2025-2026学年湖南省长沙实验中学高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙实验中学高二（下）第一次段考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知数列{an}为正项等比数列，若a3=16，a5=1，则a4=（）A.±4 B.4 C.-4 D.22.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.f（x）在区间（x1，x3）上单调递减

B.f（x）在x=x5处取得极大值

C.f′（x）在区间（x3，x4）上单调递减

D.f′（x）在x=x6处取得极小值3.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A.P（X=1）=E（X） B.E（4X+1）=4

C. D.D（4X+1）=44.已知二项式（2x-1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（）A.-80 B.80 C.-160 D.-1205.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（）A.120种 B.96种 C.72种 D.48种6.已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=9关于直线l：ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A.1 B.2 C.4 D.87.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线与C的右支交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，，则C的离心率是（）A. B. C. D.8.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设，则（）A.a0+a1+⋯+a5=728

B.a3=160

C.（2+x）12的展开式中含x2项的系数为64a2

D.a0+a2+a4+a6=36510.已知等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn，若S7=S14，下列论断中正确的有（）A.S21=0 B.若d＞0，a6+a11＞0

C.若d＜0，|a6|＞|a13| D.当n=10或11时，Sn取得最大值11.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.A，B是相互独立事件 B.事件A，B互斥

C.P（A+）=P（B） D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有

个.13.平行于x轴的直线交抛物线C1：y2=2x于点P1，交抛物线C2：y2=8x于点P2，记抛物线C1和C2的焦点分别为F1和F2，若|P1F1|=|P2F2|，则四边形F1F2P1P2的面积为

.14.已知函数f（x）=ax2-2lnx.若对∀x∈[1，3]，都有恒成立，则a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1=4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.16.(本小题15分)

已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°.

（1）求证：平面PAC⊥平面CDQ；

（2）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.17.(本小题15分)

某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为pn.

（1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率；

（2）证明：数列为等比数列；

（3）已知餐厅连续运营一个月（30天）后，到两个餐厅用餐的人数趋于稳定.若该校共有约3000学生在餐厅用餐，为了节约粮食减少浪费，两个餐厅每天各自应该预备多少人的用餐量？18.(本小题17分)

如图，设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l与圆A交于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（1）求点E的轨迹方程；

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点.

（ⅰ）证明：为定值；

（ⅱ）求四边形MPNQ面积的取值范围.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=a（2-x）ex，g（x）=（x-1）2．

（1）若曲线y=g（x）的一条切线经过点M（0，-3），求这条切线的方程．

（2）若关于x的方程f（x）=g（x）有两个不相等的实数根x1，x2．

①求实数a的取值范围；

②证明：x1+x2＜2．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】AC

12.【答案】240

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由​​​​​​​可得，当n≥2时，an=2Sn-1+4，

以上两式相减可得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，

即an+1=3an，

当n=1时，a2=2S1+4=12，满足a2=3a1，

所以数列{an}是以4为首项，3为公比的等比数列，

故;

（2），

，

，

两式相减，得

=

=-2+（2-2n）×3n，所以．

16.【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，

AD=2AB=2，可得AD=2，AB=1，∠ABC=60°，底面ABCD是平行四边形，

所以BC=AD=2，

由余弦定理可得AC===，

可得AB2+AC2=BC2，

所以∠BAC=，即AC⊥AB，

可得AC⊥CD，

而AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC，

因为CD⊂平面QCD，

所以平面PAC⊥平面CDQ；

（2）由（1）可得，以A为坐标原点，以AB，AC，AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，PA=3DQ=3，可得DQ=1，

则A（0，0，0），P（0，0，3），C（0，，0），D（-1，，0），Q（-1，，1），

设平面PCQ的法向量为=（x,y,z），

=（0，-，3），=（-1，0，1），

则，即，

令x=1，

可得=（1，，1），

设线段PC上存在点M，满足条件，

设=λ=λ（0，，-3）=（0，λ，-3λ），λ∈[0，1]，

所以M（0，λ，-3λ+3），则=（0，λ，-3λ+3），

所以•=0+3λ-3λ+3=3，||==，||==，

所以cos＜，＞==，

直线AM与平面PCQ所成的角为θ，θ∈[0，]，

则sinθ=|cos＜，＞|，

又因为直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，即sinθ=，

所以=，

整理可得：2λ2-3λ+1=0，

解得λ=或λ=1．

所以=或1．

所以存在这样的M点满足条件．

17.【答案】解：（1）设Bi=“同学甲第i天选择B餐厅”，i=1，2，3，…，n，

根据题意可知：，

根据全概率公式可得P（B2）=P（B1）P（B2|B1）+P（）P（B2|）

==，

即同学甲第二天选择B餐厅的概率为；

（2）证明：设Bn=“甲第n天选择B餐厅”，

则Pn=，

当n≥2时，由全概率公式可得pn=P（Bn）=P（BnBn-1）+P（Bn）

=P（Bn-1）P（Bn|Bn-1）+P（）P（Bn|）

=，

所以Pn=-+，

所以，且，

所以是以为首项，为公比的等比数列；

（3）由（2）知：，

所以，

所以，即30天后一个学生选择B餐厅的概率约为，

设3000名学生选择B餐厅的人数为X，X～B（3000，），

3000名学生中选择B餐厅的平均人数约为（人），

选择A餐厅的人数为3000-1800=1200（人），

所以A、B餐厅应分别准备1200、1800人的用餐量．

18.【答案】）

（i）证明见解析；（ii）

19.【答案】解：（1）由题意得y=g（x）的切线的斜率一定存在，

设所求的切线方程是：y=kx-3，

由，得x2-（2+k）x+4=0，

∵切线和抛物线相切，

∴△=（2+k）2-16=0，解得：k=2或k=-6，

故所求切线的方程是：2x-y-3=0或6x+y+3=0；

（2）①由f（x）=g（x），得g（x）-f（x）=0，

设h（x）=g（x）-f（x）=a（x-2）ex+（x-1）2，

则h′（x）=a（x-1）ex+2（x-1）=（x-1）（aex+2），

由题意得函数h（x）恰有2个零点；

（i）当a=0则h（x）=（x-1）2，h（x）只有1个零点1；

（ii）当a＞0时，由h′（x）＜0得x＜1，

由h′（x）＞0，解得：x＞1，

即h（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，

而h（1）=-ae＜0，h（2）=1，

∴h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，且该零点在（1，2）上，

取b＜0且b＜ln，

则h（b）＞（b-2）+（b-1）2=b（b-）＞0，

故h（x）在（-∞，1）上有唯一零点，且该零点在（b，1）上，

故a＞0，h（x）恰好有2个零点；

（iii）当a＜0时，由h∩′（x）=0，解得：x=1或x=ln（-），

若a=-，h′（x）=-（x-1）（ex-e）≤0，

故h（x）在（1，+∞）上至多有1个零点，

若a＜-，则ln（-）＜1，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）递减，

又h（1）=-ae＞0，故h（x）在（1，+∞）上至多有1个零点，

当x∈（-∞，1）时，h（x）在（ln（-），1）上递增，在（-∞，ln（-））递减，

又h[ln（-）]=-2[ln（-）-2]+[ln（-）_1]2=[ln（-）-2]2+1＞0，

∴h（x）在（-∞，ln（-））上无零点，

若a＞-，则ln（-）＞1，

又当x≤1时，h（x）≥h（1）=-ae＞0，

故h（x）不存在零点，

h（x）在x∈（1，+∞）上无零点，

故当x∈（1，ln（-））时，h（x）＞0，

当x∈（ln（-），+∞）时，h′（x）＞0，

故f（x）在（1，ln（-））递增，在（ln（-），+∞）递减，

又h[ln（-）]=-2[ln（-）-2]+[ln（-）-1]2=[ln（--2]2+1＞0，

∴h（x）在（1，ln（-））无零点，在（ln（-），+∞）至多一个零点，

综上，a的范围是（0，+∞）；

②不妨设x1＜x2，

由①知x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），

且a＞0，h（x）在（-∞，1）递减，

故