几何画板辅助数学建模教学在平面几何的设计应用

绪论1.1选题背景科技在发展，教育在改革，越来越多新鲜的形式进入课堂，一切只为学生能更好的学习。所有的教育工作者及家长都在为之探索与实践。教育的最终目的是为了这个人的成才、这个家的幸福、这个国的建设。归根到底就是能力的学习。什么能力呢？很多很多的能力。最实际的就是应用能力。那应用什么呢？什么知识对生活贡献最大？那当然是语言和数字了，也就是语文和数学。在这里，我们就来讲讲初中数学教育的几何教学。初中平面几何对空间思维能力弱的同学来说很难学，脑海中构造不出它们的样子。前面说了科技在发展，发明了几何画板这个软件，它能够构造出你脑海中构造不清的图形。解决了一部分学生的学习困难。再说到数学应用的能力，现在大家都很看重这个，那如何培养呢？前面也说了教育在改革，有了一种新的教育模式，建模教学，数学建模教学，它就能较大程度培养数学应用能力。如果能将几何画板与数学建模教学模式相结合，那对初中数学老师在上平面几何课时，将产生较好的教学效果。我们的生活中无处不见几何图形，我们是如此的需要它。初中平面几何在初中数学中占有重要地位，甚至在整个数学体系中都有着重要意义。它是基础，它有难度。抽象的几何、复杂的定理几乎是所有学生在初中数学路上的一个泥泞路段，扯不清、理还乱。而几何画板软件则为抽象的几何教学提供了一个最适合的教学平台。综上，若我们教师能用几何画板辅助平面几何数学建模教学，那就是优上加优了。而怎样通过几何画板的动态效果，把一堂平面几何数学建模课上好，就是本文的研究所在。1.2国内外的研究现状20世纪80年代开始，国内一些大学开始开设“数学模型”课程。1992年，中国数学协会和中国工业应用数学学会举行了首届全国大学生数学建模竞赛，数学建模和数学应用意识开始受到关注[3]。几何画板自被引入中国以来，在初中平面几何方面也有了越来越多的应用。目前在网上也可以浏览到很多关于几何画板制作的资料，但对于初中数学教师来讲，想在课堂上灵活应用它来解决平面几何建模教学难题，还缺少系统的研究。数学建模被作为培养数学能力的重要方法之一，推上了历史舞台，数学建模竞赛逐渐成为推广数学建模的有效手段之一[1]。1999年，美国高中数学建模竞赛开始在初高中逐年开展，由于数学建模对提高学生数学学习兴趣、计算机水平和实践应用能力有很大帮助[2]。1.3研究意义数学建模教学从头到尾贯穿素质教育的本质，有助于提高学生的综合素养[4]。通过在课堂上活跃的“解决问题”和数学实践活动，指导学生实际结合数学知识和生活[5]。解决了贴近生活的现实问题，使学生感到成就感和数学在解决问题中起到的巨大作用，达到了培养学生应用意识的目的[6]。几何画板被称作为21世纪的动态几何，是人教版指定全国初高中使用的教育软件。它操作简单、形象动态。几何画板在初中平面几何的应用是数学教育上的又一创新，使教学模式出现了新的转变，教学理念得到不断革新。另一方面，几何画板不仅实施中学平面几何数学建模教学，还有助于提高学生的实践能力，培养数学兴趣。1.4概念界定1.4.1数学建模的概念界定数学建模通过抽象出某物的主要特征和重要的内部关系，用数学语言（公式、符号或图表）表示的数学过程，是对客观事物的空间形式和数量关系的近似表达。1.4.2数学建模教学的概念界定国内学者于虹认为数学建模教学是指在日常数学课堂中，学生自己“做”数学，即探究知识、用数学的过程[7]。老师将现实生活中确确实实存在的这样一个问题带入课堂，和同学们一起利用所学知识解决这个问题。这样即积累了生活经验又积累了解题经验，这样以后再遇到类似的问题就知道如何解决了。数学建模教学是将课本知识概括化、抽象化、模型化，在教学过程中引导学生团队合作、主动探索知识的过程。先发现问题、分析问题、再建立模型、求解模型、最后模型应用。教师在其中主要扮演引导者的角色。2平面几何画板数学建模教学设计的思想和原则初中平面几何的教学，在几何画板的帮助下采用数学建模模式，是一个从形象平面几何图形到抽象几何理论的过程。2.1几何画板数学建模教学设计思想2.1.1模型思想在教学中，我们要培养学生建立模型的意识，在得到一些已知条件时，用我们所学过的一些知识去表达它们，比如方程、不等式等等，也要学会从已知条件入手得到结果，也就是求解模型，最后要把这一过程进行一个数学概括，以解决这一系列问题，这样的一个解题思路、解题思想就是建模思想。点线面角、图形等抽象的概念、性质、判定都可以建立相应的几何模型来进行教学。例如，平行线模型、全等三角形模型、平移模型等。2.1.2以学生为主体在数学建模教学中，老师从传统课堂的支配者变成设计者、启发者、激励者。以教师为主导、以学生为主体，是同学们探索得到答案，而不是老师给出答案，是理解、是明白它的前因后果，对整个过程没有盲区，而不是死记硬背、生搬硬套、机械做题。当然在这个过程中需要老师的引导，同学们的合作。2.1.3传统教学模式和数学建模教学模式相结合将数学建模教学模式引入课堂，是为了更好地培养学生的应用能力。但是建模往往是一个比较长的过程，而每一堂的时间却是有限的，我们要学习的知识也有很多很多，在这样一种情况下将传统教学模式与数学建模教学模式相结合是最好的选择。在教学过程中，要特别抓住三个联系，为了学生学到得不是一个个孤立的知识点，不是不会用烂在脑子里的知识，而是一张知识网，能随时拿出来用，做到真正的学有所成。这三个联系分别是：数学知识的内部联系、数学知识与实际生活的联系、数学与其他学科的联系。2.2几何画板数学建模教学设计原则数学建模教学时，要满足课堂任务的需要、课堂目标实现的需要，还需要满足学生的学习特点。所以下面就来谈谈在数学建模教学过程中，要遵循的几个原则。2.2.1目的性原则几何画板数学建模教学像其他教学一样，要有明确的目标，一是本节课要学习的知识点要明确，不能似是而非。二是要帮助学生建立数学模型。三是几何画板的操作要使学生能够顺利求解模型。四是保证好学生对知识的巩固、模型的理解，这样再能在后续解题、模型的应用时，举一反三、灵活应用。2.2.2可接受性原则几何画板数学建模教学要符合学生的身心特征、智力水平和接受能力。不符合中学生认知水平的建模活动不仅达不到目的，还会起反作用。2.2.3启发性原则教学时，必须以学生为主体，启发学生思考。在学生思路不通畅的时候或走错的时候，老师要能够以启发式提问的形式来帮助学生打开正确思路，这个提问不能是无效的提问，它可以是连续的几个问题，给同学们一个思考的方向。当学生回答不出你的问题或回答错误时，不要批评学生，反思一下是不是你的问题并不能帮助学生找到思路或者学生还不能完全理解我的意思，我换种说法试试，要对学生有耐心。不能轻易给学生答案，要引导其正确的思考方向。对于错误的思考方向和结论，不能一味否定，要先肯定其积极的一面，其次帮助他纠正，对他进行正确引导。3几何画板辅助数学建模教学在平面几何的设计应用几何画板数学建模教学针对的初中平面几何知识要进行‘模型化’研究，围绕基本几何图形、定理或者图形几何性质规律进行授课[8]。在查看了一些相关文章和人教版的初中数学教材后，将平面几何模型分成三类：点线面角基本类；基本图形类（三角形、四边形、圆）；图形性质类（平移、轴对称）。3.1点线角面基本类模型《几何图形初步》是初中数学教材几何部分的第一章知识，利用几何画板，可以从刚开始学习平面几何就吸引学生的兴趣。书中开篇有一段话教师可以领同学们细细读一下这一段话，告诉同学们完成建模的第一步，那就是发现问题（从现实生活或具体情境中抽象出数学问题）。在传统教学中，平面几何教学是在黑板上老师进行简单绘图，受教师绘画水平、黑板平面、学生想象能力的限制，教学效果很有可能不理想。这个时候几何画板进入了我们的视野，俗话说有需要就有创造。几何画板它是形象的、动态的。例如在说明某些平面图形旋转以获得立体图形时，可以使用几何画板动态显示如图：图一半圆旋转成球在用几何画板进行动态演示的时候，学生注意力将会非常的集中，即让学生有了专注力的加持，又激发了学生学习平面几何的兴趣。点线角面基本类是平面几何的基础。里面的模型比较简单也比较多。学好这个模型有利于图形模型和图形性质模型的学习。3.1.1直线、射线、线段模型在如图模型中，最重要的是能让学生感知到直线、射线、线段这三者的区别与联系。图二直线、射线、线段模型图模型求解：直线可以向两端无限延伸；射线只能向一个方向无限延伸；而线段不可以被延伸3.1.2面（两条相交直线或平行直线可以确定一个平面）模型（1）（两条）相交线（对顶角）模型图三对顶角模型图模型求解：对顶角相等（你能举出图三中另一对对顶角吗？）（2）三条线相交（同位角、内错角、同旁内角）模型本节课的重难点是在如图模型中让学生认识同位角、内错角、同旁内角，并且可以准确、快速地找出它们，这三个角在后面的平行线模型中仍然有涉及，所以在现在就掌握好它们很有必要。图四同位角、内错角、同旁内角模型图（3）平行线模型平行线模型是指在三条线相交模型的基础上，再要求其中任两条直线平行的这样一个模型。平行线模型在平面几何知识中有着广泛应用，它的重要性可见一斑。那么就要帮助同学们掌握透彻这个知识点。图五平行线模型图模型求解：两直线平行，同位角相等;两直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补。如图，在教学时我们先让学生把三种角都找出来，然后改变第三条直线的位置，观察改变前后三种角各有什么变化。学生通过这样的数形结合求解过程，所获得的知识也能记得更牢固，在以后的运用中，也能更加灵活。通过学生自己的思考、分析、归纳，得出数学知识，再将它运用解决平行线性质的题目。从具体到一般（建立模型），再从一般到具体（数学应用）。3.2基本图形类（三角形、四边形、圆）模型3.2.1三角形模型三角形在日常的生活和生产中有着非常广泛的应用，所以三角形这个知识点，不论是现在还是以后都对我们很重要。为了学习好三角形的性质，接下来的这几个模型一定要掌握到位。(1)三角形的内角和模型图六三角形内角和模型图模型求解:三角形内角和是一百八十度。授课时，老师要让学生用多种方法来验证证明三角形的内角和是180度，如图六，几何画板就是其中的一种方法，其次要让学生明白这个定理对所以三角形都成立，这个也可以用几何画板来证明。最后要学会对定理的活学活用。可以已知三角求内角和，也可以已知内角和和两角，求另一角，当然它还可以和其他知识结合在一起出现。(2)三角形的外角模型图七三角形外角模型图模型求解：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。授课时，我们用几何画板的操作来让学生发现这个规律，如图所示，再去验证这个规律是否对所有三角形都成立，那么就要构造任意三角形，它可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。几何画板的存在为我们的验证过程提供了很多方便，在测量角的大小时，我们不再需要量角器，量角器不仅费时间而且有一定误差。我们可以直接使用几何画板的测量工具，又快又好。（3）全等三角形模型图八全等三角形模型图模型求解：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等三角形的基本单位就是三条边、三个角，那么我们想要探究全等三角形的性质，首先我们可以从三角形的基本单位下手，所以我们就用几何画板来量量看互为全等三角形的两个三角形它们的三条边、三个角有什么关系，操作如图八。(4)相似三角形模型相似三角形的重点学习内容是它的性质以及判定定理。图九相似三角形模型图模型求解：相似三角形对应边成比例相似三角形对应角相等。相似三角形与全等三角形名字这么的相似，那它们的性质是否有相似部分呢？让学生带着这样的疑问进入本节课的探究，同样的先测量它们的三条边、三个角，寻找它们之间的关系，操作如图九。学生正是通过建立相似三角形模型，求解相似三角形模型得到相似三角形的性质，从而解决相似三角形的问题，也就是应用相似三角形模型。3.2.2四边形模型平行四边形是中考的高频考点。(1)一般平行四边形模型图十一般平行四边形模型图模型求解：平行四边形对边相等;平行四边形对角线互相平分；平行四边形对角相等。在探究平行四边形的性质时，除了要考虑到边、角，还要探究它对角线的特点，这是在三角形基础上多加的一点，操作如图十。（2）矩形模型矩形是平行四边形中的特殊图形，特殊在它的四个角都是直角。图十一矩形模型图模型求解：矩形的四个角都是直角；矩形对角线相等。因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的性质，那么前一节课掌握的好坏就会直接影响本节课的学习，所以老师在讲解平行四边形的性质时，要注意把控学生的掌握情况，在平行四边形的性质上哪怕多花时间也是值得的。除了平行四边形该有的性质，矩形还有一些其他的性质，同样的在它的基本单位下手，边、角、对角线进行探究，操作如图十一。(3)菱形模型菱形也是特殊的平行四边形，同样的，它具有所以平行四边形的性质。图十二菱形模型图模型求解：菱形的四条边相等；菱形对角线互相垂直；菱形的对角线平分每一组对角。在教学时需要注意的点和矩形是一样的，在这里除了要注意对角线，还要注意由两条对角线产生的四个新角，要注意它们的关系，这是前面没有的一个点，所以需要提醒同学们特别注意，操作图如图十二。(4)正方形模型正方形即是矩形又是菱形。图十三正方形模型图模型求解：正方形的四个角都是直角；正方形对角线相等；正方形四条边相等；正方形对角线互相垂直。教学过程跟矩形、菱形类似，它是矩形和菱形的集合体，它即有矩形的性质又有菱形的性质，我相信明白了这一点，又有前面矩形、菱形的良好基础，正方形一定是没问题的，操作图如图十三。3.2.3圆模型圆是初中平面几何的一大难点，它有非常多相似的定理，形式比较多样，问题比较百变，这就需要同学们在学习时，要吃透知识点，灵活运用。(1)垂径定理模型圆中的定理即多又相似，我们要做好长久作战的准备。垂径定理是这一章的第一个定理，先不用太紧张，轻松点去学习垂径定理，毕竟它是一个新的知识点，没有太多的干扰，并且有一定的新鲜感，要特别注意的一点是它的推论的应用。学会一个知识点，不仅要会正着用，还要会反着、侧着用。反着、侧着用的部分就是推论，也就是俗称的举一反三。图十四垂径定理模型图模型求解：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。在圆中有很多条弦，垂直于直径的弦，它会不会有什么特殊的性质呢？带着这样的疑问我们来探究当弦垂直于直径时会有哪些性质，我们用几何画板来测一测弦长、弧长被分割的情况，毕竟弦长和弧长是圆中的一部分，操作图如图十四所示。(2)圆心角定理模型除了弦长和弧长是圆中新学的概念以外，还有圆心角、圆周角，它们也是圆的特有概念，圆心角、圆周角又涉及了圆心角、圆周角所对的弦以及弧。它们又会有怎样的性质呢？我们要像游戏闯关一样，一步步打开圆的秘密。图十五圆心角模型模型求解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。在同一个圆中，相等的圆心角所对的弦是否会相等呢？或者在两个等圆中，相等的圆心角所对的弦又是否会相等呢?最后，如果是所对的弧呢？情况是否会不同？度量操作如图十五。在本节课的教学过程中，教师要引导学生作上述思考，形成紧密的逻辑思维线。(3)圆周角定理模型前面介绍了圆心角的性质，那同弧所对的圆周角和圆心角之间是否有一定关系呢？等弧的话这个关系还能成立吗？老师在引导同学们的思考思路后，和同学们一起用几何画板进行探究。图十六圆周角定理模型求解同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。相信在学完这个模型后，大家一定会这样联想，在圆中，角所对的除了弧还有弦，举一反三。于是就有这样的猜想，同弦或等弦所对的圆周角和圆心角应该也有关系？那这个关系是否又会和同弧等弧一样呢？操作图如图十六所示。(4)点和圆的位置关系模型如果一个平面上同时存在一点和一个圆，那么这个点和圆的位置关系有几种情况呢？可以分成三种情况点在圆内、点在圆上、点在圆外，我们可以看成是圆不动，圆内一点向圆外移动要经历的三个过程，也可以看成是点不动，圆的半径在逐渐变小的一个过程，那用一个什么样的数据来区分这三种情况呢？在圆中，特别重要的参考数据就是圆点的位置和半径的大小。由此我们猜想三种不同情况下，点到圆心的距离跟半径的大小关系是否不同？图十七点和圆的位置关系模型图模型求解：点在圆内，点到圆心的距离小于半径;点在圆上，点到圆心的距离等于半径;点在圆外，点到圆心的距离大于半径。相信在使用几何画板进行探究之后，点和圆的不同位置关系下，点到圆心的距离与半径的关系大家都明白了，操作图如图十七所示。(5)直线和圆的位置关系模型点和圆的位置关系说完了，现在来说说直线和圆的位置关系，既然在对点和圆的位置关系时，可以有两种看法，那么在探究直线和圆的位置关系时，也可以将它看成直线不动，圆从远处平移过来或者圆不动，直线从远处平移过来。在平移的过程中，逐渐出现了直线和圆的交点，根据交点个数的不同来进行分类，当直线和圆没有交点时，称它们的位置关系为相离；当直线和圆有一个交点的时候，称它们的位置为相切；当直线和圆有两个交点的时候，称它们的位置为相交。那不同的位置关系又有哪些性质呢？图十八直线与圆的位置关系模型图模型求解：直线和圆相交，圆心到直线的距离小于半径;直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径;直线和圆相离，圆心到直线的距离大于半径。”根据前面知识的学习，我们很容易想到在不同位置下，圆心到直线的距离与半径的大小关系，几何画板操作图如图十八所示。（6）切线长定理模型圆周角定理也是圆这一章知识中一个非常重要的定理,对学生解决以后圆的综合题非常重要。在这一模型中，我们又要接触一些新的概念，那就是切线和切线长。从圆外可以引几条切线呢？引出来的切线它们的位置和长度又有什么关系呢？图十九切线长定理模型图模型求解：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆外这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。从圆外一点根据切线定义可引两条切线，通过度量和测量，操作如图，我们知道两条切线是一样长的，将两个切点分别连接圆心和圆外的点，可以得到两个全等三角形。3.3图形性质类（平移、轴对称）模型3.3.1平移模型平移在我们生活中非常常见，如传送带、地铁等等。平移前后物体的形状和大小并没有发生改变，只改变了位置。图二十平移模型图模型求解：平移不改变图形的形状和大小;对应点连线平行且相等。在探究平移的性质时，要注意对平移前后对应点的寻找，将每组对应点相连，探究它们的长度、位置关系，操作如图。3.3.2轴对称模型(1)线段的垂直平分线模型在轴对称模型中，我们要先接触垂直平分线的概念，被垂直平分线平分的两个部分，它们是成轴对称的，轴对称图形它们的对称轴就是对应点连线的垂直平分线。那么垂直平分线的性质又是什么呢？图二十一线段的垂直平分线模型图模型求解：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线，顾名思义它垂直又平分这条线段，那还有别的性质吗？在垂直平分线上任取一点，将它与线段的两个端点相连，再去探究，操作如图，你有发现什么吗？4结论人类在进步、科技在发展、教育当然也不能落后，传统的教育形式不断在革新，教师将数学课堂的实际需要与学生的学习特性相结合，几何画板成为数学教育中一个简单直观的软件。几何画板与数学建模教学的有效结合使教师的教学更加有效、有趣，学生的学习更加积极和到位。本文以初中平面几何为例，将几何画板软件与数学建模教学相结合，确立了几何画板辅助数学建模教学的设计应用分类。在数学建模教学中，教师应更多地关注教学过程和效果，提高学生的思维创新能力和实际解决问题的能力。

参考文献[1]赵冬歌.关于“高中学生数学建模”的评价[D].北京：首都师范大学,2005.[2]刘静.利用几何画板开展初中数学探究性教学的研究[J].理科考试研究,2014.23-24.[3]刘卫锋.高中数学建模中教师问题研究[D].北京：首都师范大学,2005[4]沈海萍.初中数学建模教学浅谈[J].中国校外教育,2015.26.[5]展青岗.谈数学建模在初中数学教学中的重要性[J].华夏教师,2015.45.[6]王凯.谈建模思想在初中数学教学中的应用[J].科学大众(科学教育),2013.48+150.[7]庞敬文.个人学习空间构建的模型及应用研究[D].长春：东北师范大学,2016.[8]黄学文.用几何画板开展高中数学实验教学的实践与研究[D].西安：陕西师范大学,2011.[9]常亮.基于几何画板软件的平面几何数学建模教学设计研究[D].拉萨：西藏大学，2018.[10]李云舟.《几何画板》背景下初中平面几何教学设计的研究与实践[D].武汉：华中师范大学，2017.[11]项奎东.关于中学数学建模的教学研究[D].昆明：云南师范大学,2007.[12]栾卉凡.新课标下初中数学建模教学设计与实践[D].济南:山东师范大学,2011.[13]雍庆.基于数学核心素养的中学“数学建模活动”教学设计[D].南充：西华师范大学,2018.[14]张美艳.“几何画板”在中学数学教学中的有效应用研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学,2015.[15]朱铁军.数学建模思想融入解析几何教学的实践研究[D].长春：东北师范大学,2009.附录：《圆和圆的位置关系》平面几何画板数学建模教学案例设计《圆和圆的位置关系》平面几何画板数学建模教学案例设计一、教学内容1.圆和圆的五种位置关系。2.圆和圆五种位置关系的性质和判定。二、教学目标1．知识与技能掌握圆和圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法并能解决简单的问题。2、过程与方法用几何画板软件动态演示，让师生共同探究圆与圆的位置关系的过程，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力。3、情感态度与价值观通过几何画板动态演示、探究，满足学生的好奇心与求知欲，并体验成功的喜悦。三、教学重点和难点1.重点：两圆的五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系。2.难点：如何得出两圆的五种位置中两圆半径与圆心距的数量关系。教学方法：平面几何建模法、合作探究法、引导探索法、类比法等四、教学安排1、课时安排：2课时2、教学准备：几何画板软件、几何画板软件作品、ppt、讨论纸质材料五、教学设计（一）引入问题、分析问题1．复习提问：（1）直线和圆的位置关系是怎样的？课件中用几何画板展示其过程：①圆固定不动，一条直线平移，观察交点个数得来的；②也可以是圆固定不动，在圆外的直线绕着某一点旋转得到的。2．导入新课：（1）展示日食动画片，创设情境让学生观察日食形成的演示动画，初步形成对圆之间相对运动形成的各种位置关系的理解。（2）类比法引入：从交点的个数来看直线与圆有三种位置关系，那么平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?这就是我们这节课要学习的内容。(板书课题：圆和圆的位置关系)（二）几何画板分析问题和探究建立几何模型1、观察两圆相对运动电脑用慢动作显示日食过程的相对运动，让同学们观察两个圆有几种位置关系。2、教师演示动态平面几何模型，学生观察（如有数学实验室条件，可以提前分组让学生制作）几何画板展示其过程，电