【2026高考】数学-计算能力强化训练（综合卷）

2/22026年高考数学计算能力强化训练综合卷TOC\h\z\t"标题,1"综合卷 1参考答案与解析 9多维细目表 15提速技巧 16注意事项：1.训练目标：本卷旨在提升中等水平学生的复杂运算处理能力和计算稳定性.题目数据包含整数、分数、根号的混合运算，计算步骤控制在3-6步，侧重于公式变形、多步代入及含参问题的常规讨论.2.训练时间：建议用时120分钟，请合理分配时间，确保计算准确.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则() A. B. C. D.2.若(为虚数单位)，则() A. B. C. D.3.在正方形ABCD中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则() A. B. C. D.4.已知集合，，则() A. B. C. D.5.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则() A. B. C. D.6.若双曲线的离心率为，则的值为() A. B. C.3 D.27.已知i为虚数单位，复数满足，则() A. B. C. D.8.将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则() A.100 B.441 C.121 D.361二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知在棱长为1的正方体中，为侧面内一点(包含边界)，则下列结论正确的是() A.若平面，则的最大值为 B.若点在线段上，则的最小值为 C.存在点，使得点和点到平面的距离相等 D.三棱锥外接球的体积的最小值是10.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，为正八边形的中心，则() A. B. C. D.11.已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是() A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的右焦点为，过原点的直线交于，两点，且.若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______.13.已知直线，，若圆的圆心在轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆的方程为______.14.已知数列的前项和为，若，，则______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：参考数据：，，，.参考公式：相关系数年份12345678910研发投入（亿元）12.112.511.312.413.111.511.011.312.612.2营业额（亿元）650680620660695640600630665660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与的关系可以用线性回归模型来拟合，利用该模型预测当研发投入为13.5亿元时，该公司今年的营业额.

16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值.

17.（15分）某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：等待时间（分钟） 频数（人）2014106 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中e是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.

18.（17分）已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点(在第一或第四象限)，过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. （1）求椭圆方程； （2）轴上有一点，，求直线的斜率； （3）若直线与轴交于点，求直线的斜率.

19.（17分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案与解析一、单项选择题题号12345678答案CAACADBD1.【解析】集合，故.集合.所以.故选：C.2.【解析】由题得.所以.故选： A.3.【解析】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系.则...故选： A.4.【解析】根据集合交集的定义，在数轴上表示出集合A和B，它们的公共部分是.故选：C.5.【解析】由及奇函数性质，得，进而周期为4.所以.因为是奇函数，.当时，，所以.因此.故选： A.6.【解析】双曲线中，，则.离心率.两边平方得，即，解得.因为，所以.故选：D.7.【解析】.故选：B.8.【解析】数列的项是所有正奇数.数列的项是完全平方数.它们的公共项是奇数的平方，即数列的通项为.所以.故选：D.二、多项选择题题号91011答案ACDACDABD9.【解析】A项，点M轨迹为线段，当M在时DM最大为，正确.B项，将侧面展开，的最小值为，错误.C项，当M在线段AD上时，由于，故点C和点B到平面距离相等，又平分，故A1和B距离相等，从而A1和C距离相等，正确.D项，三棱锥外接球球心在线段上，通过计算得当M为时半径最小为，体积最小为，正确.故选：ACD.10.【解析】A项，由正八边形性质和向量加法，，正确.B项，（M为AC中点），不等于，错误.C项，在中计算，正确.D项，连接EB，则，故，正确.故选：ACD.11.【解析】由，故，A正确.由平方得.又，故，B正确.C项，取，满足条件但不成立，错误.D项，分类讨论易知恒成立，正确.故选：ABD.三、填空题题号121314答案 12.【解析】由双曲线和直线的对称性，可得.又，所以在中，.由斜率为，得，所以为等边三角形，.连接左焦点，则为直角三角形，且.由双曲线定义，，而，所以.在中，，所以.代入得，所以离心率.13.【解析】设圆心.圆与两直线相切，则圆心到两直线距离相等，即.化简得，解得或(舍去).半径.圆C的方程为.14.【解析】当时，，即.设，则，变形为.又.所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.故，即.取，得.四、解答题15.【答案】（1）12亿元，650亿元；（2）0.96；（3）710亿元【解析】(1)【步骤分值：计算x均值2分，计算y均值2分，共4分】平均每年的研发投入（亿元）.平均每年的营业额（亿元）.(2)【步骤分值：代入公式2分，计算结果2分，共4分】由相关系数公式得：.(3)【步骤分值：解释回归模型1分，代入x值2分，计算结果2分，共5分】已知线性回归模型为.将代入回归方程，得（亿元）.故预测该公司今年的营业额为710亿元.16.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)【步骤分值：证明线面垂直3分，由线面垂直证面面垂直2分，共5分】设为的中点，连接.因为为中点，所以且.又底面为矩形，且，所以，且，故与必相交.因为，为中点，所以.又已知，所以平面.因为平面，所以.又，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)【步骤分值：证PO垂直底面并建系3分，求各点坐标2分，求法向量3分，求夹角余弦2分，共10分】取中点，连接.因为，所以为等边三角形，.又平面平面，交线为，所以平面.以为原点，(过O平行于AB),所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.由题意，直线与平面所成角的正切值为2，即，设，则，.则.平面的法向量.设平面的法向量为，.由，取.设平面与平面夹角为，.17.【答案】（1）7.7分钟；(2)（i）证明见解析；（ii）元【解析】(1)【步骤分值：正确使用组中值2分，加权平均计算2分，共4分】平均等待时间分钟.(2)(i)【步骤分值：写出概率表达式2分，条件概率公式展开并化简3分，共5分】由题意，.由条件概率公式，.得证.(ii)【步骤分值：利用(i)求Y>10概率2分，求Y≤10概率2分，计算期望2分，共6分】由(i)知，.所以.所以交通费用的期望为(元).18.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1)【步骤分值：利用离心率和a,b,c关系1分，利用AB长求c2分，得方程2分，共5分】由题意，，所以.上顶点，右顶点.由，解得.所以.椭圆方程为.(2)【步骤分值：设出直线方程2分，联立求P点坐标3分，联立求Q点坐标2分，利用垂直斜率关系求k3分，共10分】由(1)知.设直线方程为(k<0).联立，消y得.解得，.直线方程为，联立椭圆得，.由，则..由，则，代入解得(舍去因为此时P不在第一/四象限).(3)【步骤分值：利用平行线分线段成比例2分，代入坐标得方程2分，解方程得斜率3分，共7分】因为，所以.已知，，所以.所以.代入的表达式，得（注意k<0，所以为正，为正）.化简得，两边平方并整理得，解得或(舍).因为，所以.19.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】(1)【步骤分值：求导2分，解不等式求单调区间3分，共5分】函数定义域为..令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.(2)【步骤分值：等价变形不等式3分，构造函数并判断单调性4分，分离参数求最值5分，共12分】不等式等价于，即.构造函数，其在R上单调递增.则不等式可化为，从而.分离参数得对任意恒成立.由(1)知，.所以，即的取值范围为.

多维细目表题型题号分值必备知识易错类型单选题15集合的补集与交集运算忽略对数定义域单选题25复数的四则运算与模分母实数化错误单选题35平面向量数量积与夹角向量坐标运算错误单选题45集合的交集运算忽略端点取舍单选题55函数的奇偶性与周期性周期计算错误单选题65双曲线的离心率a,b,c关系与公式混淆单选题75复数的除法运算复数乘法计算出错单选题85数列的通项与公共项公共项规律找错多选题96立体几何中的动点最值空间想象不足，计算量大多选题106平面向量的线性运算与数量积向量分解与夹角判断多选题116不等式性质与基本不等式绝对值处理不当填空题125双曲线的离心率几何性质挖掘不足填空题135圆的标准方程点到直线距离公式应用填空题145数列的递推与求和构造新数列能力弱解答题1513统计（线性回归与相关系数）公式记忆与代入计算解答题1615立体几何（面面垂直、二面角）建系坐标与法向量计算解答题1715概率统计（条件概率与期望）条件概率公式应用解答题1817解析几何（椭圆方程与斜率）直线与椭圆联立计算解答题1917导数（单调性、恒成立、同构）分类讨论与构造函数

提速技巧一、单选题提速技巧题号典型题类型易错点/计算难点提速技巧1集合补集与对数定义域补集求解错误；对数真数大于0遗漏先解每个集合的不等式，再画数轴进行交并补。特别注意：对数函数定义域永远是真数>0。2复数模长分母实数化后忘记求模；模长公式用错复数的模长。先化简为代数形式再求模。3向量数量积求角建系坐标算错；数量积公式与向量模计算几何图形中求角，优先建系用坐标法。，注意向量方向。4集合交集区间端点取舍交集取公共部分。端点是否取等，看原不等式是否带等号。5函数奇偶性与周期求值周期推导错误（推周期4）由结合奇偶性推周期。奇函数：，周期T满足。6双曲线离心率双曲线a,b,c关系记错（）双曲线中，椭圆中。离心率。7复数除法复数乘法计算出错（i²=-1）复数除法分子分母同乘分母的共轭复数。计算时注意i²=-1。8数列公共项公共项规律找错（奇数的平方）列举前几项找规律。两个数列的交集，先分析各自特征（奇偶性、幂次等），再归纳通项。二、多选题提速技巧题号典型题类型易错点/计算难点提速技巧9立体几何动点最值轨迹判断；侧面展开图计算；外接球半径计算正方体动点问题，常用展开图求最短路径，用坐标法或几何法求轨迹。外接球半径找球心到各顶点距离相等。10平面向量线性运算向量分解；正八边形中的角度与长度关系多边形中向量运算，利用中心对称性和边长关系。数量积可用投影或坐标法。11不等式性质绝对值处理不当；平方后范围变化等价于且。涉及平方时，注意符