高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末综合提升教师用书 人教A版必修第一册

第2章章末综合提升类型1不等式的性质及应用1．本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养．【例1】(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B或A>B D．A>B(2)(多选)(2022·江苏省新海高级中学月考)若a，b，c∈R，a<b<0，则下列不等式中正确的是()A．1a>1b B．abC．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)<b(c2＋1)(3)已知2<a<3，－2<b<－1，则ab的取值范围为________．(1)B(2)AD(3)－6<ab<－2[(1)∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝a-12b2＋34b(2)对于A，因为a<b<0，所以1a－1b＝b-aab对于B，因为a<b<0，所以ab>b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a|c|＝b|c|，故C错误；对于D，由c2＋1>0，a<b<0，可得a(c2＋1)<b(c2＋1)，故D正确；故选AD．(3)因为－2<b<－1，所以1<－b<2，又因为2<a<3，所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2．]类型2基本不等式及其应用1．基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤a+b222．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．【例2】(2022·河北保定市第一中学月考)求下列函数的最值．(1)若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求4a+1＋(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋1x[解](1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2，∴4a+1＋1b＝124＝126+8ba+1+a当且仅当∴4a+1＋1b(2)∵x<1，∴1－x>0，∴y＝4(x－1)＋1x-1＋5＝－4当且仅当4(1－x)＝11-x，即x∴y的最大值为1．类型3一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一是图象的开口方向，二是是否有根，三是根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．2．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．【例3】(2022·河北石家庄外国语学校月考)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．(1)当a<0时，若ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b<x<1}，求实数a，b的值；(2)当a>0时，求关于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集．[解](1)由题意知，b和1为ax2＋3x＋2＝0的两个根，将x＝1代入方程可得，a＋3＋2＝0，即a＝－5，由根与系数的关系可知，b×1＝2a，故b＝－2故a＝－5，b＝－2(2)由题意可知，ax2－3x＋2>x－1⇔ax2－4x＋3>0，从而Δ＝16－12a，且a>0，由二次函数可知，y＝ax2－4x＋3的图象开口向上，①当Δ＝16－12a<0，即a>43时，不等式的解集为R②当Δ＝16－12a＝0，即a＝43时，不等式ax2－4x＋3＝13(2x－3)2>0的解集为③当Δ＝16－12a>0，即0<a<43ax2－4x＋3＝0的解为x1＝2-4-3aa，故ax2－4x＋3>0的解集为x综上所述，当a>43时，ax2－3x＋2>x－1的解集为R当a＝43时，ax2－3x＋2>x－1的解集为x当0<a<43时，ax2－3x＋2>xx类型4不等式在实际问题中的应用1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．2．利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．【例4】(2022·广东深圳实验学校高中部月考)某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，当年促销费用t＝0万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销售完．(1)求x关于t的函数；(2)将下一年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)[解](1)由题意：3－x与t＋1成反比例，所以设3－x＝kt+1(k将t＝0，x＝1代入，得k＝2，所以x＝3－2t+1(t(2)当年生产x(万件)时，年生产成本为：32x＋3＝323-当销售x(万件)时，年销售收入为：150%323-2t+1由题意，生产x万件产品正好销售完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以y＝150%323-2t+1+3＋1即y＝-