.在“乘”这一步，实际上进行的是什么运算？（单项式乘单项式）

【设计意图】让学生通过具体算例的亲身体验，主动建构法则。从特殊到一般，从具体计算到抽象概括，使学生对法则的理解建立在牢固的算理基础之上。深度追问旨在揭示法则背后的数学本质（分配律）和操作核心（转化化为已学的单项式乘法），促进知识的结构化。

（三）范例导学，掌握步骤（预计用时：12分钟）

1.示例1：基础运算，规范流程

计算：(

−

4

x

2

)

⋅

(

3

x

−

1

2

)

(-4x^2)\cdot(3x-\frac{1}{2})

(−4x2)⋅(3x−21​)

1.2.教师板演，强调规范：

解：(

−

4

x

2

)

⋅

(

3

x

−

1

2

)

(-4x^2)\cdot(3x-\frac{1}{2})

(−4x2)⋅(3x−21​)

=

(

−

4

x

2

)

⋅

3

x

+

(

−

4

x

2

)

⋅

(

−

1

2

)

（运用法则，注意第二项符号）

=(-4x^2)\cdot3x+(-4x^2)\cdot(-\frac{1}{2})\quad\{（运用法则，注意第二项符号）}

=(−4x2)⋅3x+(−4x2)⋅(−21​)（运用法则，注意第二项符号）=

−

12

x

3

+

2

x

2

（单项式乘单项式）

=-12x^3+2x^2\quad\{（单项式乘单项式）}

=−12x3+2x2（单项式乘单项式）1.2.3.强调点：①多项式要用括号括起来；②单项式乘以多项式每一项时，要连同符号一起乘；③结果通常按某个字母的降幂排列。

3.4.书写格式建议：将多项式写在前面，或者用箭头标注分配过程，确保清晰。

5.示例2：综合应用，防范错误

计算：2

a

2

⋅

(

3

a

b

2

−

5

b

)

−

a

b

⋅

(

2

a

2

−

10

a

b

)

2a^2\cdot(3ab^2-5b)-ab\cdot(2a^2-10ab)

2a2⋅(3ab2−5b)−ab⋅(2a2−10ab)

1.6.学生尝试，教师巡视。

2.7.暴露典型问题：①去括号时符号错误；②单项式乘多项式时漏乘某项；③合并同类项错误。

3.8.展示学生解答，重点分析：本题含有减号，实质是两个积的差，运算顺序是什么？（先算两个乘法，再相减）第一步运算后是否需要加括号？为什么？

4.9.师生共同总结运算要点：先确定运算顺序；单项式乘多项式时，多项式看作一个整体；注意运算过程中的符号；最后结果要化简（合并同类项）。

【设计意图】示例1重在展示规范的操作流程和书写格式。示例2提升复杂度，引入混合运算，旨在培养学生综合运用法则、遵循运算顺序、细致处理符号和化简的能力。通过暴露和剖析典型错误，增强学生的防错意识和自我监控能力。

（四）变式训练，巩固拓展（预计用时：10分钟）

1.基本技能训练（全班独立完成）：

（1）3

x

(

2

x

−

5

)

3x(2x-5)

3x(2x−5)（2）(

−

2

a

2

)

(

3

a

−

4

b

+

1

)

(-2a^2)(3a-4b+1)

(−2a2)(3a−4b+1)（3）2

3

x

2

y

(

6

x

y

−

9

y

2

)

\frac{2}{3}x^2y(6xy-9y^2)

32​x2y(6xy−9y2)

2.辨析纠错（小组讨论）：

判断下列计算是否正确，若不正确，请改正。

（1）3

a

(

a

−

2

b

)

=

3

a

2

−

2

b

3a(a-2b)=3a^2-2b

3a(a−2b)=3a2−2b（漏乘）

（2）−

x

(

2

x

−

3

)

=

−

2

x

2

−

3

x

-x(2x-3)=-2x^2-3x

−x(2x−3)=−2x2−3x（符号错误）

（3）(

4

y

−

1

)

⋅

(

−

3

y

)

=

−

12

y

2

+

3

y

(4y-1)\cdot(-3y)=-12y^2+3y

(4y−1)⋅(−3y)=−12y2+3y（正确，但可让学生说明算理）

3.简单应用：

一块梯形草坪，上底为2

a

2a

2a米，下底为3

a

3a

3a米，高为h

h

h米。如果每平方米种植费用为5

b

5b

5b元，求种植这块草坪的总费用。

1.4.引导建模：总费用=单价×面积=5

b

×

1

2

(

2

a

+

3

a

)

h

=

5

2

a

b

h

(

2

+

3

)

=

25

2

a

b

h

5b\times\frac{1}{2}(2a+3a)h=\frac{5}{2}abh(2+3)=\frac{25}{2}abh

5b×21​(2a+3a)h=25​abh(2+3)=225​abh（或先算面积再乘单价）。

【设计意图】训练题组设计遵循梯度。基本训练巩固法则；辨析纠错直击常见错误根源，深化理解；简单应用题旨在引导学生将所学知识用于解决实际问题，体会数学的应用价值，并复习几何公式。

（五）课堂小结与作业（预计用时：3分钟）

1.小结：引导学生以思维导图形式小结本课：中心是“单项式乘多项式”，引出三条分支：法则内容、运算依据（分配律）、一般步骤（①转化分配、②单项式相乘、③合并同类项）。

2.作业：

1.3.必做：课本Pxx页练习1、2、4题。

2.4.选做：1.计算：x

n

(

x

n

+

1

−

x

+

x

n

−

1

)

x^{n}(x^{n+1}-x+x^{n-1})

xn(xn+1−x+xn−1)。2.设计一个用单项式乘多项式解决的实际问题。

3.5.预习：思考如何计算(

a

+

b

)

(

m

+

n

)

(a+b)(m+n)

(a+b)(m+n)，并与同伴交流你的想法。

五、单元评价设计

（一）过程性评价

1.课堂观察：记录学生在探究活动中的参与度、发言质量、合作意识；观察其运算过程中的逻辑性、规范性和专注度。

2.练习与作业分析：通过课堂练习、课后作业的完成情况，分析学生对法则的理解程度、运算的熟练度以及错误类型，进行针对性反馈和辅导。

3.学习档案袋：收录学生的典型例题解答、错题反思报告、自主编制的题目、单元知识梳理图等，全面反映学习过程与成长轨迹。

（二）阶段性评价（单元检测样例节选）

一、选择题（考查对法则的理解与简单应用）

1.计算(

−

3

x

2

)

⋅

2

x

3

(-3x^2)\cdot2x^3

(−3x2)⋅2x3的结果是（）

A.−

6

x

5

-6x^5

−6x5B.−

6

x

6

-6x^6

−6x6C.6

x

5

6x^5

6x5D.6

x

6

6x^6

6x6

2.下列计算正确的是（）

A.2

a

⋅

3

a

=

6

a

2a\cdot3a=6a

2a⋅3a=6aB.(

−

2

x

)

3

=

−

6

x

3

(-2x)^3=-6x^3

(−2x)3=−6x3

C.3

x

2

(

2

x

−

1

)

=

6

x

3

−

3

x

2

3x^2(2x-1)=6x^3-3x^2

3x2(2x−1)=6x3−3x2D.(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2

二、填空题

1.计算：2

x

(

x

−

y

)

=

‾

2x(x-y)=\underline{\hspace{2cm}}

2x(x−y)=​。

2.若三角形的底边长为(

2

a

+

1

)

(2a+1)

(2a+1)，高为3

a

3a

3a，则其面积为\underline{\hspace{2cm}}。

3.已知A

=

2

x

+

1

,

B

=

x

−

3

A=2x+1,B=x-3

A=2x+1,B=x−3，则A

⋅

B

A\cdotB

A⋅B的展开式中，x

x

x的系数是\underline{\hspace{2cm}}。

三、解答题

1.计算：

（1）(

−

2

a

b

2

)

2

⋅

(

3

a

2

b

)

(-2ab^2)^2\cdot(3a^2b)

(−2ab2)2⋅(3a2b)（2）3

x

(

2

x

2

−

x

+

4

)