陕西咸阳2025-2026学年下学期高三数学4月模拟试卷（含答案）

2025~2026学年高三核心模拟卷(中)数学(六)注意事项:1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={x∈N∣x≤6}A.{6}C.{1,2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“a+1b=0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a,b的夹角为3,aA.43B.54.已知等差数列an的前n项和为Sn,SA.1813.20C.22D.245.已知底面半径为1,体积为3π3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则球OA.16π3B.C.64π3D.6.已知tanα+β,tanα−β是关于x的方程x2A.43B.−7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1A.33,C.12,8.已知a>0,b>0A.a<b<cB.c二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设1+2xA.a0=C.a2+10.已知数列an满足a1=2,an+1=an+2,n=2kA.a3=6B.C.Sn=−11.已知函数fx=A.π为fxB.fx在−3π2,C.fx在x=−D.∀x1,x三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知函数fx=1x+13.已知数据x1,x2,⋯,x8的平均数为m,数据x9,x10,⋯,x20的平均数为n14.已知双曲线x2−y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与该双曲线的左、右支分别交于A,B两点,记△AF1F四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a(1)求tanAtan(2)若c=23，tanC=316.(本小题满分15分)已知甲盒中有2个红球,4个白球,乙盒中有3个红球,5个白球,这些球除了颜色外完全相同.(1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量X，求X的数学期望和方差；(2)从甲、乙两盒中各任取2个球,记取出的4个球中红球的个数为随机变量Y,求Y的分布列.17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，点E是棱PD上的一点(1)求证:PE=ED(2)若PA=2AB，求平面PBC与平面AEC18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,过点F1,0的圆E与直线l:x=−1相切,设圆心(1)求C的方程；(2)已知点Px0,2是C上的一点，过点Q0,1的直线l1(1)当点P到直线l1的距离取得最大值时,求AB(ii)记直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，若QM=λQO，QN=μQO19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)讨论gx(2)求fx在区间−π(3)若fx≥xgx对任意的x∈−2025∼2026数学(六)参考答案1.B依题意全集U={x∈N∣x≤6}={0,1,2,2.B若a=1,b=0满足a+1b=0,此时a+b+ii=1+ii=2,不为纯虚数,故a+1b=0”不是“复数a+b+ii为纯虚数”的充分条件；因为a+b+ii=a+b+i×−ii×3.A因为a⊥a−b,所以a⋅a−b=0,即a2−a⋅b4.B因为等差数列an的前n项和为Sn,所以S8,S16−S8,S24−S165.A设该圆锥的高为h,所以V=13π×12⋅h=3π3,解得h=3,设球O的半径为R,由题意知R6.C因为tanα+β,tanα−β是关于x的方程x2+mx−2=0的两个不同的根，所以tanα+β+tanα−β7.D记C的焦距为2c,设Px0,y0,则x02a2+y02b2=1a>b>0,所以y02=b21−x02a2,由PF1⋅PF8.A因为a>0,且1+a−a2=a⋅2a,所以1a−a=2a−1,同理,由1+2b−b2=b⋅3b,可得1b−b=3b−2,由1+3c−c2= c⋅4c,可得1c−c=4c−3.令fx=1x−x,x>0,得f′x=−1x2−1<9.ABD令x=0,得a0=1,故A正确;因为1+2x9的展开式中,Tr+1=2rC9rxr,0≤r≤9,r∈N,所以a2=22C92=144,a1=2C91=1810.BC依题意a2=a1+2=4,a3=2a2=8,故A错误;因为b1+2=a2+2=6,bn+1+2bn+2=11.BCD fx+π=cosx+π+1sinx+π=−−cosx+1sinx≠fx,故A错误;令fx=0,即cosx+1sinx=0,得sinx=0或cosx=−1,当x∈−3π2,π2时,解得x=−π或x=0,所以fx在−3π2,π2上恰有2个零点,故B正确;fx+2π=cosx+2π+1sinx+2π=cosx+1sinx=fx,所以2π是fx的一个周期,因为fx的定义域为R,关于原点对称,且f−x=cos−x+1sin−x= −cosx+1sinx=−fx,所以fx为奇函数,又f′x=cosx+cos2x−sin2x=2cos2x12.1因为fx是奇函数，所以f−x+fx=0，即1−13.5因为数据x1,x2,⋯,x8的平均数为m,数据x9,x10,⋯,x20的平均数为n,所以x1+x2+⋯+x8=8m14.13设AF1=m,BA=p,F1F2=6,AF2=2+m,BF2=m+p−2,所以S△AF15.解:(1)因为5c2+3b2=3a2，由余弦定理得5c2+3b2所以sinAcosB+cosAsin因为cosAcosB≠0(2)因为tanC由(1)知,3tanB4tan2B+1=34,解得由(1)知b=c所以△ABC的面积为S=16.解:(1)由题意知X∼B所以EX=DX=(2)由题意知Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，8分P所以Y的分布列为:Y01234P1173713115分17.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA因为底面ABCD是矩形,所以CD⊥AD,又PA∩AD=A,PA⊂所以CD⊥平面PAD.3因为AE⊂平面PAD,所以AE⊥又AE⊥EC,CD∩EC=C,CD⊂平面PCD,EC⊂又PD⊂平面PCD,所以AE⊥又因为PA=AD,所以E为PD的中点,所以PE(2)解:不妨设PA=2，则AB=1，AD=2，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A0,0,0,C1,2,0,B1,0,0,D0,2,0,P0,0,2,所以E0,1,1,AC设平面PBC与平面AEC的夹角为θ,所以cosθ即平面PBC与平面AEC夹角的余弦值是306.1518.解:(1)设点Ex,y为C上任意一点，因为圆E过点F1,0所以EF与点E到直线l的距离相等,故x−12+y即C的方程为y2=(2)(1)因为点Px0,2是C上的一点，所以22=4x0当点P到直线l1的距离取得最大值时,PQ⊥l1,又kPQ=2−11−0=1,所以直线设Ax1,y1,Bx2,y2所以AB=1(ii)由题意可知直线l1的斜率存在且不为0,设直线l1的方程为由y2=4x,y=kx+1直线PA的方程为y−2=y1−2x1−1x−1同理得点N的纵坐标为yN=由QM=λQO,QN所以1λ即1λ+1μ19.解:(1)由题意知g′x=a当a≤0时，g′x<0，所以gx当a>0时,令g′x<0,解得x>lna,令g′x>0,解得x<lna,所以(2)因为f−x=−xcos−x=−又f′x=cosx−xsinx,当x∈π2,π时,cosx≤0,xsinx≥0,所以f′x≤0,令ux=又f′0=1>0,f′π所以当x∈0,x0时,f′x>0,当x∈x0,π时,f′x<0,所以fx在0,x0上单调递增,在x0,π上单调递减，又综上,fx在区间−π,π上的值域为(3)若fx≥xgx对任意的x∈−π2,+∞恒成立，即xex+cosx−ax−2)≥0对任意的当a>1时,当x∈[0,+∞),令kx=h′x,则k′x=ex−cosx≥0,所以kx=h′x在[0,+∞)上单调递增,令φx=ex−x−1,x>0,则φ′x=ex−1>0,故φx在0当a≤1时，