高三数学高考复习知识点：成对数据的统计分析

成对数据的统计分析

01成对数据的统计相关性

【知识点梳理】

1.相关关系

两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系

称为相关关系.

2.正相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值增加时：另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称

这两个变量正相关：如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这

个两个变最负相关.

3.线性相关

一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关.而日散点落在一条线附近,我们就称

这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相

关或曲线相关.

4.相关系数r的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为5,》），3,力），加），对数据作进一步的“标

准化处理”处理，用（为-x）2,S尸（9—y）2分别除汨一X和yi—y（z

=1,2,…，〃，工和y分别为xi，工2，…，心和yi，1y2，…，为的均值），得「一八vi~y\,

\sxsyJ

但工22二£|,…，£=,血川，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别

\StSy）\SrSy/

记为（W，川），（W，方），…，（为'，%'），则变量x和变量y的样本相关系数,•的计算公式如

下：

Z（为一工）（yi-y）

5.相关系数r的性质

(1)当，>0时，称成对样本数据正相关；当Z0时，成对样本数据负相关；当/•=()时，成

对样本数据间没有线性相关关系.

(2)样本相关系数厂的取值范围为[-1,1].

当H越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当m越接近o时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

6.样本相关系数与标掂化数据向量夹角的关系

，=1'y'=5x'3|C3<9=35次其中工'=("，八2‘，…，")，=),2'，…，，/)，1工1=1/1

=5,。为向量V和向量V的夹角).

02一元线性回归模型及其应用

【知识点梳理】

1.一元线性回归模型

我们称

Y=bx-\-a-\-e,

E(e)=0,D(e)=(r

为y关于”的一元线性回归模型，其中y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释

变量；。和〃为模型的未知参数，”称为截距参数，〃称为斜率参数；e是丫与法+。之间的

随机误差.

2.线性回归方程与最小二乘法

回归直线方程过样本点的中心(.*y),是回归直线方程最常用的一个特征

我们将弓=源+1称为y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其

图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的1,々叫做b,

a的最小二乘估计(leastsquaresestimate),

其中

ITIt

'X(.Z；—7)(^—y)>.r,3\一“工少

b-----;~;，

i-1t-1

a='y—l)T.

3.残差的概念

对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值.通过经验回归方程得到的《称为预

测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断

模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.

4.刻画回归效果的方式

(I)残差图法

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样

作出的图形称为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说

明拟合效果越好.

(2)残差平方和法

n

残差平方和工£)2,残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型

拟合效果越差.

(3)利用总刻画回归效果

决定系数宠2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预

报变量的能力.

n

z(»一Q2

------一，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.

I(v—y)2

1=1

03列联表与独立性检验

【知识点梳理】

1.分类变量

这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种

我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类

变量，分类变量的取值可以用实数表示.

2.2x2列联表

在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，

并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2x2列联表，2x2列联表给出了成对分类

变量数据的交叉分类频数.

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛.，制｝和｛"，”｝，其2x2列联

表为

以合计

X1aba+b

X2Cdc+d

合b+o+b+c+

计Cdd

3.等高堆积条形图

等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形

图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果.

4.临界值

Z2统计晟也可以用来作相关性的度最./越小说明变量之间越独立，/越大说明变量之

间越相关

/=(〃++•忽略三的实际分布与该近似分布的误差后，对

于任何小概率值可以找到相应的正实数必，使得P(『认)=a成立.我们称心为。的临

界值，这个临界值就可作为判断/大小的标准.

5.独立性检验

基于小概率值。的检验规则是：

当/认时，我们就推断Ho不成立，即认为X和丫不独立，该推断犯错误的概率不超过«：

当/＜用时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为x和y独立.

这种利用Z2的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为Z2独立性检验，读作“卡方独

立性检验”，简称独立性检验(testofindependence).

下表给出了/独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

0.00

a0.10.050.010.001

5

X2.703.846.637.8710.82

a6159