河北石家庄二中2025-2026学年下学期高一数学4月第一次月考试卷（含答案）

石家庄二中高一下学期第一次月考数学试卷(时间:120分钟,分值:150分)一、单选题1.已知复数z=1+i2，其中iA.22B.1C.22.设a、b为非零向量，则“a⋅b>0”是“a与A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在△ABC中,AB=2,ACA.105°或15°B.135°或45°C.120°或30°D.105°4.在梯形ABCD中，AB//CD,CD=3AB，点E在对角线AC上，且A.AB−23ADB.35.设△ABC的外心为O,且2AO=AB+AC,AC=AOA.14BCB.34BC6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了:已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即:S=14a2c2−a2+A.ΔABC周长为10+27B.△ABCC.△ABC外接圆的直径为4213D.△ABC7.已知ΔABC的三个内角A,B,C所对的边分别为cos2A+sin2B−A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形8.已知平面向量a、b、c满足:a与b的夹角为锐角.a=4，b=2，c=1，且b+ta的最小值为A.1B.3+2二、多选题9.已知复数z=a+bi(i为虚数单位),zA.若z=−2+i，则B.若z满足z⋅i=−1+2C.若z是方程x2+3=D.若z满足z−1+2i=2，则10.在△ABC中,下列说法正确的是A.若AB⋅BC<0,则B.若AP=λABAB+ACAC,λ∈[C.若G为△ABC重心,则AGD.若点O满足OA=OB=OC11.在锐角ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,A.AB.B的取值范围为0C.ab的取值范围为2,3D.1tan三、填空题12.平面内A0,1,B13.石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上、下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底O在同一平面内的三个测量基点A,B,C,且在A,B,C处测得该塔顶点P的仰角分别为14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosBsinB=3bcosA四、解答题15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,(1)求B；(2)若b=7,ΔABC的面积为33216.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥AD,AB=2CD=4,E、F分别为(1)若EF=mAB+nAD(2)求AD的长；(3)求PE⋅PF17.ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求18.已知平面四边形ABDC中,对角线CB为钝角∠ACD的平分线,CB与AD相交于点O,AC(1)求sin∠ACO(2)求CO的长；(3)若BC=BD，求△19.我们知道复数有三角形式z=rcosθ+isinθ，其中r为复数的模，θ为辐角主值.由复数的三角形式可得出,若OZ1=r1cosθ1+isinθ1,OZ2=r2cosθ2+isinθ2,则r1cosθ1+isinθ1⋅r2长为1,∠AOC=120∘,点A,B,C所对应的复数分别为z1(2)如图，若P3,0，以PA为边作正方形(i)若M,N在AP下方，是否存在复数​​使得OM长度为19−62(ii)若M,N在AP上方,且向量xyPM=xOA石家庄二中高一下学期第一次月考数学参考答案题号1234567891011答案ABAACDCDACBCDACD7.C∵cos∴1−sin2A由正弦定理及余弦定理得b2∵A又∵sinB+cosC=3因为B∈0,5π6所以C=π6,∴ABC为等腰三角形.8.D由题b+因为a=4,b=因b+ta最小值为3，且由二次函数分析可知，当t=−2a所以b+iamax2又因为a与b的夹角为锐角,所以a⋅b=4因为c−将模长代入c−将模长代入c−设θ=12a+b,c,即原式=c2+12a⋅b−1210.BCD选项A:若AB⋅BC<0,则BA⋅BC>0,因此角B为锐角，但选项B:因为ABAB,ACAC分别表示AB,AC方向上的单位向量,所以AB若AP=λABAB+ACAC,λ∈[0,+∞),则AP的方向与∠BAC选项C:若G为∂eABC的重心,设边BC的中点为M则AG=23AM=2选项D:设BC的中点为D，若点O满足OA=OB=OC，则点O为&ABC外心，于是有OD则AO=12AC+11.ACD解:因为a2=bb+c即bb所以bc=c2−2bccosA,所以由正弦定理可得sinC又sinC∴sinAcosB+cosA∴sinA∵A,B,C为锐角,∴A−B=B∵0<2B<∵ab=sin∵1又π3<A<π2,∴32由对勾函数性质可知,ft=1t+2t又f3∴1tanB−1tanA12.【答案】213由题可知,AB=2,3,AC=t,6:因为A,B,C三点共线,所以AB和AC共线,所以13.280设OP=h,h>由∠OBC+∠OBA=π由余弦定理得h2+280632−33因为bcosCsinB又B∈0,π,所以sinB≠0,所以tanA=因为c=2,b=因为AP2=AP⋅AB所以点P在以AB为直径的圆上,要使PA2+PC2取得最小值,则点P在劣弧AC上(不同于A,C两点),此时在△PAC中,由余弦定理得AC1所以PA2+PC2所以PA2+PC的最小值为15.(1)在□ABC中,因bcossinB于是得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC又0<B<π(2)由已知及(1)得S△ABC=12acsinB=34ac=332，从而得ac=6，又b=7，由余弦定理b2=a2+c216.(1)由E,F分别为CD,BC的中点，则由图可得EF=12DB=所以mn=−(2)由(1)可知EF=12AB−1由AD⊥AB，则ADAC⋅可得4−12AD2(3)由图可得PE=PAPF=1PE=3由0≤x≤117.(1)根据题意asinA+C2=bsinA,由正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA,因为0<A<π,故sin(2)J方法一]【利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为∞ABC是锐角三角形,又B=π3,所以S3因为C∈π6,π2,所以从而SABC∈38,32,故[方法二]【由题意求得边a的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及(1)知ABC⏜的面积S因为QAQA仍然角三角形,且c所以cosA=b2又由余弦定理得b2=a2+1−a所以38<SABC<32,故18.(1)因为cos∠ACD=−15，对角线CB为钝角所以cos∠ACD=1−2sin2∠ACO所以sin∠ACO(2)由题意，在ACD中，由余弦定理可得AD即72整理可得CD2+2CD−24=0,解得因为cos∠ACD=−15，所以又因为S△ACD所以12CA所以12×解得CO=(3)方法一:在ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC=ADsin∠ACD所以sin∠ADC=267，因为∠ACD因为BD=BC,所以所以sin∠BDC=sin∠BCD=155在△BCD中.cos∠BDC=105=C因为sin∠=sin∠=15所以SABD=方法二:在△BCD中,由BC可得sin∠DCO=sin∠CDB=155所以CD=2BCcos∠BCD=2BC又由于CO=8109,从而BO=所以SBODSBOA所以SABD19.(1)连接OB，因为四边形OABC，∠AOC=所以∠AOB=60∘，又所以OB=1，即OA因为z1所以z2=所以z2(2)设z1=cosα+isin设PA对应的复数为z4