专题1.7 函数导数跨模块综合与创新题型专项-2026届高考数学二轮复习专题突破

/14专题1.7函数导数跨模块综合与创新题型专项——2026届高考数学二轮复习专题突破姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题（共8题；共40分）1．（2017·荆州模拟）设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数f（x）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.82．（2023·湘豫模拟）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本p（x）万元，当产量不足50万件时，p（x）=1120x3A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件3．（2020·淮南模拟）已知x=1是函数f（x）=an+1x3-anx2-an+2x+1（n∈N*）的极值点，数列{an}满足A．1008 B．1009 C．2018 D．20194．（2023·山西模拟）定义在R上的函数f（x）A．f（xB．将f（x）C．f（x D．f（x）5．（2019高三上·北京月考）已知向量a、b满足|a|=22|b|≠0，且关于x的函数f（x）=2x3+3|a|A．[0，π6] B．[0，π3]6．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数fx=-x2-2ax-a，x<42A．-257，-52 B．-3297．（2025·仁寿模拟）已知函数fx=ex-m-lnA．m≥-1 B．m≤1 C．-1≤m≤1 D．-1≤m≤28．（2023高三上·长沙月考）对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知a=6ln5，b=7ln4，c=8ln3A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a

二、多项选择题（共3题；共18分）9．（2023·安庆模拟）牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数f（x）和数列{xn}，若（xn+1-xn）f'（A．x1=2e+2e-1C．{an}是等比数列 10．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在A．f（x）=-C．f（x）=11．（2024·佛山模拟）若f（x）=sinA．log232 B．1 C．3

三、填空题（共3题；共15分）12．（2022·青浦模拟）设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a|13．（2021高三上·怀仁期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（1，-3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω>014．（2024高三上·广东开学考）若不等式xex－exlnx＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为．

四、解答题（共5题；共77分）15．（2022高三上·安徽期末）已知平面向量m=（2（1）求函数f（（2）将函数f（x）的图象向左平移π3个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）16．（2022·云南模拟）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量m、n满足n=（sinA-sin（1）求A；（2）若BD=3，b+2c=43，求

17．（2021高三上·河南月考）已知平面向量a=（cosx，sinx），b=（cosx，（1）求f（x）（2）若平面向量c=（cosx0，-3cosx0），18．（2024高三下·乐昌月考）已知函数f（（1）讨论f（（2）当x≥0时，f（x-1）

19．（2025·桂林模拟）对∀x1，x2，⋯，xn∈a，b，若函数fx在a，b有不等式fx1+x2+⋯+xnn≤fx1+fx2+⋯+fxnn，则称函数fx是在a，b上的“凹函数”，反之，若不等式fx1+x2+⋯+x（1）判断函数fx（2）若xi>0（i=1，2，（3）an为（2）问所得结果，证明不等式：n-1答案解析部分1．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）∴f′（x）=x2+2x+η2=0无解，∴△=4﹣4η2＜0，∴η＜﹣1或η＞1，∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）=0.2，∴P（η＜﹣1或η＞1）=0.2+0.5=0.7，故选C．函数f（x）=13x3+x2+η2x没有极值点，则f′（x）=x2+2x+η22．【答案】D【解析】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时，利润f（x）利润f（所以利润f因为当0<x<50时，f'（x）=-140（x+40当x≥50时，160-（x+6400x）≤1160-2x×6400x故答案为：D．依题意求得利润f（x3．【答案】A【解析】解：f'（x）=3an+1x2-2可得：3an+1-2即an+2-累加可得an=2018=2018（1则[2018故答案为：A.利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可.4．【答案】D【解析】依题可知T2<π3<T∴4<ω≤5，∴ω=5，∴f（对于A，由T=2πω=2π5，则f对于B，将f（x）的图象向右平移π则g（0）=2sin对于C，由f（π6）=2sin（对于D，由x∈（-π6，0），则5x+故答案为：D．根据题意可求出ω=5，从而可得到f（5．【答案】C【解析】设向量a、b的夹角为θ，由题意可得f'（x由于函数f（x）=2x3则不等式f'（x）≥0在R上恒成立，即不等式x2则Δ=4|a|2-8∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤π4，因此，向量a、b的夹角的取值范围是[0故答案为：C.设向量a、b的夹角为θ，求出函数y=f（x）的导数f'（x）=6x2+6|a|x+6a⋅6．【答案】A【解析】解：因为数列an可知当n≤3，n∈N+时，即-a≥3或2≤-a≤3f2<f当n≥4时，fn且f4>f3，即2所以，若数列an是单调递增数列，则-故答案为：A.由数列an的单调性可知当x≤3时，函数fx单调递增，当x≥4时，函数fx单调递增，且f47．【答案】B【解析】解：因为ex令gx=x+e因为gx=x+e所以x≥ln当m≤0时，y=lnx+m可由结合y=x与y=lnx的图象可知，当m>0时，由x≥lnx+m，得到ex令hx=ex-x当x>0时，h'x>0；当-m<x<0则hx=ex-x所以hx=ex-x则0<m≤1，综上所述，m≤1.故答案为：B.利用已知条件变形得到x+ex≥lnx+m+elnx+m，令gx=x+ex，则gx≥glnx+m，再根据g8．【答案】A【解析】解：由题意，f（x）=设gx=xln当x>1e时，g'x>0；当0<x<1e时，g当x∈1e，112，11-xln11-x所以f（x）在1即ln3即ln8ln3<ln故答案为：A.先求函数f（x）=lnxln（11-x）9．【答案】A，C，D【解析】对于A，由an=lnxn+2xn对于B，因为xn>2，所以所以由（xn+1-由f（x）一方面，xn+1+2=（因此xn+1+2x对于CD，于是ln（xn+1所以数列{an}是以a1=1为首项，故答案为：ACD.利用已知条件结合牛顿数列的定义，由an=lnxn+2xn-2得x1=2e+2e-1；利用xn>2，所以f（xn）=xn2-4>0，所以，由10．【答案】A，B，C【解析】解：A、函数f（x）=-x当x∈（0，3π4）时，B、函数f（x）=lnx-2x，当x∈（0，3π4）时，C、对于f（x）=sinx+cosx，当x∈（0，3π4）时，x+π4∈对于D.对于f（x）=xe当x∈（0，3π4）时，故答案为：ABC．由题意，根据凸函数的定义，求出函数的二阶导导函数，逐项判断即可.11．【答案】B，D【解析】解：根据x∈（π根据-π解得12k-k为负整数时，ω的范围小于0，无选项；若k=0时，35<ω<32其中0<log232故答案为：BD。根据正弦函数的性质结合函数求出结论。12．【答案】1【解析】∵a=（-3∴cosθ=∴sinθ=12，故答案为：12利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，得出向量a与b的夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出向量a与b的夹角的正弦值，再利用向量积的模求解公式，进而求出向量a与b的向量积的模。13．【答案】（【解析】根据点A的坐标（1，-3））又因为旋转一周用时6秒，所以周期T=6，从而得ω=2π∴f（t）=2sin（π3t+φ）∴f（0）=2sin（π3×0+φ∴f（根据三角函数的性质，f（t）在5π2<π3t-π3≤9π2，解得故答案为：（172根据点A的坐标（1，-3））结合勾股定理可得圆周的半径旋转一周用时6秒，所以函数周期T=6，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出ω的值，再利用f（t）=2sin（π3t+φ），结合当t=0时，y=-3在函数图象上，再结合代入法和|φ|<π2，进而求出φ的值，进而求出函数14．【答案】5【解析】由题意可知xex－exlnx＋ex＞mx，即x－lnx＋1＞mxe令f（x）＝x－lnx＋1，f'（x）＝1－1x＝x-1当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．∴当x＝1时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（x）min＝f（1）＝2.令g（x）＝xex，则g'（x）＝ex当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．∴当x＝1时，函数g（x）取得极大值，即最大值，g（x）max＝g（1）＝1e∴{f（x）－mg（x）}min＝f（1）－mg（1）＝2－me＞0，得m＜2e∈（5，6）∴正整数m的最大值为5.故答案为：5.将ex－exlnx＋ex＞mx，转化为x－lnx＋1＞mxex恒成立．令f（x）＝x－lnx＋1、g（x）＝xex15．【答案】（1）解：由题意，平面向量m=可得函数f=2co所以函数f（x）令2x+π6=即函数f（x（2）解：由（1）知f（将函数f（x）的图象向左平移π再将y=2sin（2x+5π6因为函数g（x）经过点（θ，又因为θ∈（-π3，所以sin=【解析】（1）首先由数量积的坐标公式结合两角和的正弦公式，代入整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质即可求出周期以及对称轴方程。（2）结合函数平移的性质，由正弦函数的图和性质计算出cos（16．【答案】（1）解：∵m=（sinA-sin∴（sin∴（a-b）（a+b∴cosA=∵0<A<π，∴A=π（2）解：在△ABD中，由BD=3，A=得BD∵D是AC的中点，∴AD=∴c2+（b2∵b+2c=43∴（43）∴S△ABC∴△ABC的面积为33【解析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。（2）在△ABD中，由BD=3，A=π3和余弦定理，再利用D是AC的中点，得出AD=b2，进而化简得出（b+2c）217．【答案】（1）由a=（cosx，sinx∴f（x令2kπ-π≤2x+π3≤2kπ，k∈Z，解得kπ-2π3≤x≤kπ-∴f（x）的单调递增区间为（2）由（1）得f（x0又f（x∴cos2x0-3由x0∈（-π2，π2）可得cos∴函数y=tan（x0x【解析】（1）根据投影的性质可得f（x）=a→⋅b（2）由（1）得f（x0）=cos2x0-3sinx0cosx0，利用三角恒等变形可得f（x18．【答案】解：（1）由题知f（x）=ex+1+ax+a，（对函数f（x）求导后，由于y=ex+1恒大于0当a≥0时，f'（x）>0在R当a<0时，令f'（x在（-∞，ln（-a）-1∴f（x）在（-∞（2）当x≥0时，f（x-1）+ln令g（x）①若a≥-2，由（1）知，当a=-1时，f（x）故有f（即f（x）=e（由（1）可判断exg'（当且仅当x+1=1x+1，即x=0，且（根据ex≥1+x及基本不等式可知需对a和∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴②若a<-2，令φ（则φ'（x∴函数φ（x）∵φ（φ（∴∃x0∈则当0<x<x0时，φ（∴函数g（x）（构造函数φ（x）∴g（x0综上所述，实数a的取值范围是[-2，【解析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f（x）的单调性.（2）利用已知条件，将f（x-1）+ln（x+119．【答案】（1）解：由题f'x=1x+1所以fx为0（2）解：设函数fx=x1-x，则f'x=2-x2（1-x∴当n≥2时，1n即x1当且仅当x1∴hx最小值为a（3）证明：an=n两边取对数，即