初中数学专题《动点中的相似》含答案

初中专题06动点中的相似【小题热身】1．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（）A． B． C．或3 D．或42．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过_________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似．3．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．4．在平面直角坐标系中，A、B、C三点分别为A（﹣4，0）、B（﹣4，﹣4）、C（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP，垂足为P，则点P的坐标为_____．5．如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2．若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为_____．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____.7．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ=∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t=_____．8．如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．9．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个【磨刀霍霍】10．如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．11．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？12．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．（1）求证：（2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．14．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．15．如图，在中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒.（1）当为何值时，与相似？（2）当时，请直接写出的值.16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．17．在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t.求：（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2?（2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？18．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.

专题06动点中的相似【小题热身】1．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（）A． B． C．或3 D．或4【答案】C【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解.【详解】∵∠ACD=∠ABC，∴∠A=∠DCE，∵△DCE和△ABC相似，∴或∵AC=6，AB=4，CD=2，∴或∴CE的长为或3故选：C.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.2．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，如果P、Q两动点同时运动，那么经过_________秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与△ABC相似．【答案】【分析】首先根据题意表示出BP和BQ的长度，根据题意分两种情况讨论，当△BPQ∽△BAC时，根据列方程求解即可，当△BQP∽△BAC时，根据列方程求解即可．【详解】解：设运动的时间为t，则AP=t，BQ=2t，BP=4-t，当△BPQ∽△BAC时，∴，即，解得：；当△BQP∽△BAC时，∴，即，解得：；综上所述，t=2或．故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．3．如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．【答案】或．【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可【详解】解：在中，，，，，，∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，∴AP=A′P，设．①如图1中，当PA′∥AC时，，，，，，，∴；②如图2中，当PA′⊥AB时，，，∴，，，，∴，综上所述，满足条件的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键4．在平面直角坐标系中，A、B、C三点分别为A（﹣4，0）、B（﹣4，﹣4）、C（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP，垂足为P，则点P的坐标为_____．【答案】（﹣2，0），（2﹣2，0），（﹣2﹣2，0）【分析】画出相应的图形，构造相似三角形，利用对应边成比例，可以求出OP的长，进而确定点P的坐标．【详解】解：当点D在点A的上方时，即点D在线段OA上，如图1，由CP⊥DP，易证△PDA∽△CPO，∴,设OP＝a，则PA＝4﹣a，∴，解得a1＝a2＝2，∴点P1（﹣2，0），当点D在点A的下方时，此时点D在AO的延长线上，如图2，由CP⊥DP，易证△PDA∽△CPO，∴,设OP＝b，则PA＝4+b，∴，解得b1＝，b2＝（舍去），∴点P2（﹣2，0），当点D在点A的下方时，此时点D在OA的延长线上，如图3，由CP⊥DP，易证△PDA∽△CPO，∴，设AP＝c，则PO＝4+c，∴，解得c1＝，c2＝（舍去），∴PO＝4+c＝，∴点P3（，0），综上所述，符合条件的点P有三个，即：P1（﹣2，0），P2（，0），P3（，0），故答案为：（﹣2，0），（2﹣2，0），（﹣2﹣2，0）．【点睛】本题考查的知识点是平面直角坐标系内点的坐标，主要利用的是相似三角形的性质，解此题的关键是分三种情况分别讨论，综合性较强，对学生综合分析问题的能力有较强的要求.5．如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2．若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为_____．【答案】或4【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论列方程即可得到结论．【详解】解：若△OBF∽△ACB，∴，∴OB＝，∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2，∴AC＝4，AB＝2．又∵OF＝OE＝2，∴OB＝＝；若△BOF∽△ACB，∴，∴OB＝，∴OB＝＝4；综上，OB＝或4；故答案为或4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(16,0)和B(0,12)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是____.【答案】（0，6）（8，0）（，0）【分析】根据题意可以分情况进行讨论：①,②,③,根据三种情况进而求出点P坐标.【详解】解：根据题意可以分情况进行讨论：①此时：,因为,进而得出,，②此时：,因为,进而得出,，③此时：,因为,进而得出,,故答案为：，，.【点睛】本题考查的是相似的知识点，解题关键在于对不同情况的讨论.7．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ=∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t=_____．【答案】3或．【分析】分两种情形①如图1中，当PA＝PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．②如图2中，当QA＝QP时，作PE⊥AC于E．分别求解即可．【详解】①如图1中，当PA＝PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BC＝8，∴BF＝CF＝4，∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APQ＋∠QPC，∵∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠QPC，∴△BAP∽△CPQ，∴，∴，∴CQ＝，∵PA＝PQ，PE⊥AQ，∴AE＝EQ＝，∵cos∠C＝＝，∴，解得t＝3或13（舍弃）②如图2中，当QA＝QP时，作PE⊥AC于E．∵QA＝QP，∴∠QAP＝∠QPA＝∠C，∴PA＝PC，∵PE⊥AC，∴AE＝EC＝，由cos∠C＝，得到，解得t＝，综上所述，t＝3秒或秒时，△PQA是等腰三角形．故答案为3秒或秒．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．8．如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．【答案】或【分析】根据题意分情况讨论：①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，根据∽求出PE，②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，根据∽，求出，，则可得到，故而求出点点坐标.【详解】解：∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示：∵，，∴，∴∽，∵四边形是矩形，点的坐标为，∴点横坐标为﹣4，，，，∵∽，∴，即，解得：，∴点；②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，如图2所示：∵，∴，∴∽，∵四边形是矩形，点的坐标为，∴，，，∴，∴，∵∽，∴，即：，解得：，，∴，∴点；综上所述：点的坐标为：或；故答案为或．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.9．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个【答案】3【分析】设AP为x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：设AP为x，，，和PB是对应边时，与相似，，即，整理得，，解得，，和BC是对应边时，与相似，，即，解得，所以，当、4、时，与相似，满足条件的点P有3个．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．【磨刀霍霍】10．如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．【答案】3或【分析】设DE=x，则BE=BD-x=6-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABE∽△CDE，则；当时，△ABE∽△EDC，即；然后分别解方程求出x即可．【详解】解：设DE=x，则BE=BD-x=6-x，

∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，

∴∠B=∠D=90°，

∴当时，△ABE∽△CDE，即，

解得x=，

当时，△ABE∽△EDC，即，

整理得x2-6x+9=0，

解得x1=x2=3，

∴当DE为或3时，以，，为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．11．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少？【答案】s或4s．【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．12．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．【答案】作图见解析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论．【详解】解：点的坐标为，，，，．如图，当时，，即，，，；当时，，即，解得，，；当时，，即，解得，；综上所述，点坐标为：或或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．（1）求证：（2）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍；DP的长为8.【分析】（1）首先根据余角的等量转化，得出∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP，然后根据两角对应相等，两个三角形相似，即可判定；（2）首先假设存在这样的点，然后根据相似的性质得出CD：AP=PD：AE=2，即可得解.【详解】（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP．∴（两角对应相等，两个三角形相似）（2）假设存在这样的点P，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，∴CD：AP=PD：AE=2．又∵CD=AB=4，∴AP=2，PD=8，∴存在这样的P点，且DP长为8．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.14．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为______，点N的坐标为_____；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．【答案】（1）（10-t，0）；（0，2t）；（2）当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．【分析】（1）根据路程＝速度×时间可求解；（2）分两种情形列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10−t）cm，∴N（0，2t），M（10−t，0）；故答案为：（10−t，0）；（0，2t）；（2）因为∠MON=∠AOB=90°当=时，△MON∽△AOB即=，解得t=5当=时，△MON∽△BOA即=，解得t=2所以当t=5s或2s时，△MON与△AOB相似．【点睛】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．如图，在中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒.（1）当为何值时，与相似？（2）当时，请直接写出的值.【答案】（1）当或时，与相似；（2）【分析】（1）与相似，分两种情况：当时，；当时,.分情况进行讨论即可；（2）通过求出P,Q运动的时间，然后通过作为中间量建立所求的两个三角形之间的关系，从而比值可求.【详解】（1）由题意得，，①当时即解得：.②当时即解得：，（舍去）综上所述，当或时，与相似（2）当时，∵和等高，∴此时运动的时间为1秒则∵和等高∴∴∴.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．【答案】（1）△DAQ∽△APB，见解析；（2）y＝，2＜x＜2【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根据DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可证出△DAQ∽△APB；（2）根据△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y代入得出，y＝．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAP＝∠APB，∵DQ⊥AP，∴∠AQD＝90°，∴∠B＝∠AQD，∴△DAQ∽△APB；（2）∵△DAQ∽△APB，∴，∵AB＝2，四边形ABCD是正方形，∴DA＝2，∵PA＝x，DQ＝y，∴，∴y＝．∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA＝，又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，∴x的取值范围是；2＜x＜2．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例求出函数关系式．17．在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t.求：（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2?（2）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？【答案】（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm2．（2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过3或1.2秒钟，使△PBQ与△ABC相似．【分析】（1）根据路程=速度×时间即可用含t的代数式表示线段BP和BQ；若使△PBQ的面积为8cm2，根据三角形的面积公式得出方程，求出即可；（2）若使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可．【详解】（1）∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，∴AP=t，BQ=2t，∴BP=AB-AP=6-t；若使△PBQ的面积为8cm2，∵∠B=90°，∴BP×BQ=8，∴×（6-t）×2t=8，∴t1=2，t2=4，答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm2．（2）若使△PBQ与△ABC相似，∵∠B=∠B，第一种情况：当时，△PBQ与△ABC相似，即，解得：t=3，第二种