高中数学必修5知识点总结及经典例题

必修5知识点总结

正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有.

2.正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；③；

（正弦定理主要用来解决两类问题：1.已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2.已知

两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想

画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD二sinA,看a的情况:

当水bsinA,则B无解

当bsinA<aWb,则B有两解

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

三角形面积公式：.

4.余弦定理：在中，有，，

5.余弦定理的推论：，，.

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）

6.如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，则;

②若，贝小③若，贝I.

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A.B,

但不能到达，在岸边选取相柜千米的C、D两点，

并测得NACB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

ZADB=450（A.B.C.D在同一平面内），求两目标A.B之间的距离。

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数.

8、数列的项：数列中的每一个数.

9、有穷数列:项数有限的数列.

10、无穷数列：项数无限的数列.

11.递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+l>an）.

12.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：anH<an）.

13.常数列：各项相等的数列（BP：an+l=an）.

14.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

15.数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式.

16.数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式.

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为

等差数列，这个常数称为等差数列的公差.符号表示：。注：看数列是不是等差数列有以下三

种方法：

①%-%t=或〃?2,d为常数）②2%=〃“+[+4_]（〃=2）③册=互+6为常数

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项.若,

则称为与的等差中项.

19、若等差数列的首项是，公差是，则.

20、通项公式的变形：①；②；③;

④；⑤.

21.若是等差数列，且（、、、），则;若是等差数列，且（、、），则.

22.等差数列的前项和的公式：①；②.③

23.等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，.

②若项数为，则，且，（其中，）.

24.如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等

比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的

项；②同号位上的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①/②/（/,/）

③%为非零常数）.

④正数列｛%｝成等比的充要条件是数列｛log.””｝成等比数列.

25.在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项.若，则称为与的等比

中项.（注：由不能得出，，成等比，由，，）

26.若等比数列的首项是，公比是，则.

27、通项公式的变形：①；②；③；④.

28、若是等比数列，且（、、、）,则；若是等比数列，且（、、），则.

29、等比数列的前项和的公式：①.②

30、对任意的数列｛/｝的前/项和/与通项/的关系：/

［注］:①/（/可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若/不

为0,则是等差数列充分条件）.

②等差｛/｝前n项和/->/可以为零也叫不为零->为等差的充要条件->若/为零，则是等差数

列的充分条件；若/不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前/项和为/,在/时，有最大值.如何确定使/取最大值时的/值，有两种方法：

一是求使/,成立的/值；二是由/利用二次函数的性质求/的值.

数列通项公通项公式对应函数

式、求和公式

与函数对应

关系如下：

数列

等差数列%=a1+(加.l)d=m+Q-d)y二dx+b（dwO时为一次函数）

等比数列n-1a\n>=即'（指数型函数）

%=。均=-q

q

数列前n项和公式对应函数

等差数列,nbi-1),o.zd、

%,d=内+(fl]-y=（。工0时为二次函数）

等比数列>=4+b（指数型函数）

1-q-ql-g

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于

n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题：1.等差数列/中，/,/则/.

分析：因为/是等差数列，所以/是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线,则（n,m），（叫n）,（m+n,/）三点共线,

所以利用每两点形成直线斜率相等，即/,得/二0（图像如上），这里利用等差数列通项公式

与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2.等差数列/中，/,前n项和为/,若/,n为何值时/最大？/

分析：等差数列前n项和/可以看成关于n的二次函数/=/,

/是抛物线々/上的离散点，根据题意，/,

则因为欲求/最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为/,即当/时，/最大。

例题：3递增数列/,对任意工整数n,/恒成立，求/

分析：/构造一次函数，由数列/递增得到：/对于一切/恒成立，即/恒成立，所以/对一切/

恒成立，设/,则只需求出/的最大值即可，显然/有最大值/,所以/的取值范围是：/o

/构造二次函数，/看成函数/,它的定义域是/,因为是递增数列，即函数/为递增函数，单

调增区间为/,抛物线对称轴/,因为函数f（x）为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已

知区间的位置…从对应图像上看，对称轴/在/的左侧

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，/,得/

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前/项和可依

照等比数列前/项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：/

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差/的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于n22的任意自然数,

验证/为同一常数。（2）通项公式法。（3）中项公式法:验证〃都成立。

3.在等差数列｛/｝中，有关Sn的最值问题：⑴当/>0,d<0时，满足/的项数m使得/取最大

值.（2）当/<0,d>0时，满足的项数m使得/取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意

转化思想的应用。

附：数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于/其中｛/｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶

乘的数列等。

例题：己知数列｛an｝的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.

解：观察后发现：an=

•••=(1-3+(3)+…+(—

=1———

3.错位相减法:适用于/其中｛/｝是等差数列，/是各项不为0的等比数列。

例题：己知数列｛an｝的通项公式为，求这个数列的前n项之和。

解：由题设得：

=l-2,+2-224-3-23+---+n-2w

即

l23

5,l=l-2+2-24-3-2+---+n-2"①

把①式两边同乘2后得

234rt+,

25,f=b2+2-2+3-24----+/?-2②

用①-②，即：

l

s,r=l-2+2-2j+3-2>---+/p-2>①

////✓///

////////

234M+,

25,I=1-2+2-2+3-2+---+W-2②

得

=l-2+22+23+---+2n-Ar2n+,

2(1-2〃)

=----------n-2+1

1-2

=2n+,-2-/?-2n+,

=(l-n)2n+,-2

••・力=(〃-1)2向+2

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1):l+2+3+...+n==5+D2)1+3+5+...+(2n-l)二〃23)I3+234-+/?3=[i/?(/?+1)1

2\_2_

4)I2+22+324-..-+772=3(〃+1)(2〃+I)5)—!—=-——5-----!—=-(-———)

6n(n4-1)nn+1〃(〃+2)2n〃+2

1ii1、/

6)----(z-----)(〃<9)

pqq-ppq

31.；；,

32.不等式的性质：①；②；③；

④，；⑤；

©;⑦々>〃>0=4,〉/?”（〃£N,〃>1）;

⑧.

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式.

34.含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零点分段法）

求解不等式：/

解法：①将不等式化为不（x-xl）（x-x2）…（x-xm）>0（〈0）形式,并将各因式x的系数化

“+”；（为了统一方便）

②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；

③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过

数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式

(自右向左正负相间)

例题：求不等式的解集。

解：将原不等式因式分解为：

由方程：解得

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图

由图可看出不等式的解集为：

{x|-2cx<1,或¥>4}

例题：求解不等式的解集。

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.

>0A=0A<0

二次函数

y=cix1+H+cIu

(〃>0)的图象H—x

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根

ax1++c=()b

Xi,x2(xi<x2)=无实根

(a>0的根2a

ax2+bx+c>0b

{^|x<x1gJU>x2}<xx^----

伍>0)的解集2aR

ax2+Z?x+c<()

{小1<x<x}

20

m>o)的解集0

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为/>0(或/<0)；/20(或/〈0)的形式，

(2)转化为整式不等式(组)盘>0。〃小⑴>o；也NO。团

g(x)gw

例题：求解不等式：

解：略

例题：求不等式的解集。

3.含绝对值不等式的解法：

基本形式：

①型如：|x|Va(a>0)的不等式的解集为:

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集为:

变型：

|4丫+加<°(00)型的不等式的解集可以由｛戈|-。<611+〃<(?｝解得。其中-c〈ax+b〈c等价于不等

+b<C

式组在解-c<ax+b〈c得注意a的符号

ax+b>-c

|奴+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由｛x|or+〃>c,或分+Z?<-c｝来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.

④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

例题：求解不等式

解：略

例题：求解不等式：

解：零点分类讨论法：

分另IJ令x-2=0和x+3=0

解得：

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图

①当时，（去绝对值符号）原不等式化为：

11

-U-2)-(x+3)<10x>——

2=>--<x<-3

x2

W—3x<-3

②当时，（去绝对值符号）原不等式化为:

-3<x<2-3<x<2

-(工-2)+*+3)<100xwR=>-3<x<2

③当时，（去绝对值符号）原不等式化为:

x>2

JC>29

n9zz>2<^<-

(x-2)+(x+3)<10x<-2

由①②③得原不等式的解集为：（注：是把①②③的解集并在一起）

函数图像法：

令f(x)=U-2|+|x+3|

则有：

在直角坐标系中作出此分段函数及/。）=10的图像如图

由图像可知原不等式的解集为：

4.一元二次方程ax2+bx+c=0E>0）的实根的分布常借助二次函数图像来分析:

设ax2+bx+c=0的两根为，f（x）=ax2+bx+c,那么：

①^两根都大于0,即，则有

②若两根都小于0,即，则有

③若两根有一根小于0一根大于0,即，则有

④若两根在两实数m,n之间，即,

A>0

b

则有，2a

f(m)>0

⑤若两个根在三个实数之间，即,

/(/n)>0

则有，/(0<0

/(«)>()

常由根的分布情况来求解出现在社、b、c位置上的参数

例如：若方程有两个正实数根，求的取值范围。

解：由①型得

所以方程有两个正实数根时，。

又如：方程的一根大于1,另一根小于1,求的范围。

解：因为有两个不同的根，所以由

35.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式.

36.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

37、二元一次不等式（组）的解