2025-2026学年下学期河南青桐鸣高三数学4月检测试卷（含解析）

秘密★启用前高三内部练数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈NA.{−1,0,1}2.复数z=3A.-4B.-3C.3D.43.函数fx的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=5A.-5B.−5334.已知单位向量a,b,c满足a−b=2cA.135∘B.90∘C.605.已知x=2是函数fx图象的一条对称轴,且fx的周期为4,当x∈0,2A.1B.0C.-1D.−6.记Sn为等差数列an的前n项和,已知S5=A.2nB.nC.−nD.7.已知点M−5,0,点P是圆:x−a2+y−2a2=4A.12B.55C.28.已知函数fx=−22x+A.1,3C.−∞,1∪二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=A.曲线y=fx在点1,B.fx在−2C.fx在−∞,0D.∃x0∈010.在平面直角坐标系xOy中,已知E22,0,F−22,0,点M在x轴上运动,点N在y轴上运动,且MN=2,动点Q满足MN=−2MQB.1C.QE⋅QFD.曲线C上有且仅有两点到直线x−2y−11.记Sn为数列an的前n项和,已知SA.当an是等比数列时,则m∈{m∣B.当m=−1时,则C.当m=2时,数列nan的前nD.当m=3时,数列n3a三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10,则该组数据的下四分位数为_____.13.已知圆台的体积为289π，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为314.已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与y轴交于点四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求C；(2)若a=2，△ABC的面积为32，求16.(15分)甲、乙两人进行比赛,采用三局两胜制,即先胜两局者获胜,比赛结束.已知甲第一局获胜的概率为12,从第二局开始,若甲上一局获胜,则该局甲获胜的概率为23,若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为1(1)求第二局比赛甲获胜的概率；(2)设比赛结束甲获胜的局数为X，求X的分布列和数学期望.17.(15分)如图，在△ABC中，AB⊥AC,BC=2AB=23,D为BC的中点，过D作DE⊥BC，DE交AC于E,将四边形ABDE沿(1)证明:△B′(2)若A′,B′,D(1)求球O的表面积；(i)求平面B′CD与平面OCD18.(17分)已知A,B分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求C的标准方程.(2)已知P,Q是C的右支上不同于M(1)若线段PM的中点为N2t,tt≠0(ii)若点M3,52,直线PM,QM的斜率互为相反数,且sin∠19.(17分)已知函数fx(1)当a=1时，求f(2)当a=0时,证明:(3)已知n∈Nn，证明:高三内部练数学参考答案1.C因为A={0,1},故选C.2.Az=3−4ii3=故选A.3.D由题意可知,函数y=5tan3x−π4的图象向左平移π6故选D.4.B由a−b=2c两边平方得,a−b2= 2c2,所以1−2a⋅b+1=2故选B.5.C因为fx的周期为4,所以又x=2是函数fx图象的一条对称轴,所以f2+x=6.A设等差数列an的公差为d,则5a1+10d所以an=2+3故选A.7.B圆:x−a2+y−2a2=MC5当直线MP与圆相切时,∠PMCRt△PMC中,sin∠要使sin∠PMC最大,则MC取得最小值,所以sin∠PMC的最大值为故选B.8.D令gx=1+fx=2x−设hx=xgx,则hx为偶函数,当x≥0时,gx=1−22x+1单调递增,且gx≥0;y=不等式x−2fx−2>73−x又h1=g1=13,所以x−2gx−2> g1,即hx−2>h故选D.9.ACfx=13x3+16x则f′1=−15,又f1=16,所以曲线fx在1,f令f′x>0,即x4−16x2>0,解得x<−2或x>2,所以fx在−∞,−2和2,+∞上单调递增,令f′x<0,即x4−16x2<0,解得−2<x<0由上知,fx在0,+∞上有最小值,且fxmin= f2=101故选AC.10.BCD设Mx0,0,N0,yMN=−x0,y0,MQ则−x0=−2x+2x0,y0=−2y,解得x0=23OQ=x2+y2=1+89x2,又−3≤x≤3,所以当x=0时,易知E22,0,F−22则QE⋅QF≤QE+QF22=9x−2y−4=0,x29+y2=1,整理得设直线x−2y+t=0与椭圆C相切,将x−2y+ t=0代入x29+y2=1得13y2−4ty+t即曲线C上点到x−2y−4=0的最大距离为d=13+45>2,当即曲线C上点到x−2y−4所以曲线C上只有两点到直线x−2y−4故选BCD.11.ACD由Sn=man−1,得当n≥2则an=man−man−1,整理得所以m≠0,m−1≠0,当m=−1时,由上可知,anan−1=12,当n=1时,a1=−所以an因为an+an+2当m=2时,anan−1=2,当n=1时,a1则an=a1qn−1=2n−1所以Tn=所以−Tn=1+2+22+⋯+当m=3时,anan−1=3所以a1=12,此时an是公比为32设bn=n3令231n+1当n≥1,n∈N∗时,易知函数fn=1+1n3单调递减,当当n=7时,f7=1+173综上知,当n≤6,n∈N∗时,bn+1b即b1所以数列n3an第7故选ACD.12.6将该组数据从小到大排列为:4,5,6,7,8,9,10,10,11,12,因为25%×10=13.2如图所示,梯形ABCD为圆台的轴截面,过点C作CE⊥AB,垂足为由题意可知∠CBE为母线与下底面所成的角,则cos∠设下底面半径为r,则BE=所以BC=所以CE=BC2−BE2=43r−14.6设直线AB的方程为y=kx+p由y=kx+p2则x1所以y1+y2设线段AB的中点为M,则Mpk所以线段AB的垂直平分线的方程为y令x=0,解得y=pk2+3p2又1EF−1AB=14,所以所以EF=pk2+15.解:(1)由c2ab=ab+ba+1由余弦定理得cosC=因为C∈0,π,所以(2)由△ABC的面积为32，得则ab=2,又a=2,所以代入c2=a2+b2+ab由正弦定理,得asinA=bsinB故sinA−sin16.解:(1)记第1局甲获胜为事件Aii=1,2第二局比赛甲获胜的概率为PA2(2)X的可能取值为0,1,2,(7分)PX=PX=PX=所以X的分布列为X012P3111(13分)EX=17.解:(1)证明:因为DE⊥BC,所以DE⊥B因为平面A′B′DE⊥平面平面CDE=所以B′D⊥平面因为CD⊂平面CDE,所以B′故△B′CD(2)(i)由(1)知，DC,DE,DB′两两互相垂直，以D为原点,以DC,DE,DB′因为∠B′A′E=∠EDB′=90∘,所以四边形A′因为OO1⊥平面A′B′设半径为R,由B′Ox=解得x0=所以R2=故球O的表面积为S1&(ii)易知平面B′CD的一个法向量为mDC设平面OCD的法向量为n=由DC得x=0,y+3z=0,设平面B′CD与平面OCD的夹角为于是cosθ=cos<m,n>=31×2=32(15分)18.解:(1)根据题意可知,2a即a=2解得a=2故C的标准方程为x24(2)(i)证明:设Px1,y1两式相减,并整理得,x1−因为线段PM的中点为N2t,tt≠0所以4tx1整理得y1−故直线PM的斜率为定值52.(10(ii)设直线PM的方程为y−5因为直线PM,QM的斜率互为相反数,则直线QM的方程为y−5联立y−52=kx−3,x24则3+x1=−24kPM同理QM=101+k2⋅2kS=12PM设PM的倾斜角为α,则QM的倾斜角为π−α,当k>0时,sin∠PMQ当k<0时,sin∠PMQ=sin2π所以k2=故S=12PM19.解:(1)当a=1时,fx=xxf′x当x∈−1,0时,f′x>0所以fx在−1,0上单调递增,在0故fx的极大值为f0=0(2)证明:当a=0时，设则g′x设hx=cosx−因为y=−sinx,y=1x+12在0又h′0=1>0,h′π当0<x<x0时,h′x>0所以