浙江嘉兴2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案）

2026年高三教学测试数学试题卷(2026.4)满分150分，考试时间120分钟.考生注意:1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0A.{−1}B.{0,2.已知a,b为实数，则“a<b<0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,cA.12B.14c.34.为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理.已知初始碳排放浓度为3.6 kg/m3，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过0.08A.4B.5C.6D.75.若数列xn满足:从第二项起,每一项与它的前一项的差依次排成一列,组成的新数列是一个公差为k的等差数列,则称数列xn为“k-等差数列”.已知an为“2-等差数列”,且a1A.91B.111C.121D.1336.已知tanθ=12，则A.13B.14C.17.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,点PA.52B.2C.38.已知直线y=ax+b与函数y=lnx+x的图象相切，若A.−12B.ln2+二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列说法正确的是A.数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的第60百分位数为14B.对于随机事件A与B,若PB=0.3,PB∣A=0.7C.已知一组样本数据x1,x2,⋯,xn的平均值为5,极差为7,中位数为6,则数据2D.若成对样本数据的线性相关程度越强,则样本相关系数越接近110.已知zn是由复数组成的数列，zn+1=zn−3⋅B.zC.zD.若z−z2025=1，则11.已知函数fx=tanπ6x−π6,关于x的不等式fx−A.若a=t=1B.若t=1，则nC.若存在实数a,使n=676,则t的最小值为D.若存在实数t,使n=676,则a的最大值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=2,6，b=−1,λ13.已知A−2,0，B1,0，若直线x−y+c=014.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,若球O同时满足条件:①与平面ABC1D1，平面ABCD1四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)已知数列an(1)求证:数列an−1为等比数列，并求数列(2)求数列nan的前n项和16.(本题满分15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，(1)证明:平面AEF⊥平面PBC(2)若直线EC与平面AEF所成角的正弦值为13，求BF(第16题)17.(本题满分15分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l:y=kx+m k≠0与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x(i)求△OAB(ii)当点M运动时,求点Px018.(本题满分17分)已知函数fx(1)当a=1，b=2时，求fx(2)当a=0时,若对任意的实数m，直线y=x+m与曲线y(3)若a=1,0<b≤2,19.(本题满分17分)在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有n个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为1,2,⋯,n.游戏规则如下:从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回;再从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回;重复这个过程,直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止。游戏停止时,取球的总次数记作T,PnT=k表示“共有(1)求P10T=2和(2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率Pn(用n2026年高三教学测试数学参考答案(2026.4)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1-4CADC5-8BDBD8.由y=lnx+x,y′=1x+12x,设切点x0,lnx0+x0,则a=1x0+12x0切线方程为:y=1x0+1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC10.BCD11.ACD11.画出函数fx=tanπ6x−π6的图象如图所示因为fx的周期T=6对于A:求不等式1≤fx≤2的整数解,只需找直线x=1和x=对于B:a≤fx≤a+1的整数解个数,即直线x=a和x=a+1之间横坐标为整数的点的个数.对于C:要使n=676,则区间0,4和337个周期内各2个.要使t最小,只需0,4内包含1和2,因此t对于D:要使n=676,则区间0,4和337个周期内各2个.要使a最大,只需0,4内包含2和3,因此a三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.-313.−14.214.球O与平面ABC1D1和平面A1BCD1均相切,故球心E,F,G,H,I,J为各自所在棱的中点,易知BD1⊥平面EFGHIJ,所以∠MQN即二面角A1−BD作OP⊥MQ,则OP⊥平面A1BD1,即球半径r=OP.又球O与AA1相切,故r=OE.因此,OE=OP.在△四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知数列an(1)求证:数列an−1为等比数列，并求数列(2)求数列nan的前n项和解:(1)∵2an+因此,an−1是以12为首项,∴(2)由(1):nan=n令T1两式相减得:1∴所以,S16.(本题满分15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCDPA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB(1)证明:平面AEF⊥平面PBC(2)若直线EC与平面AEF所成角的正弦值为13，求BF解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD,BC又BC⊥AB,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB,∵AE⊂平面PAB,∴AE⊥BC ∵PA=AB,E(2)作CH⊥EF，垂足为∵平面AEF⊥平面PBC,平面AEF∩平面PBC=EF,CH⊂平面PBC,CH⊥EF ∴CH⊥平面AEF，因此，∠CEH即直线EC∵△CHF与△EBF相似,整理得3x=x2因此,x=1,即CF=1解法二:(1)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x设F2,b,设平面PBC的法向量为m=xm⋅BP=−2x设平面AEF的法向量为n=xn⋅AE=x∵m⋅n=b+0−(2)由(1)可知:EC=1,2,−1，平面记直线EC与平面AEF所成角为θ,则sin化简得:3b−2=b2+217.(本题满分15分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l:y=kx+m k≠0与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x(i)求△OAB(ii)当点M运动时,求点Px0解:(1)由题意,2a=4,c因此,椭圆C的标准方程为:x(2)联立y=kx+m因为l与椭圆相切,故Δ=4km2−4因此,x过点M且与l垂直的直线方程为:y令y=0得A−2km,0(i)S当且仅当k2=12(ii)P−2km,−2m,即因为m2=2+4k2因此,点P的轨迹方程为:x解法二:(2)设切点Mx1,y∴直线AB:y−y令y=0得Ax12,0(i)S∴(ii)由x0=14y0=−y(ii)由x0=x12y0=−因此,点P的轨迹方程为:x18.(本题满分17分)已知函数fx(1)当a=1，b=2时，求fx(2)当a=0时，若对任意的实数m，直线y=x+m与曲线y(3)若a=1,0<b≤2,解:(1)a=1,b∴fx在[0,+∞)(2)直线y=x+m与曲线y=fx恰有一个公共点，即方程x+m=bx+因为对任意实数m,方程m=g所以gx在R上为单调函数,且值域为(i)当b=0时,g′x=−1<0,∴g(ii)当b>0时,令g′′xx<1时,g′′x因此,g′x在−∞,1单调递减,在1,+∞单调递增,g′xmin=g′1=−b2e−1因此,g′x=0存在唯一零点x0,gx在−∞,x0单调递增,在x(iii)当b<0时,由(ii)知,g′x在−∞,1g′xmax=g′1=−b2e−1解得:−且当x→−∞时,gx→+∞,当x→+∞时,gx→−∞,gx值域为R(3)a=1时，要证2fx+1e∵又由(1)可知:x2+2x+22ex∴因此,只要证2ex+1(i)x≥π时,∵0<(ii)0≤x<π时,∵即证2ex+1令hx=ex∵因此,hx在[0,π)又ex≥e0=1综上所述,x∈[0,+∞)19.(本题满分17分)在某个抽奖游戏中,抽奖箱内装有n个大小相同、质地均匀的小球,编号分别为1,2,⋯,n.游戏规则如下:从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球,记录下编号后放回;重复这个过程,直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时,取球的总次数记作T,PnT=k(1)求P10T=2和(2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率Pn(用n解:(1)法一:将n次摸到的小球的编号依次排列,记为xT=2,即x1=10时x2=1,2,⋯,10;x共有10+9+⋯+1T=3,即x1<x当x1=1时，x2=2当x1=2时，x2=32因此,P法二:T=2的含义:摸球2次后停止，其反面为:T≥3的含义是前2次未能停止,即前两次小球编号依次增大,有C因此,PT=3的含义:摸球3次后停止,其反面包含两种可能:T