2024-2025学年北京市西城外国语学校七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2024-2025学年北京市西城外国语学校七年级（下）期中数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）8的立方根是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．5122．（2分）下列命题中的真命题是（）A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补3．（2分）若是二元一次方程x﹣my＝1的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B． C．1 D．4．（2分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°5．（2分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，AB⊥BC，∠1＝25°，那么∠2的度数是（）A．65° B．55° C．25° D．75°6．（2分）已知a，b满足方程组，则﹣a+3b的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣87．（2分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A． B． C． D．8．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c和a的值分别为（）A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）6的平方根为．10．（2分）在实数﹣3、0、、3中，最小的实数是．11．（2分）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则AB的长度为；若点A对应的数是﹣4，则点B对应的数是．12．（2分）点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为．13．（2分）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是平方米．14．（2分）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1＝28°，则∠DBC＝．15．（2分）已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3．则∠BOC的度数为．16．（2分）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数为．三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题12分，第20～23题每题6分，共54分）17．（8分）求下列各式的x值．（1）x3＝﹣64；（2）x2﹣8＝0．18．（10分）计算：（1）；（2）．19．（12分）解方程组（1）；（2）．20．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC．（1）画线段CE⊥AB，垂足为E，画直线DF⊥BC，垂足为F；测得点C到AB的距离为cm（精确到mm）；测得点C到DF的距离为cm（精确到mm）．（2）连接CA，不测量比较下列两条线段的大小：CECA（用“＞”或“＜”或“＝”填空）依据是．21．（6分）完成下面的证明．已知：如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E．求证：∠1＝2∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠（），∠2＝∠（）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠．∴∠1＝2∠2．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．（1）点A'的坐标为，点B'的坐标为；（2）①画出三角形A'B'C'；②写出三角形A'B'C'的面积；（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为．23．（6分）如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．四、解答题（本题共2个小题，第24小题6分，第25小题8分，共14分）24．（6分）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车（两种都需购买），其中每台的价格，年载客量如表：A型B型价格（万元/台）ab年载客量（万人/年）60100若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求a，b的值；（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由．25．（8分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a，b的值；（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．五、选做题（本题共10分，第26题4分，第27题6分，计入总分但总分不超过26．（4分）如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），点B（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的较大值为点A，B的“绝对距离”，记为d（A，B）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（A，B）＝|x1﹣x2|．将平面内的一些点分为Ⅰ，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第Ⅰ类中任意两点的绝对距离的最大值为d1，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为d2，称d1与d2的较大值为分类系数．如图，点A，B，C，D，E的横、纵坐标都是整数．（1）若将点A，C分为第Ⅰ类，点B，D，E分为第Ⅱ类，则d1＝，d2＝（因此，这种分类方式的分类系数为（2）将点A，B，C，D，E分为两类，分类系数d的最小值为；（3）点F的坐标为（m，2），已知将6个点A，B，C，D，E，F分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出m的取值范围：．

2024-2025学年北京市西城外国语学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案AACCAADB一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）8的立方根是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．512【分析】根据立方根的概念即可求出答案．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2，故选：A．【点评】本题考查立方根的概念，属于基础题型．2．（2分）下列命题中的真命题是（）A．邻补角互补 B．两点之间，直线最短 C．同位角相等 D．同旁内角互补【分析】根据邻补角的定义、两点之间，线段最短、同位角、同旁内角的定义判断即可．【解答】解：A、邻补角互补，是真命题，符合题意；B、两点之间，线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2分）若是二元一次方程x﹣my＝1的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B． C．1 D．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．【解答】解：把代入方程x﹣my＝1得：2﹣m＝1，解得：m＝1，故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC，故此选项错误；B、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC，故此选项错误；C、∠1＝∠2可判断AB∥CD，故此选项正确；D、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．5．（2分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，AB⊥BC，∠1＝25°，那么∠2的度数是（）A．65° B．55° C．25° D．75°【分析】根据AB⊥BC，可得∠ABC＝90°，根据a∥b，进而可得∠3＝90°﹣∠1＝65°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∵∠1＝25°，∴∠3＝90°﹣∠1＝65°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝65°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质、垂线，解决本题的关键是掌握平行线的性质．6．（2分）已知a，b满足方程组，则﹣a+3b的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【分析】用方程组的第二个方程的左右两边分别减去第一个方程的左右两边，求出﹣a+3b的值即可．【解答】解：，②﹣①，可得：（a+2b）﹣（2a﹣b）＝6﹣2，化简，可得：﹣a+3b＝4．故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意加减法的应用．7．（2分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A． B． C． D．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c和a的值分别为（）A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4【分析】首先根据总分求a+b+c的值，然后分情况讨论a，b，c的可能取值，即可得出结果．【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c），∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m＝21+6+9+4＝40，∴5（a+b+c）＝40，解得a+b+c＝8，∵a＞b＞c，a，b，c均为正整数，∴当c＝1时，b＝2，则a＝5，当c＝1时，b＝3，则a＝4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意，舍去；当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去；当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去，综上所述，a+b+c＝8，a＝5，b＝2，c＝1．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，根据题意列式是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）6的平方根为．【分析】根据平方运算，可得一个数的平方根．【解答】解：∵（）2＝6∴6的平方根为，故答案为：．【点评】本题考查了平方根，平方运算是求平方根的关键．10．（2分）在实数﹣3、0、、3中，最小的实数是﹣3．【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵﹣30＜3，∴最小的数是：﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．11．（2分）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则AB的长度为π；若点A对应的数是﹣4，则点B对应的数是﹣4+π．【分析】AB的长度即圆的周长，根据实数与数轴的关系求点B对应的数即可．【解答】解：圆周长为1×π＝π，∴AB的长度为π，∴点A对应的数是﹣4，则点B对应的数是﹣4+π．故答案为：π；﹣4+π．【点评】本题考查了数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键．12．（2分）点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（﹣2，3）．【分析】让点的横坐标不变，纵坐标加2即可．【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2；纵坐标为1+2＝3；∴点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．13．（2分）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是162平方米．【分析】根据平移的性质可得，草地可看作是长为（20﹣2）米，宽为（10﹣1）米的矩形，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（20﹣2）×（10﹣1）＝18×9＝162（平方米），∴草地面积是162平方米，故答案为：162．【点评】本题考查了生活中平移的现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．14．（2分）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1＝28°，则∠DBC＝118°．【分析】首先过点B作l1的平行线，由l1∥l2可得三条直线平行，根据平行线的性质即可求得∠2的度数．【解答】解：过点B作BF∥l1，∵l1∥l2，∠1＝28°，∴BF∥l1∥l2，∴∠1＝∠FBC＝28°，∵AB⊥l1，∴∠DBF＝90°，∴∠DBC＝28°+90°＝118°．故答案为：118°．【点评】此题考查了平行线的性质，垂线．解题的关键是过点B作l1的平行线．15．（2分）已知：OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3．则∠BOC的度数为30°或150°．【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB：∠AOC＝2：3，∴∠AOB＝60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°+60°＝150°．故答案为：30°或150°．【点评】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．16．（2分）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数为15°，45°，105°，135°，150°．【分析】要分5种情况进行讨论：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC分别画出图形，再分别计算出度数即可．【解答】解：当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的情况如图所示：①当AD∥BC时，α＝15°；②当DE∥AB时，α＝45°；③当DE∥BC时，α＝105°；④当DE∥AC时，α＝135°；⑤当AE∥BC时，α＝150°．故答案为：15°，45°，105°，135°，150°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题12分，第20～23题每题6分，共54分）17．（8分）求下列各式的x值．（1）x3＝﹣64；（2）x2﹣8＝0．【分析】（1）根据立方根的定义即可得出答案；（2）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵（﹣4）3＝﹣64，∴x＝﹣4；（2）移项得，8，两边都乘以2得，x2＝16，根据平方根的定义可得，x＝±4．【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．18．（10分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先根据算术平方根的定义计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）先根据立方根、绝对值、二次根式的性质计算，再合并即可．【解答】解：（1）＝3+3﹣12＝﹣6；（2）＝﹣3．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．19．（12分）解方程组（1）；（2）．【分析】（1）利用加减消元法求解比较简便；（2）化简组中的方程②先求出x，再代入求出y．【解答】解：（1），②﹣①×2，得3x﹣2x＝17﹣14，∴x＝3．把x＝3代入①，得3+2y＝7，∴y＝2．∴原方程组的解为．（2），由②，得3x﹣y+2+y＝17，∴3x＝15，∴x＝5．把x＝5代入①，得15﹣y﹣7＝0，∴y＝8．∴原方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．20．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC．（1）画线段CE⊥AB，垂足为E，画直线DF⊥BC，垂足为F；测得点C到AB的距离为2.3cm（精确到mm）；测得点C到DF的距离为0.6cm（精确到mm）．（2）连接CA，不测量比较下列两条线段的大小：CE＜CA（用“＞”或“＜”或“＝”填空）依据是垂线段最短．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）利用垂线段最短判断即可．【解答】解：（1）如图，线段CE，直线DF即为所求，CE≈2.3cm，CF≈0.6cm，故答案为：2.3，0，6；（2）根据垂线段最短可知，CE＜CA，故答案为：＜，垂线段最短．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（6分）完成下面的证明．已知：如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E．求证：∠1＝2∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠DBC（两直线平行，同位角相等）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC．∴∠1＝2∠2．【分析】先根据平行线的性质，得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠DBC，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠1＝2∠2．【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠DBC（两直线平行，同位角相等）．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC．∴∠1＝2∠2．故答案为：ABC，两直线平行，内错角相等，DBC，两直线平行，同位角相等，DBC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．（1）点A'的坐标为（﹣2，4），点B'的坐标为（﹣5，2）；（2）①画出三角形A'B'C'；②写出三角形A'B'C'的面积；（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为（﹣2，）．【分析】（1）由平移的性质可得△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，即可求解；（2）①根据点的坐标画出图形即可；②由面积的和差关系可求解；（3）由三角形的面积公式可求解．【解答】解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），∴△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，∵三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），∴点A'（﹣2，4），点B'（﹣5，2），点C'（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣2，4），（﹣5，2）；（2）①如图所示：②△A'B'C'的面积＝5×43×24×35×1；（3）∵S△A'B'C'A'D×4，∴A'D，∵点A'（﹣2，4），∴点D（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，考查了平移的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．23．（6分）如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C．【分析】根据已知条件，先判定AF∥ED和AB∥CD，然后利用平行线的性质来求证．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠AHB（对顶角相等），∴∠2＝∠AHB（等量代换）．∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行）．∴∠D＝∠AFC（两直线平行，同位角相等）．又∵∠A＝∠D（已知），∴∠A＝∠AFC（等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．【点评】考查的是平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．四、解答题（本题共2个小题，第24小题6分，第25小题8分，共14分）24．（6分）为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车（两种都需购买），其中每台的价格，年载客量如表：A型B型价格（万元/台）ab年载客量（万人/年）60100若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求a，b的值；（2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由．【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进x辆A型公交车，y辆B型公交车，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各购进方案，再求出各方案的年载客量，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．答：a的值为100，b的值为150；（2）当购进3辆A型公交车，6辆B型公交车时，年载客最多，理由如下：设购进x辆A型公交车，y辆B型公交车，根据题意得：100x+150y＝1200，∴x＝12y，∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案，方案1：购进9辆A型公交车，2辆B型公交车，年载客60×9+100×2＝740（万人）；方案2：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车，年载客60×6+100×4＝760（万人）；方案3：购进3辆A型公交车，6辆B型公交车，年载客60×3+100×6＝780（万人），∵740＜760＜780，∴当购进3辆A型公交车，6辆B型公交车时，年载客最多．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．25．（8分）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a，b的值；（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，请写出在转动过程中∠BAC与∠BCD的数量关系并证明．（3）如图1，若灯B射线先转动40秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，直接写出A灯转动多少秒时两灯的光束互相平行．【分析】（1）根据|a﹣3|0，可得a﹣3＝0，且b﹣1＝0，进而得出a、b的值；（2）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可．【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|0，∴a﹣3＝0，且b﹣1＝0，∴a＝3，b＝1；（2）∠BAC与∠BCD的数量关系是：2∠BAC＝3∠BCD．证明如下：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（40+t）×1，解得t＝20；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（40+t）×1＝180，解得t＝80；③当120＜t＜140时，3t﹣360＝t+40，解得t＝200＞140（不合题意），综上所述，当t＝20秒或80秒时，两灯的光束互相平行．【点