概率论与数理统计 3.4 典型例题选讲

3.4典型例题

例3.4.1同一品种的5个产品中，有2个正品，每次抽取一个产品检验质量，不放回

地抽取，连续2次％=0表示第k次取到正品，％=1表示第k次取到次品(后1,2),求

(X，X?)的联合分布律。

解：分析试验结果共由4个基本事件组成，相应的概率为

21

P{Xx=0,X2=0}=P{X=0}P{X2=0|X,=O)=-X-=O.1

23

P{X1=0,X,=l}=-x-=0.3

32

P{X,=1,X2=0}=1x-=0.3

32

P{X,=l,X2=l}=|x-=0.3

故(XPX2)的联合分布律如下。

Y

X

01

00.10.3

10.30.3

例3.4.2两个随机变量X与y相互独立且同分布，且

p{x=-\}=p{Y=-\}=^p{x=i}=p{y=i}=l

则下列各式中成立的是()

(A)P{X=Y}=-(B)P{X=Y}=\

(C)P{X+Y}=^(D)P{xr=l}=l

解：

p{X=y}=p{X=-l,y=-l}4-p{X=l,y=l}

=p(x=-i)p{y=-i}+p{x=i}p{y=i}=-

正确选项为＜A)o

例343将〜枚硬币抛掷3次，以X表示3次中出现正面的次数，丫表示3次中出现

正面的次数与出现背面的次数之差的绝对值，试求X与丫的联合分布律与边缘分布律，并

判断x与丫是否相互独立。

解：X的可能取值为10,123},y的可能取值为{1,3},可得

Pn=P{X=0,Y=\}=P{X=0}P{Y=\\X=0}=0

%=P{X=O,Y=3}=P{X=O}p(r=3|x=o}=-

8

、、3

刍=p{x=Ly=l}=p{zx=l}P{y=3|x=o}=-

g

%=p{x=i,y=3}=p{x=i}p(y=3|x=i}=o

3=P{X=2,y=l}=P{X=2}P{Y=l|X=2}=；

%=P{X=2,y=3}=P{X=2}P{V=3|X=2}=0

P4]=P{X=3,r=i}=p{x=3}p{y=nx=3)=o

.2=P{X=3,y=3}=尸{X=3}P{Y=3\X=3}=-

故(X「X?)的联合分布律及边缘分布律如下。

Y

X

13Pi-

£

00

88

33

10

i8

33

20

88

£

30

88

3

—

P-i44

例344设X为随机变量，求证X与因不相互独立V

解：设X的分布律为P{X=_2}=g,P{x=l}=|；

则|X|的分布律为P{|X|=2}=1,p{|x|=l}=|；

JJ

p{x=-2,|x|=l}=0

I2

而P{X=-2}xP{|X|=l}=-x-^0

33

因此X与凶不相互独立。

例34s设两个随机变量X,y相互独立旦同一分布，X的分布律为

P{%=/}=!(/=1,2,3),又设M=max(X,y),N=min(X,y)。试求二维随机变量(MN)

的分布律和边缘分布律，并判断M与N是否相互独立。

解

%=p{M=l,N=l}=P{max(X,y)=l,min(X,Y)=l}

=P(X=l,r=l)=-!-xl=l；

I'339

%=P{M=l,N=2}=P{max(X,y)=l,min(X,y)=2}=0；

?=尸{M=1,N=3}=P{max(X,r)=1,min(X,y)=3}=0；

.=F{M=2,N=l}=P{max(X,Y)=2,min(X,Y)=l}

(11\2

=p(x=2,r=i}+p{x=i,r=2)=2-x-=-；

\jJjy

P22=P{M=2,N=2}=P{max(X,y)=2,min(X,y)=2}

=P[X=2,Y=2}=-x-=~；

i'339

&=p{M=2,N=3}=P{max(X,Y)=2,min(X,y)=3}=()；

%=P{M=3,N=l}=P{max(X,y)=3,min(X,r)=l}

Pn=P{M=3,N=2}=P{max(X,y)=3,min(X,y)=2}

2

P{X=3,y=2}+P{X=2,r=3)=2|lxl

\J3)y

P„=P{M=3,N=3}=P{max(X,V)=3,min(X,y)=3}

1

=P{X.3,y=3}・(；x；■o

9

故(MN)的分布律及边缘分布律如下。

N

M

123Pf

100

99

23

20

999

225

3

9999

53

1

P)999

因为〃22=[/6乂£,所以A/与N不相互独立。

(12、

例3.4.6设随机变晶X和丫相互独立，其中X的概率分布为x~八，而丫的

(0.3().7)

概率密度为人(y),求随机变量U=x+y的概率密度g(j)。

解：

FV(«)=p{uw〃}=P{X+ywu}

=P{X=1}叩W〃-l}+P{X=2}P{y2}

=0.3P{yWM-l}+0.7P{YWII-2}

=03Fy(u-\)+0.7Fy(u-2)

所以，g(〃尸片(〃)=0.3%(〃_1)+0.7%(〃_2)。

例3.4.7设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0<x<l)的条件下，随机

变量丫在区间(0万上服从沟匀分布，求：

(I)随机变量X和丫的联合概率密度函数;

(2)丫的概率密度函数；

(3)P(X+Y>I)。

解:

:幻：”的条件概率密度函数4x(用刈=«—>0<y<x

(1)fx(%)="x

U，央他

0,其他

则联合概率密度函数为

—>0<y<x<1

/(x，y)=/x(x)4x(ylx)=x

0,其他

(2)当0<)，<1时，万()，)=JJ(x,)，)dx=fLdi=-lny

-Iny,0<y<1

从而得A(>')='

0,其他

(3)P{X+Y>\}=jjf(x,y)dxdy=-dy=I-ln2

x+y>1-4

例3.4.8设随机变量X与y相互独立，X服从正态分布N(〃,/),

y服从卜兀，向上的均匀分布，试求z=x+y的概率密度函数。计算结果

用标准正态分布函数G(x)表示，其中。")=言］X上