河北保定2025-2026学年下学期高三数学4月一模试卷（含答案）

2026届高三第一次模拟考试数学试题注意事项:1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1、在复平面内,复数z=1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A={xx∣≥A.{x∣x>−1}3.在空间直角坐标系中,平面α经过点P01,2,1,且以v=2,1A.2x+yC.2x+y4.已知Sn为等差数列an的前n项和,a3=A.190B.180C.130D.1105.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.已知a⊂α,b⊂β,且aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.平面内三个向量a,b,c满足a=b=a⋅bA.2−3B.2+37.抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上。O为坐标原点，当∠OPFA.24B.22C.28.已知a∈R,b>0,若∀A.12lnπ2B.1二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=sinA.fx最小正周期为B.当x∈−π4,π4C.fx的图象关于直线x=D.将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数10.圆x2+y2=1A.−1,−43B.−11.某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品.甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9,检测次品芯片为良品的概率为0.1;乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8,检测次品芯片为良品的概率为0.2.甲、乙设备的检测结果相互独立.已知某批芯片良品率为p0<A.若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74B.若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9C.甲设备检测该芯片为良品的概率为0.8pD.甲设备检测为良品,该芯片实际为良品的概率为9p三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分。12.若1+2x5=13.已知函数fx=alnx+ex在区间14.在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差,形成新的数列.现将数列2,1进行这样操作,第一次得到数列2,1,1,第二次得到数列2,1,1,2,1,⋯,将上述数列排成如图所示的数阵,则数阵中第1015.(13分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a(1)求fA(2)若a2+b2<c2，且16.(15分)某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性,随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查.将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”;体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”,否则为“体质不达标”.调查结果整理为如下不完整的2×2体质达标体质不达标合计高频锻炼组m1560低频锻炼组25vu合计S120附:χ2=nad−α0.0500.0100.0050.001x3.8416.6357.87910.828(1)请根据列联表中的数据，写出m；v；s，t，u的值；(2)依据小概率值α=0.001(3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动,现按高频锻炼组和低频锻炼组分层,通过分层抽样抽取10人展开指导活动,再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈,求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率.17.(15分)已知函数fx(1)当a=2时,求这个函数图象在1(2)证明:当a>3时，∃x∈0,+∞，使得在平面直角坐标系中,定义Ax1,y1,Bx2,y2两点之间的“曼哈顿距离”为d= x(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积(用a，c表示)；(2)当a=4，c=6017时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点D0,1作圆M:x−2(i)求椭圆C的方程;(ii)判断直线EF与圆M的位置关系,并说明理由.19.(17分)某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形(容器壁厚度忽略不计)，一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为O1和O2(1)求圆台O1O2的体积(用(2)设小球半径r=3，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，B为底面圆周上一点,且AB=BC,平面A1AB∩(3)在第(2)问条件下的圆台O1O2高三一模数学参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1.C.2.D3.A4.B5.A6.D7.B8.B二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。9.AC10.ABC11.ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分。12.3213.[−14.513四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(13分)解:(1)化简得fA令z=2A+π因为y=sinz z∈π4,9π4的单调递减区间是由π2≤2A+∴函数y=fA(2)∵fA∵A∈0,π由已知条件a2+b2<c2可知∴c∴∴cb的取值范围为16.(15分)解:(1)由列联表数据关系可知,m=60综上,m=(2)若假设:H0根据列联表数据，计算χ=由于χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断H因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联。(3)体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人。从这10人中随机抽取3人进行专项访谈,事件总数有C103设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况.则PA所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为496017.(15分)解:(1)当a=2时,∵f即切线方程为e(2)方法1:当a>3，x∈0,+∞时，令g′x=x−a+1e令h′x>0⇒x>a−2,即h∵h0=3−ax∴gx在0,x0g∴当a>3时,∃x∈0,+∞方法2:当a>3,x∈g′x=x−2ex+令h′x>0⇒x>1,即hx∵h0=0,hx∴gx在0,x0g∴当a>3时,∃x∈0,+∞18.(17分)解:(1)设"曼哈顿椭圆"上任意一点为Px,y,则即x+c+y+所以“曼哈顿椭圆”的方程为x+将方程中x替换为−x,方程不变,所以“曼哈顿椭圆”关于y将方程中y替换为−y，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于x同时将方程中x替换为−x,y替换为−y方程仍不变，所以只需分析出第一象限的图象即可,当y≥0,0当y≥0,x≥c时,方程为其面积为c+(2)(1)∵a=4,c=6017设椭圆C的方程为x216+y2b2=试卷第3页即152+64b2=172⇒(II)方法1:直线EF与圆M相切,理由如下:设过点D0,1与圆M:x−23y=kx+1x216+y设点Fx1,k1直线EF的斜率为kEF故直线EF的方程为y+32k1216k12+1因此，圆心M2,0到直线EF的距离为d=18−2892+方法2:设Ex1,y1,Fx2,y2,则直线DE方程为y−1=y1−1x1x−0⇒y1−1又∵圆M与直线DF也相切,同理可得9x即Ex1,y1,则直线EF的方程为9x−因此,圆心M2,0到直线EF的距离为d=18−2892+19.(17分)解:(1)设圆台上下底面圆的半径分别为r1,∵∠F∴EF=3r设上下底面圆的面积为S1,S2圆台的高h(2)延长AA1,CC1交于点H,∵H∈A∵以O2B,O2CO设BQ=λBH设平面A1AB的法向量为则AB令x=3,则y=−3同理可求平面O2CQ的法向量为ucos令y=4λ2−即平面A1AB与平面O2CQ(3)最多能放3个小球。理由如下:因为小球与上下底面均相切,∴小球半径为32.圆台上、下底面直径分别为3和5,则至少能放入一个半径为32为能放入更多小球我们先让放入的第一个小球O1​+与圆台侧面也相切,做出圆台轴截面如图1,小球O1​+与底面切与点M1