湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷 含解析

公安三中2024级高一下学期5月考试数学试卷命题人：刘军一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一1．设复数，则的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．2．已知点则与同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（）A．B．C．或D．或4．若，且，则和的夹角是（）A．B．C．D．5．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（）A．B．C．D．6．在中，，则最大角的余弦值为（）A．B．C．D．7．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（）A．B．C．D．8．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题（本题共3小题，每小题618分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6试卷第1页，共3页9．已知函数，下列说法正确的是（）A．B．函数的图象关于点中心对称C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象D．函数在区间上单调递增10对应的点为法正确的是（）A．当时，为纯虚数B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆C．的虚部为D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（）A．若点是的中点，，则B．若平分，则C．三角形外接圆面积最大值为D．若，则内切圆半径为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共1512．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是.13．已知，，则．14．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积.试卷第1页，共3页四、解答题（本题共5小题，共7715131）已知，若与平行，求；（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．1615分）在中，角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，，为的中点，求．1715分）在中，对应的边分别为，已知向量,且为边上一点，,且.(1)求；(2)求面积的最大值.试卷第1页，共3页1817分）已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于．(1)求函数的解析式；(2)求函数的对称轴和对称中心；(3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值．1917分）在中，，，对应的边分别为，，，(1)求；(2)若为线段内一点，且，求线段的长；(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；试卷第1页，共3页《公安三中2024级高一下学期5月考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DACBCADBABCBD题号11答案AB1．D【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部.【详解】因为，所以，所以的共轭复数的虚部为.故选：D2．A【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.考点：向量运算及相关概念.3．C【分析】根据正弦定理可求得答案.【详解】解：由正弦定理，得.∵，∴，∴或.故选：C.4．B【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案.【详解】设的夹角为，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B答案第1页，共2页5．C【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得.【详解】由题意：.故选：C6．A【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可.【详解】由题意可知，所以，所以最大，设，由余弦定理得：，故选：A7．D【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：的面积，，，则，，，，，，，，．故选：D．8．B答案第1页，共2页【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，则，可得，同理可得，因为在线段上，设，则，所以的取值范围是.故选：B.9．ABCAB移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，的周期，所以A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确；答案第1页，共2页对于D中，因为，所以，所以在上不单调，故D错误.故选：ABC.10．BD【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解.【详解】对于A，当时，则不为纯虚数，故A错误；对于B，即到原点距离为2的点构成，故点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确；对于C，的虚部为，故C错误；对于D，是方程的另一个复数根是其中一个根的共轭复数，为，故D正确.故选：BD.．AB平方求解即可判断AB理表示出半径，根据正弦函数的性质可判断C；注意到内切圆直径必小于边上的高，结合A即可判断D.【详解】对于A，因为点是的中点，所以，因为，所以，所以，故，故A正确；对于B，由角平分线定理可知，故B正确；对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即，因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误；对于D，由上知，则边上的中线长为，则边上的高小于，所以内切圆直径小于，即半径小于，因为，故D错误.故选：AB答案第1页，共2页12．/【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值【详解】因为，所以为的中点，因为是的中点，所以，所以,因为，所以，故答案为：13．【分析】根据题意，由的范围可得的范围，从而可得的值，再由，结合余弦的差角公式代入计算即得.【详解】因为，则，则，又，所以，则，所以.故答案为：14．【分析】应用正弦边角关系及三角形内角的性质得，根据已知有，再应用余弦定理、三角形面积公式求结果.答案第1页，共2页【详解】由及正弦定理得，因为，所以，所以，故，又因为，所以，由，得，由余弦定理得，所以的面积.故答案为：151）2）．1，解即可；（2与垂直即可得出答案.1）因为，且与平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知与的夹角为，所以，因为与垂直，所以所以．16．(1)(2)1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角.答案第1页，共2页（2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求.法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值.1）法一：因为，由余弦定理：，得：，则，因为，所以．法二：因为，由正弦定理得：，，，，因为，所以，因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，得：，法一：，在中，由余弦定理得：，得：．法二：因为，所以，所以，所以，解得：．法三：因为，所以，，所以．17．(1)(2)答案第1页，共2页1）由得，从而计算；（2.1）因为，且，所以，利用二倍角公式和边化角可得：，即，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即.（2）因为，所以，两边平方得：，所以，当且仅当时取等号.由，可得：，所以.所以面积的最大值为.18．(1)(2)对称轴为直线，，对称中心为，(3)1）由图象可得函数的最值、周期与相位，分别建立方程，可得答案.答案第1页，共2页（2）根据正弦函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；（3）由函数图象变换可得新函数的解析式，整理不等式构造函数，根据正弦函数的单调性，可得答案.1）由图可得，则，，则，解得或，，由，则，由，则，由图可得周期，易得，所以.（2）令，，解得，，令，，解得，，所以的对称轴为直线，，对称中心为，.（3）由题意可得，要证，只需证，令，由题意可得，则，即求函数的单调递减区间，令，，解得，，由题意可得，，则，，解得，，当时，令，则，此时，不合题意，令，则，此时，符合题意；当时，令，则，此时，不合题意，令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意答案第1页，共2页所以的最大值为.19．(1)(2)(3)481即可求解.（2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可；（3）根据柯西不