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2020初等数论平时作业+课后习题+考试题库附完整答案

一、单项选择题（10题，每题2分）：1.A2.D3.B4.B5.A6.B7.B8.D9.B10.A二、填空题（10题，每题2分）：1.32.723.04.45.素数6.(a,m)|b7.x=3+5t,y=1-3t,t∈Z8.109.810.a对模m的阶三、判断题（10题，每题2分）：1.对2.错3.对4.对5.错6.对7.对8.错9.对10.对四、简答题（4题，每题5分）：1.证明：若a|b且b|c，则a|c。证明：因为a|b，存在整数k使得b=ak；又b|c，存在整数l使得c=bl。故c=bl=alk，即c=al·k，所以a|c。2.用辗转相除法求(100,23)：100=4×23+8；23=2×8+7；8=1×7+1；7=7×1+0，得(100,23)=1。正确性：辗转相除法利用(a,b)=(b,amodb)，最终非零余数为最大公约数，100与23互素，符合定义。3.证明：若(a,m)=1，则ax≡bmodm有唯一解。存在性：由裴蜀定理，存在x0,y0使ax0+my0=1，乘b得ax0b+my0b=b，故x0b是解。唯一性：若x1,x2为解，ax1≡ax2modm→a(x1-x2)≡0modm→m|a(x1-x2)，因(a,m)=1，故m|x1-x2，解唯一。4.欧拉定理：若(a,m)=φ(m)≡1modm，其中φ(m)是欧拉函数。应用：求3^100mod7，φ(7)=6，3^6≡1mod7，100=6×16+4，3^100≡(3^6)^16×3^4≡1×81≡4mod7。五、讨论题（4题，每题5分）：1.素数无限。假设有限素数p1,p2,...,pn，N=p1p2...pn+1有素因子q，q≠pi，矛盾，故素数无限。2.判断素数方法：若n≤1非素数，n=2素数，偶数非素数，否则检查√n内素数整除性。n=1001：√1001≈31.6，检查7：1001=7×11×13，非素数。3.解同余方程组：x≡1mod3,x≡2mod4,x≡3mod5。先解x=12m+10，代入x≡3mod5得12m+10≡3mod5→m≡4mod5，m=5n+4，x=60n+58，解为x≡58mod60。4.二元一次不定方程ax+by=c：-无解：(a,b)∤c，如2x+4y=1。-唯一解：

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