小学数学六年级下册“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题探究导学案

小学数学六年级下册“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题探究导学案

  一、课标依据与理念阐释

  本教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对小学第二学段“数与代数”领域的要求。课标明确指出，要引导学生“在实际情境中理解百分数的意义”，“能解决百分数的简单实际问题，形成数据意识和初步的应用意识”。本节课聚焦“求一个数比另一个数多（少）百分之几”这一核心问题，旨在超越传统教学中机械套用公式的局限，引导学生深度理解百分数作为“两个数量倍数关系”的表达本质。设计秉持“大单元整体教学”理念，将本课置于“百分数（二）”这一大单元的核心枢纽位置，前承百分数的意义与读写、百分数与分数小数的互化，后启与百分率、折扣、成数、利率等实际问题的综合应用。教学全过程贯穿“学为中心”思想，通过创设真实、富有挑战性的数据分析任务，驱动学生历经“发现问题、抽象模型、解释应用”的完整数学化过程，着力发展学生的数据意识、模型意识和应用意识，实现数学核心素养的落地。

  二、学情诊断与认知起点分析

  授课对象为六年级下学期的学生。其认知基础和潜在障碍分析如下：知识储备方面，学生已牢固掌握百分数的意义，能熟练进行百分数与分数、小数的互化，并已具备解决“求一个数是另一个数的百分之几”的扎实能力，理解“标准量”与“比较量”的初步概念。技能层面，学生拥有分数除法解决问题的经验，并能进行清晰的语言表述和关系分析。然而，从“求一个数是另一个数的百分之几”到“求一个数比另一个数多（少）百分之几”，存在显著的认知跃迁点。学生的主要认知障碍可能体现在三方面：一是概念混淆，易将“多（少）的量”与“多（少）的百分比”混为一谈；二是模型建构困难，难以自主从“相差关系”与“倍数关系”的交织中，抽象出“（比较量-标准量）÷标准量”或“比较量÷标准量-1”这一通用模型；三是标准量判断失误，在变式情境中无法准确识别作为比较基准的“标准量”。因此，本设计将通过搭建结构化、可视化的探究支架，帮助学生突破迷思，实现数学思维的深化与结构化。

  三、单元整体视域下的教学目标

  基于以上分析，确立以下三位一体、层次分明的教学目标：

  1.知识与技能目标：在解决“求一个数比另一个数多（少）百分之几”实际问题的过程中，自主归纳并理解该类问题的数量关系模型，能准确判断“标准量”，并熟练运用“（比较量-标准量）÷标准量”或“比较量÷标准量-1”的解题思路进行列式计算，实现解题策略的多样化与优化。

  2.过程与方法目标：经历从真实复杂情境中筛选信息、提出问题、分析数量关系、建立数学模型、解释应用与反思的全过程。通过合作探究、对比辨析、几何直观（如线段图、百格图）等多种学习方式，提升分析、综合、抽象、概括和迁移类推的数学思维能力。

  3.情感态度与价值观目标：感受百分数在描述现实世界增长、减少、比较等关系时的简洁性与力量感，体会数学与经济社会生活的紧密联系。在探究中养成严谨求实、敢于质疑、合作分享的科学态度，增强数据分析观念和应用数学解决实际问题的自信心。

  四、教学重难点剖析与突破预设

  教学重点：建构并理解“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题的数学模型，掌握其核心数量关系。

  教学难点：在复杂多变的现实情境中，准确辨别“标准量”（即“比”字后面的量），并灵活运用模型解决问题。理解“多（少）百分之几”实质是求“多（少）的量”占“标准量”的百分之几。

  突破策略：采用“情境锚定—多元表征—变式对比—结构化梳理”的突破路径。首先，以一个贯穿始终的、数据丰富的真实情境（如图书销售数据报告）作为认知锚点，使抽象的数学关系具象化。其次，引导学生运用线段图、语言叙述、数量关系式等多种方式表征问题，在多元表征的转换中深化理解。再次，设计一组具有对比性的变式问题，让学生在辨析中稳固“标准量”的识别能力。最后，引导学生将新知纳入“百分数解决问题”的知识结构中，形成系统认知。

  五、教学资源与环境准备

  1.数字化学习环境：配备交互式电子白板或智慧教室系统，支持实时数据投屏、学生作品展示、在线协作与即时反馈。

  2.探究学习材料：为每个学习小组准备“校园书店季度销售数据报告”学习任务单（内含多种图书的销售册数对比）、可粘贴的卡片、不同颜色的彩笔、用于画图的方格纸或白板。

  3.差异化学习支持包：为不同认知水平和进度的学生设计分层提示卡，内容从具体的操作指引（如“尝试先画出线段图”）到抽象的思路点拨（如“思考：比较的标准是什么？”）不等。

  4.评价工具：设计嵌入式课堂观察评价表、小组合作互评量规、以及包含基础、综合与拓展三个层次的课后练习纸。

  六、教学实施过程详案

  （一）课前预学：激活经验，自主提问（时间：课前一天）

  教师通过线上学习平台发布预学任务单。任务单一包含一个源自学生生活的真实情境微视频：展示本班上学期和本学期图书角藏书数量的变化（例如，上学期120本，本学期150本），并配有简单的数据图表。任务单设置两个核心问题：1.你能从这组数据中发现哪些数学信息？请用尽可能多的方式描述这两个数量的关系（如“本学期比上学期多30本”、“本学期是上学期的1.25倍”等）。2.关于这两个数量，基于百分数的知识，你还能提出什么数学问题？请把你的问题写下来。要求学生独立完成，并将自己的发现和问题上传至平台讨论区。

  设计意图：此环节旨在唤醒学生关于两个数量比较的已有知识（相差关系、倍数关系），并自然导向用百分数描述关系的需求。通过收集学生的预学成果，教师能够精准把握学生的真实认知起点和兴趣点，特别是他们自发提出的问题中，哪些已触及“多百分之几”的本质，哪些存在典型误区，从而为课中共学提供精准的学情依据和讨论素材。

  （二）课中共学：探究建模，深化理解（时间：40分钟）

  第一环节：情境导入，聚焦核心问题（预计时间：5分钟）

  教师首先呈现课前的微视频情境和数据，邀请几位学生分享他们用不同方式描述的数量关系，并对学生的多元表达予以肯定。接着，聚焦于讨论区中学生提出的一个典型问题：“本学期图书角藏书数量比上学期多百分之几？”教师将此问题板书于黑板中央，并宣告：“今天，我们就来深入探究这类‘求一个数比另一个数多（少）百分之几’的问题。”

  随后，教师切换至一个更具现实感和挑战性的主情境：“不仅是我们的图书角，生活中处处需要比较和分析数据。看，这是学校‘致远书屋’第一季度和第二季度部分图书的销售情况统计表（PPT呈现）。从这组数据中，你能提出哪些类似的比较问题？”引导学生观察数据（如《西游记》第一季度售出80册，第二季度售出100册；《草房子》第一季度售出50册，第二季度售出40册等），鼓励学生模仿提问，如“《西游记》第二季度销量比第一季度多百分之几？”、“《草房子》第二季度销量比第一季度少百分之几？”。教师选择两到三个问题并列板书。

  设计意图：从学生亲身参与的预学情境自然过渡，确立本课核心问题。引入更丰富的真实数据情境，一方面激发探究兴趣，另一方面为后续的变式与结构化探究提供充足素材。板书聚焦核心问题，目标明确。

  第二环节：合作探究，建构数学模型（预计时间：18分钟）

  此环节是本课的核心，采用“独立思考—小组协作—全班展评”的递进式探究模式。

  步骤1：任务驱动，初次探究。教师发布核心探究任务：“请选择统计表中的一组数据（如《西游记》的销售数据），解决‘第二季度比第一季度多百分之几’这个问题。要求：①独立尝试列式解答；②用你喜欢的方式（画图、文字、算式等）说明你为什么这样算；③思考还有没有不同的解决方法。”

  学生独立探究约5分钟。教师巡视，观察学生的不同思路和方法，收集典型做法（正确的和错误的）和困惑点，为后续的展评做准备。对有困难的学生，发放分层提示卡进行个别指导。

  步骤2：小组交流，优化方案。学生完成后，在4人小组内交流各自的解法、算理和困惑。小组目标：达成共识，形成至少一种清晰的解决方案，并准备向全班展示。教师深入小组，倾听讨论，引导组内相互质疑、补充，推动思维深化。

  步骤3：全班展评，辨析建模。教师邀请不同小组上台展示他们的探究成果。预计学生可能出现以下几种代表性方法：

  方法A：先求多出的册数，再求多出的占第一季度的百分之几。（100-80）÷80=20÷80=0.25=25%。

  方法B：先求第二季度是第一季度的百分之几，再减去100%（或1）。100÷80=1.25=125%，125%-100%=25%。

  方法C（错误或困惑）：直接用多出的20册除以第二季度的100册，得到20%。

  教师引导学生展开质疑与辩论：

  对方法A和方法B，提问：“这两种方法思路有何不同？结果为何一致？它们之间有什么联系？”引导学生发现，方法A是直接求“多的部分”与“标准”的关系；方法B是先求“新的整体”与“标准”的关系，再减去“标准本身”。通过算式变形，可以发现（100÷80-1）与（（100-80）÷80）是等价的。借助线段图进行直观演示：将第一季度的80册视为“标准量”（画一条线段表示），第二季度的100册是“比较量”（画一条更长的线段），多出的部分是“比较量”比“标准量”多出的部分。无论是先求多出部分（差量）再除以标准量，还是先求比较量是标准量的几倍再减去1，都是在求“多出的部分”占“标准量”的百分比。线段图的使用至关重要，它能将抽象的百分比关系可视化，帮助学生牢固建立“标准量”作为比较基准的表象。

  对错误方法C，这是本节课需要重点突破的认知误区。请持有此方法或对此有困惑的学生阐述理由，然后组织全班辩论：“用20除以100，求的是什么？（是第二季度比第一季度多的册数占第二季度销售量的百分比）这符合我们‘比第一季度多百分之几’的要求吗？我们到底是在跟谁比？（是跟第一季度比）所以应该以谁作为除数？（第一季度）”通过激烈的思辨，让学生深刻理解“求一个数比另一个数多百分之几”，关键是找准作为比较基准的“标准量”（即“比”字后面的量），所求的百分比是“多的量”占这个“标准量”的百分之几。

  步骤4：抽象概括，形成模型。在充分辩论和直观演示的基础上，教师引导学生共同总结解题的关键步骤和核心数量关系。师生共同提炼并板书模型：

  “求甲比乙多百分之几？”模型：（甲-乙）÷乙或甲÷乙-1（“1”代表100%的乙）。

  “求甲比乙少百分之几？”模型：（乙-甲）÷乙或1-甲÷乙。

  强调核心：都是“求相差数占标准量（乙）的百分之几”。

  设计意图：通过完整的探究循环，让学生亲身经历从具体问题到抽象模型的数学化过程。错误资源的暴露与辨析是本环节的亮点，它能直击认知痛点，通过深度辩论和几何直观（线段图）的双重作用，有效破除迷思，使正确模型的建构更加稳固和深刻。小组合作与全班展评培养了学生的数学交流与推理能力。

  第三环节：变式对比，内化模型（预计时间：10分钟）

  在学生初步建构模型后，设计一组具有对比性、层次性的变式练习，促使学生内化模型，提升识别“标准量”的敏锐度，并体会模型的普遍适用性。

  变式1（数据干扰）：学校合唱队男生有20人，女生有25人。（1）女生人数比男生多百分之几？（2）男生人数比女生少百分之几？

  追问：这两个问题都是25和20在比较，为什么一个用（25-20）÷20，另一个用（25-20）÷25？关键是什么？（找准“比”字后面的标准量）

  变式2（情境迁移）：一件商品原价200元，现价160元。现价比原价降低了百分之几？

  追问：“降低”对应模型中的哪个词？（“少”）标准量是什么？（原价）

  变式3（逆向思维，深化理解）：果园今年苹果产量是400吨，比去年增产25%。去年苹果产量是多少吨？

  此题为拓展题，供学有余力的学生挑战。引导学生分析：“比去年增产25%”是什么意思？（今年产量是去年的（1+25%））。谁是标准量？（去年的产量，未知）从而建立方程或除法算式求解。此变式旨在打破思维定势，深化对百分数关系模型中“标准量”核心地位的理解。

  学生独立或同桌协作完成变式练习，教师巡视指导。随后针对共性问题进行集中讲评，尤其强化在“比……多/少”的叙述中快速、准确锁定标准量的技巧。

  设计意图：通过变式训练，实现从“理解模型”到“熟练、灵活应用模型”的跨越。变式1强化标准量的判断；变式2促进模型在新情境中的迁移；变式3则从逆向角度考察学生对关系本质的理解深度，满足差异化需求。三个变式层层递进，巩固了模型的内化。

  第四环节：回顾梳理，勾连体系（预计时间：7分钟）

  教师引导学生一同回顾本节课的探索之旅：“我们是如何一步步解决‘求一个数比另一个数多（少）百分之几’这个问题的？”通过思维导图或结构化板书的形式，对学习过程进行梳理。重点将新知与旧知建立联系：

  “求一个数是另一个数的百分之几”（比较量÷标准量）——基础。

  “求一个数比另一个数多（少）百分之几”（（比较量-标准量）÷标准量）或（比较量÷标准量-1）——发展。

  强调它们的本质都是求“一个量”是“另一个量（标准量）”的百分之几，只是前者是直接比较，后者是比较“变化量”或“倍数关系差”与标准量的关系。

  最后，将本节课内容定位于“百分数（二）”大单元的知识网络中，点明后续学习的折扣、成数、税率、利率等问题，其核心数量关系分析都离不开对百分比意义的深刻理解和此类比较模型的灵活运用。

  设计意图：引导学生进行反思性学习，促进认知结构化。通过将新知纳入已有的知识网络，帮助学生构建关于百分数解决问题的系统性、整体性认知图式，为后续学习奠定坚实的基础，体现大单元教学的整体效益。

  （三）课后延学：分层应用，拓展思维

  设计分层、可选的课后延学任务包，供学生根据自身情况选择完成（至少完成A层）：

  A层（基础巩固与应用）：完成教材配套的基础练习题，重点巩固模型的应用和标准量的判断。并寻找生活中的2个实例，仿照例题编成“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的数学问题并解答。

  B层（综合实践与调查）：以小组为单位，选择一个感兴趣的议题（如“家庭每月用电量变化”、“社区居民健身方式选择”等），设计简单调查，收集至少两组对比数据，用本节课所学知识撰写一份简短的“数据分析报告”，说明其中一项数据比另一项多（或少）百分之几，并尝试简要分析原因。

  C层（思维挑战与跨学科联系）：研究一段经济或科技新闻中出现的增长率、下降率数据（例如，“某公司第一季度利润同比增长8%”、“新能源汽车销量环比下降5%”），查阅资料或请教他人，理解“同比”、“环比”的含义，并尝试解释这些百分比数据是如何计算出来的，它们反映了怎样的比较关系。

  设计意图：延学任务体现了分层与开放的原则，兼顾了基础巩固、综合实践和思维拓展。将数学学习从课堂延伸到生活与实践，进一步强化数据意识、应用意识和跨学科联系，满足不同学生的个性化发展需求。

  七、板书设计规划

  板书采用结构式与过程式相结合的设计，力求清晰呈现探究路径与核心知识结构。

  （左侧区域：核心问题与情境）

  主问题：求一个数比另一个数多（少）百分之几？

  情境：《西游记》销售数据：第一季度80册，第二季度100册。

  （中部区域：探究过程与模型）

  1.学生方法展示区：（预留空间粘贴学生探究卡）

  2.线段图示范：（画出直观的线段对比图）

  标准量（第一季度）：|————|(80)

  比较量（第二季度）：|——————|(100)

  多出部分：|——|(20)

  3.核心模型提炼：

  “求甲比乙多百分之几？”模型：（甲-乙）÷乙（关键：找标准量“乙”）

  或：甲÷乙-1（100%）

  “求甲比乙少百分之几？”模型：（乙-甲）÷乙

  或：1（100%）-甲÷乙

  本质：求“相差的量”是“标准量”的百分之几。

  （右侧区域：知识联系与结构）

  旧知链接：求一个数是另一个数的百分之几→比较量÷标准量。

  新知定位：百分数问题解决模型家族的重要成员。

  后续方向：折扣、成数、利率……（应用模型）。

  八、教学评价设计

  本课实施“嵌入式”多元评价，贯穿教学全过程：

  1.过程性评价：通过课堂观察（使用观察记录表），评价学生在独立思考、合作探究、表达交流等环节的参与度、思维水平和合作精神。重点关注学生在探究中是否能主动运用画图策略、能否清晰表达算理、在辨析中能否提出有见地的观点。

  2.作品性评价：对学生的预学单、课堂探究任务单、课后延学作品（如数据分析报告）进行评价，分析其对模型的理解深度、应