2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）·数学 标准模拟卷（二）

第2页，共SECTIONPAGES6页2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学标准模拟卷（二）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（） A. B. C. D.2.已知，则（） A..3 B. C. D.33.已知集合，，则（） A. B. C. D.4.已知，为实数，则“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在数列中，已知，若，，则（） A. B. C. D.6.设，，，则（） A. B. C. D.7.已知，则的值为（） A. B. C. D.8.已知球的半径为1，圆柱的上、下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在棱长为3的正方体中，点在棱上且，点在正方形内运动（含边界），若平面，则（） A.点的运动轨迹为线段 B.的最小值为 C.存在点，使得 D.过四点的球的表面积最小值为10.正方体棱长为4，，，下列说法中正确的有（） A.若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为 B.空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 C.平面截正方体所得截面多边形是直角梯形 D.平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则11.函数，，则下列结论正确的有（） A.若，则函数在上单调递减 B. C.方程可能无解 D.若为奇函数，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为______.13.在的展开式中，含的项的系数是______.14.已知数列共有6项，，.若，且，则这样的数列的个数为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求；（2）求的值域和单调递减区间.16.（15分）三棱锥中，，，，平面，，.（1）证明：直线平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.

17.（15分）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.（1）求的方程；（2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：.18.（17分）某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下2种方案：方案1：甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军.方案2：甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军.第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组；第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰；第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰；第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军.设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立.（1）如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率；（2）如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望；（3）采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明.

19.（17分）已知为坐标原点，点的坐标为，以为圆心的单位圆的上半部分（含端点）记为曲线，是上异于的任意一点.设，，弦的长与的长的比值记为.（1）求的最小值；（2）令，讨论的零点个数；（3）若恒成立，求实数的取值范围.第2页，共SECTIONPAGES6页2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学标准模拟卷（二）参考答案及解析一、单项选择题题号12345678答案DAAAACDC解析：1.解：集合，.求交集得.选D.2.解：.选A.3.解：，，则.选A.4.解：由，得，即，故充分性成立.反之，若，即，不能推出（例如），故必要性不成立.因此是充分不必要条件.选A.5.解：设，由条件得，故为等差数列.由得.公差，则，故.选A.6.解：，，.故.选C.7.解：由，得，.代入原式得.选D.8.解：设圆柱底面半径为，高的一半为，则.圆柱侧面积.由基本不等式，当且仅当时取等号.故.选C.二、多项选择题题号91011答案ABDABDABD解析：9.解：建系分析.由线面平行关系可确定的轨迹为线段，A正确.通过计算得到的最小值为，B正确.由垂直关系分析知不存在符合条件的，C错误.四点的球的表面积最小值为，D正确.选ABD.10.解：由正方体棱长4及比例关系，计算可得：A中轨迹为底面上线段，长度，正确.B中满足阿波罗尼斯圆的轨迹与正方体表面交线长度为，正确.C中截面多边形不是直角梯形，错误.D中体积计算得，正确.选ABD.11.解：A.时，，在上单调递减，正确. B.通过计算成立，正确. C.方程必有解，故C错误.D.若为奇函数，得，进而验证成立，正确.选ABD.三、填空题题号121314答案 2150解析：12.解：双曲线中，，故，.离心率.13.解：二项式的通项为.令，得.含的项的系数为.14.解：每项取，等价于两项和的范围限制.分类讨论满足且的序列个数.通过枚举或组合计数，得总数为50.四、解答题15.（13分）解：（1）.【评分细则】正确代入并计算得5分.（2）.所以的值域为.由，解得.所以的单调递减区间为.【评分细则】正确化简函数式得3分，求出值域得2分，求出单调递减区间得3分.共8分.16.（15分）解：（1）平面，平面，.又，，平面.【评分细则】证明线线垂直得3分，证明线面垂直得3分.共6分.（2）过点作，为垂足，可得平面.由题意计算得.以点为原点，以为轴，为轴，过平行于的直线为轴建系.求得相关点坐标，设平面的法向量为，直线的方向向量为.设直线和平面所成角为，则，代入坐标计算即可.【评分细则】正确求出建系所需长度并建系得4分，正确求出法向量和方向向量得3分，计算出线面角正弦值得2分.共9分.17.（15分）解：（1）因为点在直线上，所以.因为的渐近线方程为，所以，故.所以的方程为.【评分细则】求出得2分，求出得2分，写出方程得2分.共6分.（2）由，得，则.易知直线的斜率存在，设其方程为.与双曲线方程联立，由相切得，解得.求得切点，直线方程为.计算点到直线的距离.易知，所以.又点在内部，所以.【评分细则】求出焦点坐标得1分，设出直线方程并联立得2分，求出斜率得2分，求出点坐标得1分，利用距离相等完成证明得3分.共9分.18.（17分）解：（1）设“采用方案1甲获得冠军”，则.【评分细则】正确计算得4分.（2）设甲参与对阵的比赛场数为随机变量，则的可能取值为2,3,4.；；..【评分细则】正确分析随机变量取值并求出各概率得4分，正确计算期望得2分.共6分.（3）采用方案1甲获得冠军的概率为.采用方案2甲获得冠军的概率为.作差比较：.当时，，方案1更有利；当时，两种方案均可；当时，方案2更有利.【评分细则】正确求出两种方案的概率得3分，作差并因式分解得2分，正确分类讨论得2分.共7分.19.（17分）解：（1）由题意，.求导判断单调性，得在上单调递减.故最小值为.【评分细则】正确表示得2分，求导判断单调性得2分，求出最值得1分.共5分.（2），零点个数即直线与的交点个数.求导分析单调性和极值，可得：当时，无零点；当或时，1个零点；当时，2个零点.【评分细则】将零点问题转化为两函数交点问题得2分，正确求导并分析单调性极值得3分，正确分类讨论零点个数得2分.共7分.（3）不等式化为.令，求导研究单调性.分类讨论，，时的情况.最终得实数的取值范围是.【评分细则】正确构造新函数得2分，求导并二次求导分析单调性得2分，正确分类讨论得2分，求出最终结果得1分.共7分.

多维细目表（第三套）题型题号分值必备知识学科素养预估难度单选题15集合的运算、描述法与列举法数学运算易25两角和的正切公式数学运算易35集合的交集运算数学运算易45充分必要条件、不等式性质逻辑推理易55等差数列的判定与性质逻辑推理、数学运算中65指数、对数函数的单调性比较大小直观想象、数学运算易75二倍角公式、三角恒等变换数学运算、逻辑推理中85圆柱外接球、侧面积最值直观想象、数学运算中多选题96空间线面位置关系、轨迹、最值直观想象、逻辑推理难106空间向量、轨迹、截面、体积直观想象