初中数学八年级下册第四章因式分解第1讲因式分解概念与提公因式法（核心素养课堂）

初中数学八年级下册第四章因式分解第1讲因式分解概念与提公因式法（核心素养课堂）

一、教学内容与课标解读

（一）【基础·本质】因式分解的概念

本章内容属于“数与代数”领域，是整式运算的延伸与逆用，也是后续学习分式化简、一元二次方程解法及函数性质的基石【2】。本节课的核心是引导学生经历从整式乘法到因式分解的逆向思维过程，深刻理解因式分解的本质——把一个多项式化为几个整式的积的形式。这种变形与整式乘法互为逆过程，是数学中的一种恒等变形【3】。教学时要特别注意辨析几个易错点：分解对象必须是多项式；分解结果必须是整式的乘积形式；分解过程必须是恒等变形；分解必须彻底，直到每一个因式都不能再分解为止【3】。

（二）【重要·方法】提公因式法的原理与步骤

提公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，其理论依据是乘法分配律的逆用【7】。所谓公因式，是指多项式各项都含有的公共因式，它既可以是单项式，也可以是多项式【1】。提公因式法的核心步骤分为“一找、二分、三提、四查”：首先要准确找出各项的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂）【9】；其次将多项式每一项都除以公因式，得到另一个因式；然后将公因式提到括号前，形成积的形式；最后检查提取后的因式是否还能继续分解，以及括号内各项是否还有公因式可提【3】。

（三）【难点·突破】符号变换与整体思想

当多项式中含有互为相反数的因式时，如何通过符号变形实现统一公因式，是本节课的重难点之一。例如(x-y)与(y-x)的关系，需要引导学生掌握：当n为偶数时，(x-y)^n=(y-x)^n；当n为奇数时，(x-y)^n=-(y-x)^n【1】。此外，将某个多项式整体视为一个“字母”进行换元处理，渗透整体代换思想，既简化了运算过程，也为后续学习更复杂的因式分解奠定了基础【1】。

二、学情分析与教学定位

（一）知识起点

学生已经熟练掌握了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及乘法公式【9】。这为理解因式分解的逆运算关系提供了认知基础。同时，小学阶段学习过的因数分解、提取公因数等方法，也可以通过类比迁移到因式分解的学习中【4】。

（二）认知特点

八年级学生正处于形式运算思维发展阶段，初步具备了逆向思维能力和符号意识，但对于抽象的恒等变形仍存在理解困难，尤其是在处理符号变换、整体替换等问题时容易出错【5】。因此，教学中应当多采用对比、观察、归纳的方法，帮助学生建立知识之间的联系，降低认知负荷。

（三）【高阶定位】核心素养指向

本节课着力培养的核心素养包括：通过从特殊到一般的归纳过程，培养数学抽象与逻辑推理能力；借助提取公因式的运算训练，提升数学运算的准确性与灵活性；通过图形拼图解释因式分解，渗透数形结合思想，增强几何直观【2】；将复杂的多项式问题转化为简单的乘积形式，培养转化与化归的思想方法。

三、教学目标设定

（一）知识与技能

理解因式分解的意义，能准确判断一个变形是否为因式分解；掌握确定多项式公因式的方法（系数、字母、指数）；能熟练运用提公因式法对简单的多项式进行因式分解；能处理公因式为多项式的情形，并掌握符号变换的技巧【5】。

（二）过程与方法

经历从整式乘法到因式分解的逆向探究过程，体会类比、转化的数学思想；通过小组合作、观察归纳等活动，探索确定公因式的规律；运用整体思想处理复杂多项式的因式分解问题。

（三）情感态度与价值观

感受数学知识之间的内在联系与和谐统一，体验逆向思维在解决问题中的价值；通过成功分解因式的过程，建立数学学习的自信心；培养严谨细致的运算习惯和追求彻底的探究精神。

四、教学重点与难点

（一）【高频考点】教学重点

因式分解概念的准确理解及其与整式乘法的关系辨析；公因式的确定方法及提公因式法的规范步骤。

（二）【难点】教学难点

当公因式是多项式时的符号变换技巧；提取公因式后，剩余因式的化简与整理；因式分解的彻底性原则的理解与落实。

五、教学实施过程

（一）情境导入——唤醒经验，逆向设疑

课堂伊始，教师呈现两组运算：第一组是整式乘法计算题，如m(a+b+c)=？，(x+1)(x-1)=？学生快速口答后，教师第二组呈现几个多项式，如ma+mb+mc，x^2-1，并提出问题：“你能将这些多项式反过来写成乘积的形式吗？”此时部分学生可能会联想到小学的因数分解经验，尝试写出m(a+b+c)和(x+1)(x-1)。教师顺势引导：这种将一个多项式化为几个整式乘积的变形，就是今天要学习的“因式分解”。接着，教师展示一个长方形拼图：两个小长方形，长分别为a和b，宽均为m，拼成一个大长方形。引导学生用两种方法表示大长方形的面积：一种是两个小长方形面积之和ma+mb，一种是大长方形的长乘以宽m(a+b)。从而直观感受ma+mb=m(a+b)的几何意义，为数形结合理解因式分解奠定基础【4】。

（二）概念建构——对比辨析，深化理解

教师板书因式分解的定义，并标注关键词：多项式、整式、积的形式。随即呈现一组变形式子，让学生判断哪些是因式分解，哪些不是，并说明理由。例如：①x^2-4=(x+2)(x-2)；②x^2+3x+1=x(x+3)+1；③x^2-2x+1=(x-1)^2；④2x(x-1)=2x^2-2x。学生在小组内讨论交流，教师巡视指导。全班交流时，重点引导学生辨析：②号式子右边不是积的形式；④号式子左边是乘积，右边是多项式，这是整式乘法，与因式分解正好是互逆过程。教师借助表格，将整式乘法与因式分解进行对比，帮助学生形成清晰的结构化认识：因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”，两者互为逆变形，是同一关系的两种表现形式【7】。最后强调因式分解的三个要素：【非常重要】分解对象是多项式，分解结果是整式乘积，分解过程要彻底【3】。

（三）方法探究——发现规律，归纳步骤

1.【基础·核心】认识公因式

教师呈现三个多项式：①ab+ac；②3x^2+6xy；③4m^3n-8m^2n^2+12mn^3。引导学生观察每个多项式的各项有什么共同点。学生发现每个多项式中的各项都含有相同的因式：①中有a；②中有3x；③中有4mn（或4m^2n？此处引导学生讨论确认系数取最大公约数4，字母取m和n，指数取最低的，即m^1和n^1，所以公因式是4mn）。教师板书公因式的定义，并总结确定公因式的“三定”法则：【重要】定系数（各项系数的最大公约数）、定字母（各项都含有的相同字母）、定指数（相同字母取最低次幂）【3】【9】。特别提醒：当多项式的首项系数为负时，通常将负号一并提出，使括号内首项为正【9】。

2.【操作·核心】提公因式

以多项式8a^3b^2-12ab^3c为例，师生共同完成提取过程。第一步，找公因式：系数8和12的最大公约数是4；相同字母有a和b；a的最低次幂是a^1，b的最低次幂是b^2，所以公因式是4ab^2。第二步，每一项除以公因式：8a^3b^2÷4ab^2=2a^2，-12ab^3c÷4ab^2=-3bc。第三步，写成乘积形式：8a^3b^2-12ab^3c=4ab^2(2a^2-3bc)。教师强调：【重要】提公因式后，括号内的项数应与原多项式的项数相同，这可以用来检查是否漏项。特别是当某项恰好是公因式时，提取后该项位置应为1，不能省略。例如3x^2-6xy+x的公因式是x，提取后应为x(3x-6y+1)，而不是x(3x-6y)【9】。

3.【难点·突破】首项为负的处理

呈现多项式-4m^3+16m^2-26m，引导学生思考如何处理首项的负号。学生讨论后明确：可以先提出负号，使括号内首项变正，再提取公因式；也可以直接提取公因式-2m。教师示范两种方法，并强调：提出负号时，括号内每一项都要变号【9】。最终结果为-2m(2m^2-8m+13)。

（四）进阶探究——公因式为多项式，符号巧变换

1.整体视角下的公因式

教师出示一组多项式：a(x-3)+2b(x-3)；2a(b+c)-3(b+c)；y(x+1)+y^2(x+1)^2。引导学生观察并找出各项的公因式。学生惊讶地发现，公因式不再是单项式，而是(x-3)、(b+c)、(x+1)这样的多项式。教师顺势指出：公因式既可以是一个单项式，也可以是一个多项式【1】。在提取时，可以将这个多项式看成一个整体，用字母代换的思想来理解。例如，设t=x-3，则原式变为at+2bt=t(a+2b)，再换回得(x-3)(a+2b)。这就是数学中的“整体思想”【1】。对于第三小题，y(x+1)+y^2(x+1)^2，公因式是y(x+1)，提取后第二个因式需进一步整理：y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(xy+y+1)。

2.【难点·热点】符号变换技巧

当多项式出现互为相反数的因式时，如何统一公因式成为关键挑战。教师呈现两组题目：

第一组：a(x-y)+b(y-x)；6(m-n)^3-12(n-m)^2。

第二组：(b-a)^2与(a-b)^2的关系；(x-y)^3与(y-x)^3的关系。

学生通过计算发现：(y-x)=-(x-y)；(n-m)^2=(m-n)^2（因为平方的非负性，相反数的平方相等）；(b-a)^2=(a-b)^2；(x-y)^3=-(y-x)^3。由此总结符号变换规律：【重要】当指数为偶数时，(a-b)^n=(b-a)^n；当指数为奇数时，(a-b)^n=-(b-a)^n【1】。运用这一规律，第一组题目可以顺利分解：a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)；6(m-n)^3-12(n-m)^2=6(m-n)^3-12(m-n)^2=6(m-n)^2[(m-n)-2]=6(m-n)^2(m-n-2)【1】。

（五）题型精讲——六大热点题型全覆盖

【题型一】因式分解概念的辨析

例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？①x^2-4=(x+2)(x-2)；②x^2+3x-4=x(x+3)-4；③(x+2)(x-2)=x^2-4；④x^2-2x+1=(x-1)^2；⑤x^2-2x-3=(x-3)(x+1)。【变式训练】给出几个易错变形，让学生快速判断并说明理由。重点强化：因式分解的结果必须是整式乘积形式；与整式乘法是互逆关系【3】。

【题型二】确定公因式

例题：指出下列多项式中各项的公因式：①4a^2b-6ab^2+8ab；②-3x^2y+9xy^2-12x^2y^2；③5(x+y)^3-10(x+y)^2。【变式训练】学生独立完成一组练习，交流确定公因式的过程，重点强化系数、字母、指数的确定规则【9】。

【题型三】单项式型公因式的提取

例题：分解因式：①8a^3b^2-12ab^3c；②3x^2-6xy+x；③-4m^3+16m^2-26m。【规范演示】教师板演完整步骤，强调每一步的注意事项，特别是“1”的处理和符号问题。学生独立完成对应练习，同桌互评【9】。

【题型四】多项式型公因式的提取

例题：分解因式：①a(x-3)+2b(x-3)；②2a(b+c)-3(b+c)；③y(x+1)+y^2(x+1)^2。【方法点拨】将多项式视为整体，用换元思想简化过程；提取后注意第二个因式的化简整理。对于第三小题，特别强调因式分解的彻底性，检查括号内是否还能继续分解【1】。

【题型五】符号变换型公因式的提取

例题：分解因式：①a(x-y)+b(y-x)；②6(m-n)^3-12(n-m)^2；③(a-b)^2(a+b)-(b-a)^2(b+a)。【难点突破】引导学生先观察各项中多项式因式的关系，判断是相等还是互为相反数，再根据指数奇偶进行符号变形，最后提取公因式。通过小组讨论、板演展示、纠错点评等方式，突破符号处理这一难点【1】。

【题型六】提公因式法的综合应用

例题1（整体求值）：已知a+b=7，ab=4，求a^2b+ab^2的值。分析：原式提取公因式得ab(a+b)，直接代入已知条件即可，体现整体代入的思想【1】。例题2（三角形形状判定）：已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a+2ab=c+2bc，试判断△ABC的形状。分析：通过移项、提取公因式得(a-c)(1+2b)=0，从而得出a=c，故三角形为等腰三角形【1】。例题3（整除性问题）：证明：3^2004-3^2003-3^2002能被45整除。分析：提取公因式3^2002，括号内化简得9-3-1=5，故原式=3^2002×5=3^2000×45，命题得证。通过这类问题，让学生感受因式分解在简化运算、解决实际问题中的价值【7】。

（六）课堂巩固与分层训练

【基础必做题】面向全体学生，巩固基本概念和基本方法。包括：判断因式分解正误；找出多项式的公因式；用提公因式法分解简单多项式。重点关注学生对定义的理解和提取步骤的规范性。

【综合提升题】面向中等及以上水平学生，融入符号变换、整体思想等要素。如：分解因式(x-y)^2-2(y-x)；已知x-y=2，xy=3，求x^2y-xy^2的值。

【拓展探究题】面向学有余力的学生，培养探究能力和创新意识。如：设计一个实际问题，需要用提公因式法解决；探究提公因式法与后续学习的公式法之间的联系等。

（七）课堂小结与反思

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。知识上：理解了因式分解的概念，掌握了提公因式法；方法上：学会了“三定”找公因式，掌握了符号变换的技巧；思想上：体会了逆向思维、整体思想、转化与化归等数学思想方法的价值。学生整理笔记，教师补充完善，形成知识结构图。

六、教学评价设计

（一）过程性评价

通过课堂观察、小组讨论、板演展示、即时问答等方式，及时了解学生的掌握情况，对共性问题集中