广东省华南师大附中2023-2024年高三数学大湾区预测卷二（新高考1）试卷+全解全析

试卷第=page2222页，共=sectionpages2323页试卷第=page2323页，共=sectionpages2323页广东华南师大附中2023-2024高三数学大湾区预测卷二全解全析数学（新高考I卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：公众号：黑洞视角1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（本题5分）集合，若且，则满足条件的集合的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【分析】利用集合所包含子集的个数求解.【详解】因为，所以共有子集个，又且，所以共有个，故选：C2．（本题5分）已知复数满足：，则的最大值为（

）A．2 B．C． D．3【答案】B【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.【详解】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.3．（本题5分）如图，在平行四边形中，，，，点满足，则与夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：利用基底法解决向量数量积与夹角问题；解法二：建立直角坐标系，利用坐标法求得向量夹角.【详解】解法一：由题意可得，，则，，，故．解法二

如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，所以，，则．

故选：D.4．（本题5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解.【详解】由题意可得，由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以,故，由于，所以的最小值，故选：C5．（本题5分）若数列满足，则（

）A．28 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由递推关系式得到结果.【详解】由可得，，即，，即，，即，，即，所以，故选：B6．（本题5分）随着我国经济水平的不断发展，国家不断提高退休人员的养老金待遇．某省2023年退休人员基本养老金，采取定额调整、挂钩调整和适当倾斜相结合的办法．（1）定额调整：每人每月增加41元养老金．（2）挂钩调整：按以下两部分计算增加养老金，①按2022年12月本人基本养老金的1.25%确定月增加额；②按本人缴费年限分段确定月增加额，其中，对15年（含）以下的部分，每满1年，月增加1.2元，16年（含）以上至25年的部分，每满1年，月增加1.4元，26年（含）以上至35年的部分，每满1年，月增加1.6元，36年（含）以上至45年的部分，每满1年，月增加1.8元，46年（含）以上的部分，每满1年，月增加2元．（3）适当倾斜：2022年12月31日前，年满70周岁不满75周岁、年满75周岁不满80周岁和年满80周岁的退休人员，每人每月分别增加15元、30元和60元养老金．张女士今年57周岁，缴费年限是34年，2022年12月的基本养老金为3000元，则张女士2023年基本养老金的月增加额为（

）A．78.5元 B．124.9元 C．132.9元 D．147.9元【答案】B【分析】根据题意，按照阅读材料的计算办法，先算挂钩调整的部分：每月基本养老金的1.25%确定月增加额和按本人缴费年限分段确定月增加额，最后再加定额调整41元，计算即可.【详解】张女士年龄不满70周岁，没有“适当倾斜”的部分，只有定额调整41元和挂钩调整的两部分，其中按2022年12月本人基本养老金的1.25%确定的月增加额为（元）；按本人缴费年限分段确定的月增加额为（元）．因此张女士2023年基本养老金的月增加额为（元）.故选：B．7．（本题5分）若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求，，连接，求，利用余弦定理求，然后利用余弦定理求得双曲线的离心率，接着由椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1求得，最后结合求得，，即可写出椭圆C的方程.【详解】

由题，，又，，．，直线MN过点，，，，．在中，．设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为，在中，，，，．，，，，椭圆C的方程为.故选：A．【点睛】关键点睛：解决椭圆或双曲线的焦点三角形问题的关键是对椭圆或双曲线的定义及正、余弦定理的应用．8．（本题5分）已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围.【详解】由，可得，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即当时，，单调递增，所以当时，，所以若不等式的解集中只含有个正整数，即不等式的解集中只含有个正整数，又的定义域为，且，则，设，则，当时，，所以在上单调递减，且至多有一个解，所以若有且只有个正整数解则需满足，解得，现证当时，在上恒成立，由时，，即当时，，单调递减，所以当时，，综上所述，故选：C.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多选题（共20分）9．（本题5分）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（

）A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法【答案】ABC【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解.【详解】对于A，有种排法，故A正确；对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；对于D，有种排法，故D错误．故选：ABC10．（本题5分）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据正弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD11．（本题5分）正方体的棱长为4，分别为的中点，点到平面的距离为则（

）A．平面截正方体所得的截面面积为18 B．直线与平面平行C．直线与平面垂直 D．点到平面的距离为【答案】ABD【分析】利用线线平行得到截面，求面积判断选项A；由面面平行证明线面平行判断选项B；由线面垂直的性质，判断C选项；利用等体积法求点到平面的距离判断选项D.【详解】连接，如图所示，

因为正方体中，所以四点共面，所以四边形为平面截正方体所得的截面四边形，且截面四边形为梯形，又由勾股定理可得，，所以梯形为等腰梯形，高为，所以，故A选项正确；易知，又平面，平面，故平面，又，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，从而平面，故B选项正确；连接，若直线与平面垂直成立，则，

又，，平面，所以平面，所以，显然不成立，所以直线与平面不垂直，故C选项错误；由于，而，则，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：正方体内的线面位置关系和距离角度问题，要充分利用正方体的结构特征，特别是线面的平行垂直性质，对解题作用较大.12．（本题5分）已知且，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若恒成立，则C．若有两个零点，则D．若有极值点，则或【答案】ABD【分析】对于A，根据直接计算求解即可；对于B，根据反函数相关知识转化为恒成立，进而得到，转化为函数最值问题求解即可；对于C，通过同构转化为与有两个公共点，结合函数图象求解即可；对于D，通过转化为函数与有公共点，且不在极值处取得进行求解即可.【详解】对于A，，则，则，则，故正确.对于B，若，则，由于互为反函数，它们图象关于对称，所以只须保证恒成立即可，又因为，所以，故，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减所以，所以，故，故B正确.对于C，若，则与有且只有一个公共点，此时有奇数个零点，不符合题意，若，若有两个零点，则有两不等根，即，即有两个不等根，设，则，由于，且在时满足且单调递增，则等价于与有两个公共点，即有两实数根，故有两实数根，即与有两个公共点，因为当时，，当时，且，且，作图象如下：故，则，故C错误．对于D，若有极值点，等价于有变号零点．即有实根，即函数与有公共点，且不在极值处取得，因为若，则在单调递增，显然，值域为，与有交点；若，则令，当，单调递增，当，单调递减，．，，，则，因为，所以，则，故或，故D正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第II卷（非选择题）三、填空题（共20分）13．（本题5分）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则【答案】4【分析】利用方差的计算公式计算即可.【详解】因为数据中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，可知前后两组数据的平均数不变，不妨设为，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为，所以.故答案为：414．（本题5分）已知数列满足以下条件，①，；②数列既不是单增数列，也不是单减数列；③.则满足条件①②③的数列的一个通项为.（写出满足条件的一个数列即可）【答案】【分析】计算，分析条件③，写出满足条件①③的一个通项，验证②成立即可.【详解】由条件①得：，由条件③知，数列具有周期性，周期为2，于是有，，…，而，因此，，显然数列不是单增数列，也不是单减数列，所以满足条件①②③的数列的一个通项为.故答案为：15．（本题5分）在平面直角坐标系中，点F是双曲线（，）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与双曲线的左支交于点B．若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据条件与向量的坐标表示，依次求出的坐标，代入双曲线方程即可得解.【详解】因为双曲线（，），不妨设其半焦距为，在轴上方，所以，满足题意的渐近线为，所以，则直线为，联立，解得，即，设，则由，得，则，即，即，因为点在双曲线上，所以，整理得，则.故答案为：.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．16．（本题5分）若存在正实数满足，则的最大值为．【答案】/【分析】不等式变形，换元后得到，令，则，再令，求导得到其单调性，得到，从而，解得，得到故，，求导，得到单调性和最值，求出答案.【详解】存在正实数满足，不等式两边同除以得，令，则，即，令，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极大值，也是最大值，故，即，综上，，解得，故，，故，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值，也是最大值，最大值为.故答案为：【点睛】常见的不等式放缩有，，，，等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.四、解答题（共70分）17．（本题10分）已知在平面四边形中，，.(1)求的值；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在和中利用余弦定理表示出，即可得到方程，解得即可；（2）利用三角形的面积公式表示出，然后结合上一问条件求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，即.（2）依题意，，所以，又，所以当时取最大值（此时，该四边形符合题意），即的最大值为.18．（本题12分）已知等比数列的各项均为正数，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用等比数列基本量计算；（2）根据对数运算求得，由得证.【详解】（1）设的公比为，由知，，由得，.（2）证明：由题知，所以，.19．（本题12分）如图，在三棱锥中，分别是线段的中点，，.(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长度关系可利用勾股定理可证线线垂直，进而可利用线面垂直的判定求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）因为分别是线段的中点，所以，且.因为，所以.因为，所以，所以.又因为平面，且，所以平面.（2）因为是线段的中点，且有，所以是直角三角形，其中.由（1）可知平面，所以可以为坐标原点，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，设，则.则，所以.不妨设平面与平面的法向量分别为，则有即有令即令，此时有.则，整理得.因为，所以，即，所以.20．（本题12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；(2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求期望和方差.【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含但不包含”为事件，则.（2）由题意知的所有可能取值为，则；；；；.所以随机变量的分布列为：因此，，.21．（本题12分）已知曲线上任意一点的坐标满足.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于，两点，为平面内任意一点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据椭圆定义求出a和c的值，再求标准方程即可；（2）根据向量关系求得A、B、D三点关系，进而得到B点坐标和D点坐标满足，设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理解方程.【详解】（1）由题意可知，点轨迹满足到点和的距离之和为6，所以点轨迹是以和为焦点，长轴长为6的椭圆，所以，，，，所以曲线的方程为.（2）因为，所以，所以，设B点坐标为，D点坐标为，因为，所以，，由得：，①当直线的斜率不存在时，可求，，不满足题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得：，，所以，，因为，即，代入上式，所以①，，即②，①平方得，③，将②代入③得：，化简得，，所以，所以直线的方程为，即或，综上所述，直